一道新定義型試題的命制歷程與反思

☉安徽省無為縣劉渡中心學(xué)校 丁浩勇

一道新定義型試題的命制歷程與反思

☉安徽省無為縣劉渡中心學(xué)校 丁浩勇

隨著新課程改革的不斷深入，各地中考試題的命制也在不斷創(chuàng)新．縱觀近年來各地的中考數(shù)學(xué)試卷，有一種新穎的題型讓人耳目一新，那就是新定義型中考題．所謂新定義型試題，就是題干中首先給出一段閱讀材料，介紹一種新的定義，然后要求考生在自學(xué)新知識(shí)的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用新定義來解答其后的問題．

為何新定義型中考題越來越受到中考命題者的青睞？這是因?yàn)檫@類試題不但可以考查學(xué)生的閱讀理解能力、信息處理能力和新知識(shí)的應(yīng)用能力，而且可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、探究能力和創(chuàng)新精神．為了培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力，同時(shí)也為了中考復(fù)習(xí)更具針對(duì)性和有效性，我在命制中考模擬試題時(shí)，對(duì)這類試題的命制進(jìn)行了有益的嘗試，下面把我命制的一道新定義型試題的歷程呈現(xiàn)出來，與大家共享．

一、新題呈現(xiàn)

題目 我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形是奇高三角形．如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，若AB2－AC2=AD2，則稱△ABC是奇高三角形．

（1）求證：BD=AC.

（2）在圖1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求證：c2=ab.

（3）若圖1中的奇高△ABC滿足BA=BC，過D點(diǎn)作AC的平行線交AB于點(diǎn)E（如圖2所示）．試探求線段DE與DC的大小關(guān)系，并說明理由．

圖1

圖2

二、命制歷程

命制數(shù)學(xué)試題是每一位數(shù)學(xué)教師都要掌握的一項(xiàng)基本技能，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材．好的數(shù)學(xué)試題，就是一項(xiàng)不可或缺的教學(xué)資源，這就要求教師不但要學(xué)會(huì)命題，而且還要不斷提高自己的命題技術(shù)，這樣才能保證源源不斷地給學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)的試題．

1.創(chuàng)意源頭

一道新題的產(chǎn)生可以通過新編、仿編、改編以及對(duì)原有試題的重新組合等方式得到．編制這道中考模擬題的靈感來自于2011年浙江省寧波市的一道中考題．中考原題是這樣的：

閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問題：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題.

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c

圖3

（3） 如圖3，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓ADB的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使得AE=AD，CB=CE，

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

本題要求學(xué)生在自主閱讀的基礎(chǔ)上充分領(lǐng)悟“奇異三角形”的概念，把奇異三角形的條件與勾股定理、圓的相關(guān)性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)綜合起來求解．試題通過情景對(duì)話給出“奇異三角形”的概念，增加了問題的趣味性和新奇性.同時(shí)，試題以“奇異三角形”為載體設(shè)計(jì)由易到難、由單一到綜合的問題，非常有利于學(xué)生展示自己的學(xué)習(xí)成果．

2.雛題形成

眾所周知，兩邊的平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形．中考試題中定義兩邊的平方和等于第三邊的平方的2倍的三角形為奇異三角形．由此，我們可以探究三角形兩邊的平方差，如果三角形兩邊的平方差等于第三邊的平方，這個(gè)三角形是直角三角形，如果三角形兩邊的平方差等于第三邊上高的平方呢？于是新的定義產(chǎn)生了——奇高三角形．

有了新的定義，就可以圍繞新定義設(shè)置問題了．課本中學(xué)生對(duì)新圖形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決相關(guān)的問題來鞏固所學(xué)知識(shí)．我們對(duì)“奇高三角形”的研究也應(yīng)該按照這樣的思路進(jìn)行．

首先，在圖1中，由“奇高三角形”的定義，可知AB2－AC2=AD2；在△ADB中，由勾股定理，得AB2－BD2=AD2.于是有AC2=BD2，即AC=BD．這說明“奇高三角形”較長邊在第三邊上的投影等于較短邊的長．因此，為了考查學(xué)生自學(xué)新知識(shí)的能力和運(yùn)用勾股定理解決簡單問題的能力，設(shè)置了第1個(gè)問題——證明BD=AC．

人們認(rèn)識(shí)事物，經(jīng)常從認(rèn)識(shí)事物的特殊類型出發(fā)來逐步深入認(rèn)識(shí)它．比如我們認(rèn)識(shí)四邊形時(shí)，是通過學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形（繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等）來逐步認(rèn)識(shí)四邊形的．同樣，研究“奇高三角形”也應(yīng)該從特殊的“奇高三角形”入手展開探究．特殊的“奇高三角形”可以是直角“奇高三角形”、等腰“奇高三角形”等．

若圖1中△ABC的邊AB與BC相等時(shí)，就到一個(gè)等腰“奇高三角形”.由于等腰三角形的性質(zhì)豐富多彩，如果“奇高三角形”融入等腰三角形，一定會(huì)煥發(fā)出色彩繽紛的焰花．等腰三角形的奇特性在于它“三線合一”，即底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合．我們不妨先作出這條線段BM（如圖4），顯然有∠1=∠2，而在“奇高三角形”中有BD=AC，設(shè)想再添加一個(gè)條件構(gòu)造兩個(gè)全等三角形．過D點(diǎn)作DN∥CM，交BM于點(diǎn)N，這樣就有Rt△BDN≌Rt△ACD，于是DC=DN．因此，可以設(shè)置第3個(gè)問題，讓學(xué)生探求線段DE與線段DC的數(shù)量關(guān)系．

3.突破與反思

問題1：如何保證題設(shè)的科學(xué)性？

試題的科學(xué)性是評(píng)價(jià)試題質(zhì)量的首要指標(biāo)．試題的科學(xué)性包括兩個(gè)方面：一是試題本身是正確的，可解，不具有科學(xué)性的錯(cuò)誤；二是試題表述簡潔、明確、規(guī)范，圖形準(zhǔn)確，不存在歧義．如果命題時(shí)考慮欠妥導(dǎo)致出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤，不僅會(huì)影響考試的信度，更重要的還會(huì)誤人子弟.

圖4

我們來看這道題的初稿，其題設(shè)是這樣的：

我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方，則稱這個(gè)三角形是奇高三角形.如圖1，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC邊上的高，若AB2－AC2=AD2，則稱△ABC是奇高三角形.

首先，定義中“若一個(gè)三角形中相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方”這一表述不夠明確，是任意兩邊的平方差都等于第三邊上的高的平方，還是只要存在兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方就符合條件呢？顯然命題的意圖是在一個(gè)三角形中只要存在相鄰兩邊的平方差等于第三邊上的高的平方這個(gè)關(guān)系就符合奇高三角形的定義，而不是任意兩邊的平方差都要等于第三邊上的高的平方.所以，為了題設(shè)不會(huì)產(chǎn)生歧義，定稿時(shí)在“若一個(gè)三角形中”的后面加上“存在”二字.其次，由于三角形中任意兩邊都是相鄰的，所以“相鄰”這個(gè)條件是多余的.另外，由AB2－AC2=AD2就可以判定AB＞AC，這說明“AB＞AC”這個(gè)條件已經(jīng)隱含在“AB2－AC2=AD2”之中，沒有必要給出“AB＞AC”這個(gè)多余的條件了.

命題反思：數(shù)學(xué)問題講究嚴(yán)密性、邏輯性，幾何問題尤為突出.在命制新定義型幾何問題時(shí)，除了新定義的真實(shí)性，即定義必須要符合事實(shí)，與已有的數(shù)學(xué)事實(shí)不存在矛盾，還要保證題設(shè)的充分性和必要性，一方面要保證所給條件能夠推導(dǎo)出結(jié)論，另一方面也要避免題設(shè)中存在多余條件，力求命題的題設(shè)科學(xué)合理，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范.

問題2：如何達(dá)到結(jié)論的合理性？

一道完整的幾何證明題，包括題設(shè)和結(jié)論兩部分.學(xué)生在探求結(jié)論時(shí)，無論是由因?qū)Ч€是執(zhí)果索因，總要尋找題設(shè)與結(jié)論之間的橋梁，以便能夠找到正確的解題方向.因此，我們?cè)诿茙缀巫C明題時(shí)，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的思維特點(diǎn)，在題設(shè)與結(jié)論之間架設(shè)適當(dāng)?shù)臉蛄?本例中設(shè)置的第1個(gè)結(jié)論“求證：BD=AC”就是一道有效的橋梁，如果缺少第1個(gè)結(jié)論，直接讓學(xué)生探究后面的兩個(gè)結(jié)論，出現(xiàn)思維障礙將是不可避免的.

命制幾何證明問題時(shí)，一個(gè)結(jié)論的產(chǎn)生不是一蹴而就的，命題的過程中常常會(huì)有種種問題呈現(xiàn)，如目標(biāo)不明、表述寬泛、跨度偏大等.下面以第2個(gè)問題的設(shè)置為例闡述之.第2個(gè)問題的雛形是這樣的：

在圖1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，試探求a、b、c之間的關(guān)系.

這個(gè)問題的表述過于寬泛，“a、b、c之間的關(guān)系”可以有多種不同的表現(xiàn)形式，比如根據(jù)勾股定理可以得到a2=b2+c2.如果學(xué)生給出這樣的結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？這難道不是a、b、c之間滿足的關(guān)系嗎？但這樣的結(jié)論與題設(shè)中的奇高三角形毫無關(guān)系，顯然達(dá)不到預(yù)設(shè)的考查目標(biāo).因此，第2個(gè)問題的“試探求a、b、c之間的關(guān)系”最終被“求證：c2=ab”所替代.

命題反思：設(shè)置命題的結(jié)論時(shí)，結(jié)論的表述應(yīng)該清晰明了，要讓學(xué)生明確問題探究的方向.如果指向不明確，容易產(chǎn)生歧義，導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤地判斷問題的指向，出現(xiàn)一些意想不到的答案，從而難以實(shí)現(xiàn)命題的考查目標(biāo).

三、命制的本道試題的特點(diǎn)

1.試題內(nèi)容新穎，體現(xiàn)公平

本題不同于傳統(tǒng)的幾何證明題，僅僅設(shè)計(jì)一些對(duì)課本現(xiàn)存知識(shí)應(yīng)用的問題，而是借助于新定義的三角形——“奇高三角形”這個(gè)媒介，把勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來，讓人耳目一新.這樣的試題，是學(xué)生在課堂上從未涉及的新知識(shí)，對(duì)每一個(gè)學(xué)生來說都是平等的，題型新穎別致，不落俗套，既能激發(fā)學(xué)生的答題興趣，啟發(fā)學(xué)生的解題思路，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和知識(shí)遷移能力，還可以在一定程度上防止學(xué)生猜題和押題，對(duì)那些依靠“死記硬背”和“題海戰(zhàn)術(shù)”來應(yīng)付中考的學(xué)生來說簡直就是當(dāng)頭一棒.

2.試題強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，兼顧選拔

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展.義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ).因此，試題的命制首先要立足基礎(chǔ).第1個(gè)問題把新概念“奇高三角形”的定義與勾股定理有機(jī)地結(jié)合起來，考查的是對(duì)勾股定理和新定義的簡單運(yùn)用；第2個(gè)問題把直角三角形融入奇高三角形之中，考查的是相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)及奇高三角形的定義等基礎(chǔ)知識(shí).

由于中考肩負(fù)著初中畢業(yè)考試和初中升學(xué)考試的雙重功能，因此，試題的編制除了注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查，還要兼顧考查學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的潛在能力.這道中考模擬試題的編制充分考慮了考試的合格性和選拔性兩種功能.第1個(gè)問題和第2個(gè)問題重在達(dá)標(biāo)性檢測(cè)，而第3個(gè)問題的設(shè)置對(duì)學(xué)生的能力方面提出了更高的要求，充分體現(xiàn)了升學(xué)考試的選拔功能.首先第3個(gè)問題的提出具有一定的開放性，學(xué)生需要自己尋找兩條線段具有怎么樣的數(shù)量關(guān)系，然后再從理論上加以證明.在證明的過程中，還要借助輔助線.這是對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、探究能力、綜合解決問題的能力及數(shù)學(xué)思想方法的全方位考查.

3.試題結(jié)構(gòu)簡潔，數(shù)學(xué)味兒濃

本題的結(jié)構(gòu)簡潔主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面.首先，題目給出奇高三角形的定義時(shí)開門見山，沒有設(shè)置冗長的情境來干擾學(xué)生的閱讀自學(xué)進(jìn)程，給學(xué)生讀題設(shè)置障礙，浪費(fèi)學(xué)生的讀題時(shí)間，從而導(dǎo)致學(xué)生難以正確理解題意；其次，結(jié)論的表現(xiàn)形式簡潔美妙，如c2=ab，以非常簡潔、優(yōu)美的形式揭示了直角奇高三角形的本質(zhì)特性——較長直角邊是較短直角邊和斜邊的比例中項(xiàng).這樣的試題正符合初中學(xué)生的心理特征，學(xué)生不但能在輕松的氛圍下答題，而且還能在答題的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)文化的魅力.數(shù)學(xué)題就應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)本身的學(xué)科知識(shí)和能力，切不可丟失了數(shù)學(xué)味兒而嘩眾取寵.