云深不知處，只在此山中——例說構(gòu)造法求存在性問題

☉安徽省蒙城縣第六中學(xué) 方 偉

云深不知處，只在此山中
——例說構(gòu)造法求存在性問題

☉安徽省蒙城縣第六中學(xué) 方 偉

壇

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”.這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論.若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷；導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷.

由于存在性問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放性的特征，在假設(shè)存在性以后進行的推理或計算，對基礎(chǔ)知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，很多同學(xué)對這類問題求解很困惑，往往云里霧里，不知所措.正確、完整地解答這類問題，是對學(xué)生知識、能力的一次全面的考驗.重點考查轉(zhuǎn)化與化歸、方程與數(shù)形結(jié)合、分類與構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想和方法.

一、構(gòu)造函數(shù)，求解存在性問題

（1）求k、b的值.

圖1

（3）設(shè)m=1－a，如果在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：（1）先將B點坐標(biāo)代入y2，求出c，從而確定y2的解析式，然后再將C點代入求出d，最后將B、C代入y1即可求出k，b.

（2）先確定△PAD的面積的解析式，再利用二次函數(shù)的最值解決，從而得到P點坐標(biāo).通過構(gòu)建關(guān)于某動點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為變量的二次函數(shù)，是求函數(shù)背景下面積最值的有效策略.

（3）分情況討論列出不等式解決即可.

二、構(gòu)造方程（組），求解存在性問題

例2 （2012年山東臨沂市）已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動.

（1）如圖2，當(dāng)b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°.

（2）如圖3，當(dāng)b＞2a時，點M在AD運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.

（3）如圖4，當(dāng)b＜2a時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

圖2

圖3

圖4

分析：（1）由b=2a，點M是邊AD的中點，可得△AMB和△DMC是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=45°，可證明∠BMC=90°.

（2）、（3）分析圖形，△ABM∽△DMC，利用相似圖形的性質(zhì)列出方程，探索方程根的情況.

因為b＞2a，a＞0，b＞0，所以△=b2－4a2＞0恒成立.

所以此方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于0，符合題意.

所以當(dāng)b＞2a時，存在∠BMC=90°.

（3）不成立.理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2-bx+a2=0.

因為b＜2a，a＞0，b＞0，所以△=b2－4a2＜0不成立，所以此方程無實數(shù)根.

所以當(dāng)b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結(jié)論不成立.

三、構(gòu)造直線方程，求解存在性問題

例3（2012年貴州黔西南州）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線的對稱軸l與x軸相交于點M.

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式和對稱軸.

（2）設(shè)點P（x，y）為拋物線（x＞5）

上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標(biāo).

（3）連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：（1）由拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），用待定系數(shù)法可求出拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，再化為頂點式（或用公式），可求拋物線的對稱軸.

（2）由（0，4）和對稱軸x=3知OA=4，OM=3.由點P為拋物線（x＞5）上的一點，知PA＞PM＞2.

所以以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，只能是PA=6，PM=5.有二次函數(shù)的軸對稱性與勾股定理.知點P與點A關(guān)于對稱軸對稱.所以P（6，4）.

（3）存在.△NAC的最大面積，即點N距AC的距離最大，此時點N在直線AC下方的拋物線上，過點N與直線AC平行的直線與拋物線只有一個交點.由所作直線與拋物線相切的位置關(guān)系，知一次函數(shù)與二次函數(shù)所得方程組消去y得到一元二次方程有相等解，則判別式為0，從而可求解.

圖5

（3）存在.△NAC的面積最大，即點N距AC的距離最大，此時點N在直線AC下方的拋物線上，過點N與直線AC平行的直線與拋物線只有一個交點.

四、構(gòu)造圓，求解存在性問題

例4（2012年云南省）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－x+2交x軸于點P，交y軸于點A，拋物線y=－x2+bx+c的圖像過點E（－1，0），并與此直線相交于A、B兩點.

（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）.

（2）過點A作AC⊥AB交x軸于點C，求點C的坐標(biāo).

（3）除點C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

圖6

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A、點E，可以求出b與c的值，從而求得拋物線的函數(shù)解析式；（2）點C在x軸上，其縱坐標(biāo)為0，在Rt△CAP中，因為OA⊥CP，利用AO2=CO·OP可求得CO，從而得點C的橫坐標(biāo)；（3）利用直徑所對圓周角為直角，構(gòu)造圓，利用分類思想就△MAB直角位置的變化，分別求出M的坐標(biāo).

（3）設(shè)除點C外，在坐標(biāo)軸上還存在點M，使得△MAB是直角三角形，即∠AMB=90°或∠ABM=90°.

Ⅰ.在Rt△MAB中，若∠AMB=90°，那么M是以AB為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點，這時M會在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上.

1 若交點在y軸的正半軸上（如圖7），設(shè)M（0，m），則有m=yB（B點的縱坐標(biāo)）.

圖7

圖8

2 若交點在x軸的正半軸上（如圖8），設(shè)M（n，0），此時過B作BD垂直x軸于點D，則有△AOM∽△MDB，于是：

Ⅱ.在Rt△MAB中，若∠ABM=90°，即過B作BM⊥AP，這時M會在x軸的正半軸上和y軸的負(fù)半軸上.

1 M在x軸的正半軸上，如圖9，設(shè)M（t，0），同樣過B作BD垂直x軸于點D，則在Rt△PBM中，有BD2=MD·DP.

圖10

窺一斑而見全貌，存在性問題往往都有一定梯度難點，但并非是無源之水，而是推陳出新，有根可究.應(yīng)對中考試題認(rèn)真地分析研究，了解試題背景、摸清命題意圖、揭示試題本質(zhì)，才能達到拓寬數(shù)學(xué)視野、對中考題觸類旁通、舉一反三、創(chuàng)新解題思路的目的.

“存在性”問題大體可分為兩類：（1）由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”數(shù)量方面的要求）.這種類型的“存在性”問題，解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程.構(gòu)造方程是解決各種形式的由“數(shù)量關(guān)系”確定的“存在性”問題的最有效最常用的方法.另外，還可嘗試構(gòu)造函數(shù)、直線方程去解決問題.（2）由位置關(guān)系確定的“存在性”問題，即要找的是滿足一個“特殊”位置方面的要求.這種類型的“存在性”問題，解決的方法主要通過構(gòu)造一些基本圖形（如圓，相似三角形）再聯(lián)系數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，確定位置存在的必然性.