一道三角函數(shù)題的復數(shù)解法

☉廣 西 柳 州 高 級 中 學 吳佐慧

☉華中師范大學第一附屬中學 徐李林

☉湖 北 大 學 數(shù) 學 系 劉合國

我們先看下面這道題及其常規(guī)解法.

題目：已知cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，求證：

解法一：由條件可得cosA+cosB=-cosC，sinA+sinB=-

sinC，則（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=1.+

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

下面運用復數(shù)給出兩種自然簡單的解法.

解法二：設z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由條件可得z1+z2+z3=0.

設在復平面xOy內(nèi)z1，z2，z3所對應的點分別為M，N，P，則△MNP是等邊三角形，且點O為其中心.

所以cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C）.

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

解法三：設z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由條件可得z1+z2+z3=0.

則cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C），sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

復數(shù)是初等數(shù)學中代數(shù)、幾何、三角等分科知識的交匯點，著名數(shù)學家J.Hadamard有句名言：“實數(shù)域里兩個真理之間的最短路程是通過復數(shù)域.”巧妙地借用復數(shù)，可以大大簡化解題過程，很好地解決某些代數(shù)、三角、幾何等問題，同時還可以開闊學生的眼界，提升學生的思維能力，這符合新課程改革的教育思想與理念.