☉浙江省杭州師范大學附屬中學 蘇立標
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求△APB的面積取最大值時直線l的方程.
左焦點(-c,0)到點P(2,1)的距離為
由①、②可解得a2=4,b2=3,c2=1.
因A,B在橢圓上,
點評:利用最樸素的材料,采取最一般的方法,得出最簡單的結論,這是最近幾年高考解析幾何常見的命題思路,該試題是一道圓錐曲線問題的綜合試題,既不回避考查圓錐曲線基本解題方法——“設而不求”,同樣也不忌諱解析幾何承載著對學生運算能力考查的特殊要求,是較為成功的高考試題.
對于一個數(shù)學問題,我們不僅要引導學生去探究方法的巧思妙解,更要引導學生去關注問題的本質,探討問題本身所蘊含的數(shù)學實質,讓題目會“說話”(杭州市教研室李學軍語).(文中所涉及的字母e均為橢圓的離心率)
把①②③代入④得k1·k2=e2-1.
對于一個問題不僅要剖析本質,還要引導學生不斷地探究問題的知識結構和系統(tǒng)性,對問題蘊含的知識進行縱向深入地引申探究,加強知識間的橫向聯(lián)系,把問題所蘊含孤立的知識“點”,擴展到系統(tǒng)的知識“面”.通過不斷拓展、聯(lián)系,加強對知識結構的理解,進而形成認知結構中知識的系統(tǒng)性.在解析幾何中與e2-1有關的定值問題是非?;钴S的,所以我們有必要從正向與逆向等多個方面加以引申拓展.
證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),
即k1為過點P的橢圓切線的斜率,故直線l為橢圓的切線.
(Ⅱ)當直線l與兩坐標軸都不垂直時,在x軸上是否總存在一點Q,使得直線QA、QB的傾斜角互為補角?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:該試題同樣揭示的是以e2-1為定值的圓錐曲線問題:橢圓上的任意一點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為k1·k2=e2-1.
例題課堂教學中不斷挖掘、變換角度,盡量發(fā)揮試題的輻射作用,是激活學生數(shù)學思維的一種重要途徑.對試題進行開發(fā)和加工,捕捉和拓展,以期構建動態(tài)生成,繼而挖掘其潛在的智能訓練因素:或啟迪思路,提煉方法;或引申問題,豐富內涵;或串聯(lián)知識,擴大成果;或鼓勵創(chuàng)新,提升智慧,從而彰顯豐盈我們的數(shù)學課堂.
1.蘇立標.探求以e2-1為定值的圓錐曲線問題.中學數(shù)學教學參考,2006(5).
2.玲瓏居士.一道高考解幾題的探究背景.中學數(shù)學,2004(9).