函數(shù)奇偶性的多角度理解與應(yīng)用

☉江蘇省連云港高級(jí)中學(xué) 高 原

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，對(duì)函數(shù)變化的規(guī)律可以從對(duì)稱的角度進(jìn)行描述，從不同的角度對(duì)函數(shù)奇偶性進(jìn)行理解，從而能夠?qū)瘮?shù)奇偶性靈活的應(yīng)用.

一、定義的理解

1.如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù).

2.如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù).

如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f（x）具有奇偶性.

對(duì)上述定義可從以下三個(gè)角度理解：

（1）任意性：要對(duì)定義域內(nèi)任意x都滿足條件，所以奇偶性是函數(shù)整個(gè)定義域上的性質(zhì)，區(qū)別于單調(diào)性是某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

（2）符號(hào)f（-x）=f（x）用文字語(yǔ)言描述是當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)函數(shù)值相等；f（-x）=-f（x）用文字描述為當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)函數(shù)值也互為相反數(shù).

（3）一般地，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

二、函數(shù)奇偶性的判定方法

2.借助函數(shù)的圖像判定函數(shù)奇偶性.

3.性質(zhì)法判定：

（1）在兩個(gè)函數(shù)定義域的公共部分內(nèi)，兩奇函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)；兩偶函數(shù)之積（商）也為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（商）為奇函數(shù)（注意取商時(shí)分母不為0）；

（2）偶函數(shù)在區(qū)間（a，b）上遞增（減），則在區(qū)間（-b，-a） 上遞減（增）；奇函數(shù)在區(qū)間（a，b）與（-b，-a）上的增減性相同.

例1 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x+x3+x5； （2）f（x）=x2+1；

（3）f（x）=x+1； （4）f（x）=x2+1，x∈［-1，3］.

解析：（1）函數(shù)f（x）=x+x3+x5定義域?yàn)镽，

因?yàn)閒（-x）=-x-x3-x5=-f（x），所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5為奇函數(shù).

（2）函數(shù)f（x）=x2+1定義域?yàn)镽，f（-x）=x2+1=f（x），所以函數(shù)f（x）=x2+1為偶函數(shù).

（3）f（-1）=0，f（1）=2，所以f（x）=x+1不是偶函數(shù)；f（-2）=-1，-f（2）=-3，所以f（x）=x+1不是奇函數(shù).

（4）因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)以稱，所以f（x）=x2+1，x∈［-1，3］既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

答案：

解析：由于f（x）是偶函數(shù)，故f（x）=

（1）求a、b、c的值；

解析：（1）因?yàn)閒（-x）=-f（x），所以c=0.

例4 已知函數(shù)f（x）=

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）函數(shù)g（x）=f（4-x），比較g（-1）與g（6）的大小.解析：（1）是偶函數(shù).定義域是R.

則函數(shù)f（x）是偶函數(shù).

三、誤解分析

1.判斷函數(shù)是否具有奇偶性，首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.即函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

例5 判斷函數(shù)y=x2，x∈［-1，1）的奇偶性.

解析：由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù).

2.判斷函數(shù)是否具有奇偶性，一般要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，這樣才能得出正確結(jié)論.

則f（x）是偶函數(shù).