平面向量數(shù)量積常見(jiàn)考點(diǎn)剖析

☉江蘇省東臺(tái)市三倉(cāng)中學(xué) 劉加元

向量是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，而數(shù)量積又是向量?jī)?nèi)容的重點(diǎn)，所以數(shù)量積是高考考查的熱點(diǎn)，以基礎(chǔ)題和中檔題為主，現(xiàn)以2011年高考題為例說(shuō)明如下.

一、求數(shù)量積

例1 已知兩個(gè)單位向量e1、e2的夾角為，若向量b=e-112e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=_________.

解：b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，則b1·b2=（e1-2e2）·（3e1+4e2）=3e12-2e1·e2-8e22.又因?yàn)閑1，e2為單位向量，其夾角為，所以

評(píng)注：本題考查平面向量知識(shí)，重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及簡(jiǎn)單的計(jì)算能力.

A.1 B.2 C.3 D.4

解：a+b=（1，k）+（2，2）=（3，k+2）.

由a+b與a共線，得k+2-3k=0，解得k=1，則a·b=（1，1）·（2，2）=4.應(yīng)選D.

評(píng)注：本題考查向量共線、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及簡(jiǎn)單的運(yùn)算求解能力.

二、求向量的模或模的最值

例3 已知單位向量e1、e2的夾角為60°，則|2e1-e2|=__________.

評(píng)注：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算.

例4 若a、b、c均為單位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，則|a+b-c|的最大值為（ ）.

解：由a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，得-a·c-b·c≤-c2=-1.

官修史書往往借對(duì)前一個(gè)朝代的總結(jié)來(lái)確立政權(quán)合法性的手段。薛居正等人所修的 《舊五代史》由于是奉敕所修的正史，代表官方的立場(chǎng)，雖然還是肯定了馮道的忠于職守，也不吝嗇對(duì)其私德作出正面的評(píng)價(jià)，這很有可能與參與修史之人多經(jīng)歷過(guò)五代亂世有關(guān)；但還要顧忌到對(duì)社會(huì)風(fēng)氣的影響，用忠孝節(jié)義的標(biāo)準(zhǔn)批評(píng)一番。

|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3+2-（a·c-b·c）≤3-2=1，故|a+b-c|的最小值為1.應(yīng)選B.

評(píng)注：本題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，難度較大.

三、求向量的夾角或夾角的范圍

例5 已知|a|=|b|=2，（a+2b）·（a-b）=-2，則a與b的夾角為_(kāi)_________.

解：由已知條件（a+2b）·（a-b）=-2，得：|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2，得

評(píng)注：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量的夾角公式，稍有難度.

例6 若平面向量α、β滿足|α|=1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是_________.

評(píng)注：本題考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，要注意向量夾角的取值范圍，難度適中.

四、垂直問(wèn)題

例7 已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，K為實(shí)數(shù)，若向量a+b與向量Ka-b垂直，則K=_________.

解：由題意知（a+b）·（Ka-b）=0，即K+（K-1）a·b-1=0，所以（K-1）a·b=1-K.因?yàn)閍與b不共線，所以K-1=0，即K=1.

評(píng)注：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量互相垂直的條件的應(yīng)用，難度適中.

五、綜合交匯

評(píng)注：本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力及利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力.