基于跟蹤微分器的模型參考自適應(yīng)控制

周 濤， 王 磊

(1.洛陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子信息系，河南 洛陽(yáng) 471022; 2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092)

0 引言

自適應(yīng)控制的研究始于20世紀(jì)50年代，用來解決高性能飛機(jī)自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)問題，這類飛機(jī)的飛行高度和速度變化范圍很大，從而造成大幅度的參數(shù)變化［1］。許多動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型參數(shù)在較大的范圍內(nèi)具有不確定性，而自適應(yīng)控制可以補(bǔ)償系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，因此它在許多實(shí)際問題中得到應(yīng)用，例如電力系統(tǒng)、電機(jī)控制、機(jī)器手的控制、飛行器控制、化工過程和艦船的駕駛等［2］。目前，自適應(yīng)控制主要有兩種形式:一種是模型參考自適應(yīng)控制方法(MRAC);另一種是自校正方法(STC)。文獻(xiàn)［3］采用輸入—輸出變量設(shè)計(jì)了超聲波電機(jī)模型參考自適應(yīng)轉(zhuǎn)速控制器，并給出了自適應(yīng)速率在線調(diào)節(jié)等方法以改善起始階段的轉(zhuǎn)速控制性能;文獻(xiàn)［4］運(yùn)用分散模型參考自適應(yīng)控制方法研究了一類不確定時(shí)滯大系統(tǒng)問題，在選擇參考模型時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)所期望的性能指標(biāo)，考慮各子系統(tǒng)的相互作用;文獻(xiàn)［5］針對(duì)模型參考自適應(yīng)控制中參考模型的建立問題，探討了3種模型設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)［6］提出了自適應(yīng)反推控制應(yīng)用于具有不確定參數(shù)的永磁同步電機(jī)速度跟蹤控制，該方法能夠在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)保證控制系統(tǒng)的快速跟蹤性等［7］。

本文提出了一種基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制。首先，證明了該模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，并推導(dǎo)了參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律表達(dá)式;然后，說明了基于跟蹤微分器的模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu);最后，在雷達(dá)伺服系統(tǒng)中進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，證明了該新型控制器的有效性。

1 二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制的設(shè)計(jì)

1.1 二階系統(tǒng)誤差狀態(tài)方程

設(shè)二階系統(tǒng)被控對(duì)象為［8］

式中:θ為系統(tǒng)輸出;u 為控制輸入;α0≥0;α1≥0;β0＞0。定義參考模型為

式中:θm為參考模型的輸出;r為系統(tǒng)指令輸入;a0＞0;a1＞0;b＞0。

定義誤差信號(hào)為

由式(2)減去式(1)可得誤差動(dòng)態(tài)方程為

設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律為

將式(5)代入式(4)得

式(7)中，s為標(biāo)量函數(shù)。因?yàn)榫仃嘇的特征值具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的，存在正定對(duì)稱矩陣P、Q使得

1.2 模型參考自適應(yīng)控制的穩(wěn)定性

取李雅普諾夫函數(shù)

式中，λ ＞0。

xTPx的導(dǎo)數(shù)為

式中，xTPBβ0ΦTV，β0VΦBTPx均為標(biāo)量函數(shù)，且 P 為正定對(duì)稱矩陣，所以

由引理可知［2］，向量Φ的自適應(yīng)律取為

式中，sign(β0)為符號(hào)函數(shù)。均為標(biāo)量函數(shù)，

由式(7)～式(8)、式(11)和式(13)得(推導(dǎo)過程略)

由式(8)、式(14)得

由李雅普諾夫主穩(wěn)定性定理知，系統(tǒng)(7)為全局漸近穩(wěn)定。

1.3 參數(shù)自適用調(diào)節(jié)律的設(shè)計(jì)

因?yàn)?/p>

2 基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制

由式(5)的自適應(yīng)控制律和式(17)的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律可知，為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制，需要得到被控對(duì)象的輸出信號(hào)θ和輸出的微分信號(hào)，以及誤差信號(hào)e和誤差的微分信號(hào)實(shí)際系統(tǒng)輸出信號(hào)和誤差信號(hào)一般都包含大量高頻噪聲成分，常規(guī)的微分算法會(huì)造成嚴(yán)重的高頻噪聲放大效應(yīng)，影響控制效果和精度，因此輸出的微分信號(hào)及誤差的微分信號(hào)常常難以利用。理想微分信號(hào)的獲取一直是控制工程上一個(gè)難點(diǎn)，這里，在模型參考自適應(yīng)控制中，提出采用二階非線性跟蹤微分器(Tracking Differentiator，TD)得到輸出的跟蹤信號(hào)和理想的微分信號(hào)，而且很好地抑制了高頻噪聲放大效應(yīng)［9］。

2.1 二階最速離散跟蹤微分器

二階跟蹤微分器可以對(duì)它的輸入信號(hào)進(jìn)行低通濾波，同時(shí)得到輸入信號(hào)理想的微分信號(hào)。設(shè)h為采樣周期，x1(k)，x2(k)為二階系統(tǒng)的狀態(tài)變量，二階最速離散跟蹤微分器為［9］

二階最速控制函數(shù) fopt(x1(k)，x2(k)，r，h)為［10］

式中:fix(b1)為向零取整函數(shù);sat(x，n)為飽和函數(shù)。

2.2 基于跟蹤微分器的模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)

基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于跟蹤微分器的二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of model reference adaptive control based on tracking differentiators

圖1 中:r(t)為控制系統(tǒng)的指令輸入信號(hào);θm(t)為參考模型的輸出信號(hào);θ(t)為被控對(duì)象的輸出信號(hào);u(t)為被控對(duì)象的控制輸入信號(hào);e(t)=θm(t)－θ(t)為誤差信號(hào)。圖1中包含了兩個(gè)二階最速離散跟蹤微分器:跟蹤微分器1能對(duì)實(shí)際輸出信號(hào)進(jìn)行低通濾波，并獲得輸出信號(hào)的跟蹤值θ和微分信號(hào);跟蹤微分器2能對(duì)誤差信號(hào)e(t)進(jìn)行低通濾波，得到誤差信號(hào)的跟蹤值e和微分信號(hào)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在某型雷達(dá)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，利用工控機(jī)系統(tǒng)作為控制平臺(tái)，該雷達(dá)系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)的雷達(dá)系統(tǒng)Fig.2 Experimental radar system

該雷達(dá)伺服系統(tǒng)被控對(duì)象為［8，11］

對(duì)比式(1)可得:α0=35，α1=30，β0=120。

參考模型為

當(dāng)設(shè)定輸入指令為正弦信號(hào)時(shí)，被控對(duì)象的位置跟蹤誤差如圖3所示(縱坐標(biāo)的單位為(°))，控制器參數(shù)h0、h1、h2的自適應(yīng)變化曲線如圖4所示。

圖3 正弦信號(hào)位置跟蹤誤差Fig.3 Sine signal position tracking error

圖4 控制器參數(shù)的變化曲線Fig.4 Change curves of controller parameters

圖3 表明在2.5 s之后被控對(duì)象正弦信號(hào)的跟蹤誤差始終小于 ±0.4°×10－3。同時(shí)，圖4表明，由于正弦信號(hào)屬于持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，導(dǎo)致了快速的參數(shù)收斂。

假設(shè)雷達(dá)伺服系統(tǒng)被控對(duì)象變?yōu)?/p>

即 α0=0，α1=5，β0=70。

參考模型仍為式(21)，且兩個(gè)TD的參數(shù)、模型參考自適應(yīng)控制器的初始狀態(tài)、自適應(yīng)調(diào)節(jié)律參數(shù)λ和正定矩陣Q取值均保持不變。設(shè)定輸入指令為相同的正弦信號(hào)，則被控對(duì)象的位置跟蹤誤差如圖5所示(縱坐標(biāo)的單位為(°))，控制器參數(shù)的自適應(yīng)變化曲線如圖6所示。

圖5 正弦信號(hào)位置跟蹤誤差Fig.5 Sine signal position tracking error

圖6 控制器參數(shù)的變化曲線Fig.6 Change curves of controller parameters

圖5 表明在2.5 s之后被控對(duì)象正弦信號(hào)的跟蹤誤差仍小于±0.4°×10－3，圖6表明自適應(yīng)控制器的參數(shù)快速達(dá)到收斂。當(dāng)雷達(dá)伺服系統(tǒng)被控對(duì)象模型的參數(shù)α0、α1和β0在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，實(shí)驗(yàn)表明采用該新型控制器的伺服系統(tǒng)總能夠保持高的位置跟蹤精度。

4 結(jié)論

本文提出的新型二階系統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制利用跟蹤微分器獲取理想的微分信號(hào)，同時(shí)跟蹤微分器對(duì)輸出信號(hào)和誤差信號(hào)進(jìn)行低通濾波。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)雷達(dá)伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型參數(shù)發(fā)生了較大變化時(shí)，該控制器能自動(dòng)補(bǔ)償伺服系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，提高了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)跟蹤精度，對(duì)處理一般二階系統(tǒng)模型參數(shù)的不確定性具有重要的參考意義和應(yīng)用價(jià)值。

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