一反常態(tài)的不等式

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

壇

一反常態(tài)的不等式

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

近幾年，隨著課程改革的深入發(fā)展，各地中考數(shù)學(xué)考試對(duì)解決問(wèn)題的考查力度也在不斷地改進(jìn)與完善，加強(qiáng)對(duì)“數(shù)學(xué)思考”主要目標(biāo)的考查及克服試題過(guò)于“模式化”現(xiàn)象是中考命題的一個(gè)新動(dòng)向，不落俗套的試題并非刻意指向解題所運(yùn)用的具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而更多地體現(xiàn)在對(duì)解題策略的思考與選擇上，既提高了考試的效度又發(fā)揮了引導(dǎo)日常學(xué)習(xí)和教學(xué)數(shù)學(xué)方法的作用，本文采擷幾道與不等式相關(guān)的中考題，管窺其創(chuàng)新考法．

一、由“不等”確定“相等”

圖1

例1 （2012年德陽(yáng)市）如圖1，已知一次函數(shù)y1=x+m的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于A、B兩點(diǎn)，已知2當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y1＜y2.

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）已知一次函數(shù)在第一象限上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3，求△ABC的面積.

解：（1）由已知當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y1＜y2..可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，把x=1代入y=得y=6，A（1，6），所以6=1+m，m=5，2故一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+5.

（2）略．

例2 （2011年北京市）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）∠ABC=45°時(shí)，求m的值；

圖2

（3）已知一次函數(shù)y=kx+b，點(diǎn)P（n，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線交一次函數(shù)y=kx+b的圖像于點(diǎn)M，交二次函數(shù)y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的圖像于點(diǎn)N，如圖3所示.若只有當(dāng)－2＜n＜2時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，求一次函數(shù)的解析式．

解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）；

（2）m=1；

（3）由（2）得，二次函數(shù)解析式為y=x2－2x－3.依題意并結(jié)合圖像可知，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－2和2，由此可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，5）和（2，－3）.

將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中，得－2k+b=5，且2k+b=－3，解得k=－2，b=1，所以一次函數(shù)的解析式為y=－2x+1．

點(diǎn)評(píng)：這兩道題的亮點(diǎn)是“求一次函數(shù)的解析式”，這本是一種常規(guī)題，但題設(shè)沒(méi)有明確給出點(diǎn)的坐標(biāo)，而是給出了相關(guān)不等式，需要學(xué)生結(jié)合圖像對(duì)“已知當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y1＜y2.”、“點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方”分別做出正確理解，把“不等”轉(zhuǎn)化為“相等”，確定直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，直接考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的相關(guān)性的理解以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解，對(duì)日常教學(xué)具有積極、明確的導(dǎo)向作用．

圖3

二、由“相等”確定“不等”

例3 （2012年北京市）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．

（1）若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖4），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；

圖4

圖5

（2）在圖5中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大小（用含α的代數(shù)式表示），并加以證明；

（3）對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B、M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍.

解：（1）略.

（2）∠CDB=90°－α，證明略.

（3）45°＜α＜60°，理由如下：

當(dāng)PQ=QD時(shí)，∠QPD=∠QDP=90°－α，所以∠APD=∠APQ－∠QPD=3α－90°，∠PAM=90°－∠APD=180°－3α.由點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合可得0＜180°－3α＜α，解得45°＜α＜60°.

點(diǎn)評(píng)：此題的亮點(diǎn)是第（3）題，從題設(shè)的“PQ=QD”這一相等關(guān)系到要求的α的范圍，需經(jīng)歷角度的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用，其命題思想及策略值得借鑒.

例4 （2011年河北省）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t（t＞0）秒，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.（1）求c、b（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB、CD交于點(diǎn)M、N.

①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出∠AMP的值.

圖6

③在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”.若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍.

圖7

點(diǎn)評(píng)：此題的亮點(diǎn)是第（2）題第③問(wèn)，這是一道閱讀理解題，易知共有8個(gè)“好點(diǎn)”：（2，－1）、（2，－2）、（2，－3）、（2，－4）、（3，－1）、（3，－2）、（3，－3）、（3，－4），要使拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，嘗試畫出拋物線知關(guān)鍵點(diǎn)是（2，－3）和（3，－2），當(dāng)y=x2－tx經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，－3）時(shí)，“好點(diǎn)”（2，－2）和（2，－1）在拋物線上方，此時(shí)－3=22－2t，解得t=.而x=3時(shí)，y=－在－1和－2之間，說(shuō)明“好點(diǎn)”（3，－1）也在拋物線上方，所以拋物線要將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，必須滿足t＞.另一方面，當(dāng)y=x2－tx經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－2）時(shí)，“好點(diǎn)”（3，－1）在拋物線上方.此時(shí)－2=32－3t，解得t=.而x=2時(shí)，y=－在－3和－4之間，說(shuō)明“好點(diǎn)”（2，－3）、（2，－2）、（2，－1）也在拋物線上方.所以拋物線要將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，必須滿足t＜.綜上所述，t的取值范圍是＜t＜.盡管此題“請(qǐng)直接寫出t的取值范圍”，但學(xué)生憑猜測(cè)解答的可能性很小，學(xué)生需自主探索、畫圖進(jìn)行合情推理，把要解決的“不等”轉(zhuǎn)化為“相等”來(lái)思考，很好地保證了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，對(duì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性具有一定的價(jià)值.

三、教學(xué)啟示

（1）數(shù)學(xué)教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體.教學(xué)中，教師要注重將各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)地整合，巧妙地進(jìn)行分解與相互轉(zhuǎn)化.一方面使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，另一方面讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生多角度、多層次、多途徑分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生在領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不斷增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.

（2）數(shù)學(xué)教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)和整體性，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，不僅表現(xiàn)在同一領(lǐng)域內(nèi)容之間的聯(lián)系，更表現(xiàn)在各種不同領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)體系之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián).教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)、有計(jì)劃地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生了解、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，感受數(shù)學(xué)的整體性，引導(dǎo)學(xué)生初步形成“以聯(lián)系的眼光研究數(shù)學(xué)、分析數(shù)學(xué)”的意識(shí)與能力，真正提高課堂教學(xué)的有效性.