有感于“數(shù)學(xué)模型的生態(tài)建構(gòu)”——直線和圓的位置關(guān)系

☉江蘇省新沂市第一中學(xué) 杜繼渠

一節(jié)好課需要一個好的開頭，同樣，一章教學(xué)，也需要好的概念起始.新概念建構(gòu)的成效將直接影響這一整章的教學(xué)效益，一點都不亞于一節(jié)課的開頭對一節(jié)課的影響.建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型，是同化還是順應(yīng)，并不重要，重要的是，引導(dǎo)學(xué)生感受建構(gòu)的過程，體驗新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在知識的生長點上催生新知，視野開闊了，認知層次自然提升.

研究直線與圓的位置關(guān)系，就是打“直線和圓錐曲線位置關(guān)系”的“先鋒”.本節(jié)課除了要解決“直線和圓的位置關(guān)系”外，還擔(dān)負著形成解析幾何的思想方法的重任.因此，深刻地領(lǐng)會“二元二次方程組”這一數(shù)學(xué)模型的核心價值，意義非凡.

有人說，利用方程組解決“直線與圓的位置關(guān)系”是高射炮打蚊子，不值.表面上看似有嫌疑，區(qū)區(qū)“直線與圓”，何須動用“二元二次方程組”？但細品教材，就會感受知識發(fā)生的必然性，邏輯關(guān)系的合理性，教材整體的一致性，這是超越技巧的思想方法的有機滲透，也正是解析幾何的精髓所在.

問題的本原是思維的起點，創(chuàng)設(shè)問題情境，從概念的本原尋找學(xué)生認知的生長點，把這節(jié)課定位在認知視覺的調(diào)整和思維層次的提升，是前瞻務(wù)實的.在這一節(jié)課的教學(xué)中，筆者從生活經(jīng)驗入手，創(chuàng)設(shè)了一個學(xué)生喜聞樂見的情境，收到不錯的教學(xué)效果.

多媒體展示：一塊石頭，在攝影師眼中可能是______

一塊石頭，在科學(xué)家眼中可能是______

一塊石頭，在狙擊手眼中可能是______

評價：這一下，學(xué)生的思維火花被點燃起來，他們的思緒盡情地馳騁，似脫韁的野馬，對于這樣開放的問題，無論怎樣回答都不過分，誰會在意標(biāo)準(zhǔn)答案呢？隨著學(xué)生思維的翅膀，教師也一起飛翔在想象的天空，和諧的氛圍創(chuàng)造出來了.

學(xué)生思維盡管很發(fā)散，但形散而神不散，一個中心思想：同一事物，在不同的視角下，有不同的風(fēng)景.

接下來的活動過程：

一石激起千層浪.

生（眾）：是方程組，是二元一次方程組，是二元二次方程組，……，是直線方程和圓的方程所組成的方程組，…….

師：一個是直線的數(shù)學(xué)模型，一個是圓的數(shù)學(xué)模型，合起來是……

生1：是刻畫直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.

學(xué)生鼓掌！

評價：創(chuàng)設(shè)情境的目的是什么？引起學(xué)生思考，盡快進入角色.元認知提問的目的是什么？引導(dǎo)學(xué)生提出問題，激發(fā)學(xué)生討論.這兩點都處理得很好，達到了生態(tài)課堂的基本要求.

師：由直線方程和圓的方程所組成的方程組的確是刻畫直線和圓位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，生1回答是完全正確.那么，大家想一想，方程組的解的個數(shù)又與什么有關(guān)呢？

學(xué)生獨立思考.

生2：既然它是數(shù)學(xué)模型，相信方程組解的個數(shù)和直線與圓的公共點是一一對應(yīng)著的，這很自然地讓我們想到直線和圓的位置關(guān)系問題.

師：說得好！誰還有別想法？

生3：直線和圓的位置關(guān)系不是靠“圓心到直線的距離”和“圓的半徑”的關(guān)系來判定的嗎？

師：能夠說得具體些嗎？

生3：當(dāng)d＞r時，直線和圓是相離的；當(dāng)d=r時，直線和圓是相切的；當(dāng)d＜r時，直線和圓是相交的.

教師跟著板書，然后豎起了拇指！

師：一種非常形象直觀的幾何法，它曾是我們的最愛！那我們今天要學(xué)的是……？

學(xué)生沉思.

生4：解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題的，老師想說用另外一種途徑來研究.

師：你最——懂——我——的——心——！

學(xué)生笑了！

評價：教師把機會留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生把要學(xué)的東西說出來，體現(xiàn)了師生心理共鳴，體現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)的宗旨.教師主導(dǎo)，學(xué)生主體的地位得到充分體現(xiàn).

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)意識到本節(jié)課的主旨后，教師趁熱打鐵拋出問題：判斷直線l：3x+y-6=0和圓C：x2+y2-2y-4=0的位置關(guān)系.

學(xué)生隨即熱烈討論.教師巡視，并參與小組探究，這時候，有的學(xué)生去找合作伙伴，有的請“外援”，好不熱鬧！一會兒，大部分小組達成共識，教師宣布停下，驗收各小組成果，推舉代表發(fā)言.

生5：我們小組分別運用幾何法與代數(shù)法作了判定，結(jié)果是一樣的，相交.

師：其他小組呢？

生：是.

師：就沒有比較一下優(yōu)劣？

另一小組代表發(fā)言.

生6：兩種方法差不多.就是在運用幾何法時，首先想畫草圖，其次要寫準(zhǔn)圓心坐標(biāo)和半徑，以防止代錯了值；在運用代數(shù)法時，采用代入消元法，化出個一元二次方程，然后求出判別式，運算時要特別小心.

師：說得非常好！

接著展示了多媒體內(nèi)容，與學(xué)生一起分析了問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，證實學(xué)生6的觀點.

師：為什么大家就沒求出直線和圓的交點呢？

生7：化出一元二次方程，運用判別式就確定方程有兩個不相等的實數(shù)根，說明方程組一定有兩個不相等的解，無需求出具體的解.

師：如果我請你求出交點坐標(biāo)呢？你能求出來嗎？誰能猜透老師的心？

生8：判別式只能讓我們知道解的個數(shù)，而老師要我們知道精確的位置，這是從定性到定量的研究.

生9：不.老師要我們求弦長.

生10：老師在告訴我們，代數(shù)法從此顯威力了.

師：（很激動）多好的一群孩子，你們都——懂——我的心！

評價：教師老讓學(xué)生猜測自己的心思，其實是為了抓住學(xué)生的心，這樣，師生之間就一直保持著默契.在安全和諧的氛圍中，學(xué)生才最易激發(fā)靈感.

師：給大家稍微增加點“重量”，不知敢不敢再作嘗試？

生：（齊聲）敢！

評價：師生對話以商量的口吻，體現(xiàn)了教學(xué)的民主，構(gòu)建了生態(tài)的、和諧的課堂，學(xué)生在不知不覺之間，處理了教材中的例1和例3，這就是教學(xué)預(yù)設(shè)要處理的主體部分.現(xiàn)在，教師又以激將法的口吻再一次調(diào)動學(xué)生的探究熱情，高潮又起，不經(jīng)討論，學(xué)生也知道該怎么做了.

一會兒，學(xué)生舉手.

生11：經(jīng)過討論，大家都深有同感，運用代數(shù)法不如幾何法簡單.

師：問題出在什么上？

生11：在運算上.

師：請大家看書，再一次品味.

學(xué)生看書.

師：代數(shù)法真不簡單，硬塞在這里，真是的.

生12：老師，它不是想強調(diào)代數(shù)法的嘛！

師：代數(shù)法好在哪？

生13：幾何法在解決有關(guān)圓的問題上有時確實不錯，只要抓住“兩個半”三角形即可.但代數(shù)法比幾何法有著更廣闊的發(fā)展前景，不瞞你說，我自學(xué)一點圓錐曲線，那里，代數(shù)法大顯神威，幾何法卻退出舞臺.

學(xué)生又一次贊嘆！

生14：你剛才說的什么三角形？

生13：由半徑、半弦和弦心距構(gòu)成的直角三角形，我稱它為“兩個半”三角形.

師：未來數(shù)學(xué)史上能有你的名字.

學(xué)生又笑了！

教師：大膽運用代數(shù)法的請舉手.

有6人舉手.

師：我想他們不是不會幾何法，肯定是想小試牛刀吧！

評價：學(xué)生的學(xué)習(xí)是智力和非智力因素相互作用，通過手、腦、口并用所表現(xiàn)出來的一種渴望解決問題的心理特征.其中，智力和情感好比學(xué)習(xí)的“兩條腿”，在學(xué)習(xí)過程中同樣發(fā)揮重要的作用.

筆者在《從“合作學(xué)習(xí)”透視“人本主義”》一文中曾經(jīng)寫道：“人們常說，授之以魚，不如授之以漁.而我認為，授之以漁不如授之以欲，真正讓學(xué)生“欲進去”，那是何等美妙！”現(xiàn)在想來，當(dāng)時的話在其后的實踐中一次次得以印證，且得到進一步豐富與完善.

反思：教學(xué)實踐中，有的教師火急火燎地呈現(xiàn)幾何圖形，立馬要學(xué)生指出直線方程和圓的方程，緊接著就是解二元二次方程組，第一節(jié)課就進行多達8道題的強化訓(xùn)練，致使學(xué)生失去了一次很好的建構(gòu)機會.筆者認為，這樣的定位是不適宜的.第一課時應(yīng)側(cè)重于知識的生成，不要急于進行太多的題目訓(xùn)練，要讓學(xué)生品嘗新知的“鮮嫩”，興致勃勃地欣賞、品味并主動接納.新概念與結(jié)論的產(chǎn)生都是有很大的合理性的，如果脫離了這種合理性直接講解，總有天上掉下來個林妹妹之感，新知的生成過程從某種意義上講，就是還原這種合理性的過程.筆者認為，從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，通過一系列問題的引領(lǐng)與探究，逐步拾級而上，每一步跨越，學(xué)生是可及的且需要努力的，在活動中感受新知，預(yù)見其價值.

在數(shù)學(xué)課上，教師除了要給學(xué)生具體的數(shù)學(xué)知識外，更重要的是要以此為載體傳授一些思想、策略和行為方式.在幫助學(xué)生獲取知識的同時，盡可能地贊揚學(xué)生個性化的學(xué)習(xí)方式.引導(dǎo)與評價相結(jié)合，解惑與激趣相結(jié)合，幫扶與放手相結(jié)合，多一些元認知提示語，并逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)揣摩教材編者、考試命題者和教學(xué)引導(dǎo)者的心理，教會學(xué)生換位思考，轉(zhuǎn)換角度看問題.

“幾何法”與“代數(shù)法”雖然被看成解決“直線與圓的位置關(guān)系”的兩條腿，由于剛接觸代數(shù)法，尚感別扭，有人就埋怨運用這種方法干什么，這一點，在學(xué)生的解題研究中已得到印證.事實上，有的教師順著學(xué)生的反應(yīng)，產(chǎn)生同樣的排斥心理.而筆者認為，這正是一個很好的“教育點”，在科學(xué)問題上，很多后來堅定的支持者，原先曾是堅決的反對者，他們或許是因為認識不足，或許因挫折而懷疑或否定，特別是那些曾經(jīng)瘋狂的反對者，一旦認清本質(zhì)，倒變成了忠誠的擁護者.“代數(shù)法”雖然在“直線與圓的位置關(guān)系”中不見多大優(yōu)勢，可是在“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”中發(fā)揮著巨大的作用，我們的目光不能僅盯著眼前的“小山頭”，而應(yīng)放眼整個“戰(zhàn)場”，這也正是做數(shù)學(xué)應(yīng)該加強的整體觀念.

教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，絕不是高強度訓(xùn)練，而是創(chuàng)設(shè)問題情境，把學(xué)生帶入研究的氛圍中，讓他們感覺自己就是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、鑒賞者和評價者，做研究的主人.記得在武漢十一中聽了特級教師符永平的一節(jié)“一元二次方程的概念起始課”，他把學(xué)生看成教材的編者，這時，學(xué)生感覺自己成了教材的主人，一節(jié)課高潮迭起，學(xué)生思維活躍，他們還真有點編者的味兒.校長郭振京也曾跟我說：“如果你把學(xué)生看成一個研究者，他很有可能就成為一個研究者，因為你把他當(dāng)成研究者的時候，無形中按照研究者來設(shè)計教學(xué)，這讓他們登高望遠，增強責(zé)任心！”是的，當(dāng)學(xué)生成為一個研究者的時候，教師的任務(wù)就是參與其中，傾聽學(xué)生的心聲，把握最佳時機，激發(fā)創(chuàng)造潛能，評價研究成果，欣賞創(chuàng)造智慧.

美國功勛教師德·鮑拉曾說：“教重要的在于聽，學(xué)重要的在于說.”傾聽學(xué)生的心聲是尊重學(xué)生的最好表現(xiàn)，了解學(xué)生的想法，欣賞學(xué)生的進步會讓學(xué)生更親近你.教好數(shù)學(xué)，絕不能只盯分數(shù)，為分為智還要為情.比如適當(dāng)搞智力游戲，玩一玩智力撲克牌，搞些合作實驗，講一些勵志型科學(xué)家故事，講身邊同學(xué)成長的故事，幫老師選作業(yè)題，給學(xué)生定“一周進步檔案”，搞“一月效率論壇”，充分調(diào)動情感智力因素，更能促進智力的發(fā)展.

數(shù)學(xué)科學(xué)教育離不開數(shù)學(xué)文化教育，脫離文化的純數(shù)學(xué)是不存在的.也只有重視數(shù)學(xué)文化教育，數(shù)學(xué)教育才能更好地開發(fā)學(xué)生的非智力因素，教師的工作應(yīng)該是追求智力因素與非智力因素的綜合效益.實際上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，乃至在數(shù)學(xué)能力的發(fā)展中，非智力因素都起著動力的作用、定型的作用和補償?shù)淖饔?對于情感智力的培養(yǎng)，盡管筆者尚在摸索之中，卻也獲得了不少階段性的成果，對于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)而言，更多關(guān)注學(xué)生年齡特征，關(guān)注全體學(xué)生，關(guān)注情感智力的開發(fā)，這對于學(xué)生是一種福祉.