《函數(shù)的表示方法》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

紀(jì)宏偉

（江蘇教育學(xué)院如皋分院，江蘇 如皋 226500）

函數(shù)的表示法是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)，以及運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)。函數(shù)的不同表示方法能豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，幫助理解抽象的函數(shù)概念，使學(xué)生更好地體會(huì)、領(lǐng)悟與理解數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、化歸等）。同時(shí)，數(shù)學(xué)是人類文化的一部分，函數(shù)的多種表示是豐富多彩的社會(huì)實(shí)際的要求，體現(xiàn)了人們觀察世界的一種立場(chǎng)、觀點(diǎn)和方法。下面將從5個(gè)方面來(lái)闡述對(duì)這節(jié)內(nèi)容的理解和設(shè)計(jì)。

一、教材分析

教材從引進(jìn)函數(shù)概念開始，就比較注重函數(shù)的不同表示方法。在本節(jié)中，教材仍以引進(jìn)函數(shù)概念時(shí)所用的三個(gè)問(wèn)題為背景，引入函數(shù)的表示方法，體現(xiàn)知識(shí)情境呈現(xiàn)的一致性。解析法表示函數(shù)關(guān)系時(shí)，函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)明、清楚，便于用解析式來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)，體現(xiàn)了透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的哲學(xué)思想。列表法簡(jiǎn)潔明了，動(dòng)態(tài)的變量采用靜態(tài)的數(shù)據(jù)表示，“輸入值”與“輸出值”一目了然，體現(xiàn)出“動(dòng)與靜”的辯證關(guān)系。圖象法能直觀形象地表示出函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的趨勢(shì)，表示出數(shù)學(xué)的美學(xué)意義和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中除了書中的例子外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多舉社會(huì)生活或其他學(xué)科中的例子，如銀行里的利息表、列車時(shí)刻表、公共汽車上的票價(jià)表、郵資、出租車費(fèi)，股市走向圖等等，拉近與學(xué)生的距離，使學(xué)生感受到函數(shù)就在身邊，感到親切、自然，加深對(duì)函數(shù)表示法的理解。教材還通過(guò)例子介紹了分段函數(shù)的特點(diǎn)及應(yīng)用，要注意讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)表達(dá)式去表達(dá)實(shí)際問(wèn)題。

二、教學(xué)目標(biāo)

①明確函數(shù)的三種表示方法，在了解函數(shù)三種表示方法各自優(yōu)點(diǎn)、特征的基礎(chǔ)上，會(huì)根據(jù)不同實(shí)際情境選擇合適的方法表示函數(shù)。

②通過(guò)具體實(shí)際，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再去求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

③滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，重視知識(shí)的形成發(fā)展過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)、表達(dá)能力與辯證唯物主義觀點(diǎn)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、學(xué)情分析與重、難點(diǎn)

學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)的三種表示方法，但是對(duì)于各自的優(yōu)點(diǎn)和不足，以及根據(jù)不同的實(shí)際情境來(lái)選擇恰當(dāng)?shù)谋硎竞瘮?shù)方法等方面，認(rèn)識(shí)還不夠深入、具體、清晰，有些地方甚至有錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，如用圖像法時(shí)盲目地連點(diǎn)連線，以為函數(shù)都是可以寫出解析式的等等。同時(shí)由于學(xué)生剛從初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)，思維較為單一，注意不夠持久，并且高中數(shù)學(xué)比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)普遍感到困難，因此教師要通過(guò)設(shè)置問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)一些知識(shí)情境來(lái)幫助學(xué)生積極主動(dòng)地感受、分析和歸納三種方法的各自優(yōu)缺點(diǎn)，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正吃透教材，最終能根據(jù)不同的實(shí)例選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。這也是向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的重要過(guò)程。

本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)的三種表示方法，難點(diǎn)是根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)表示函數(shù)，分段函數(shù)的表示及其圖像的作法。另外，圖像從“圖形”方面刻畫函數(shù)的變化規(guī)律，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要依據(jù)，涉及到數(shù)形結(jié)合這一重要思想方法，學(xué)生理解它需要一個(gè)較長(zhǎng)且比較具體的過(guò)程，因而也構(gòu)成本節(jié)教學(xué)的一大難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法和手段

學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的主體，教師的教學(xué)活動(dòng)不僅要使學(xué)生學(xué)會(huì)，更重要的是使學(xué)生會(huì)學(xué)。作為新課程的實(shí)施者，在教學(xué)方式和引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式等方面應(yīng)該有所轉(zhuǎn)變，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)尊重學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的自主性，更多地給學(xué)生自主支配的機(jī)會(huì)。從“教是為了不教”、“授人以魚不如授人以漁”等教學(xué)理念出發(fā)，在教學(xué)方法上主要采用啟發(fā)發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)講解法，避免知識(shí)從天而降和咀嚼填鴨式，讓學(xué)生自然而然地接受新的知識(shí)。由于多媒體可以顯著增大教學(xué)容量、直觀性和形象化，實(shí)現(xiàn)教學(xué)方式多樣化，所以有條件的可以借助現(xiàn)代教學(xué)手段多媒體進(jìn)行教學(xué)。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問(wèn)題1：同學(xué)們已開始了高中物理知識(shí)的學(xué)習(xí)，知道在物理學(xué)中的許多公式都是物理學(xué)家通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)獲得的。在伽利略時(shí)代，物理學(xué)家通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納和推理后得到，物體在作初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體下落的距離s隨所用的時(shí)間t的變化規(guī)律。那么，這個(gè)規(guī)律是怎樣的呢？

問(wèn)題2：觀看如下兩張圖，圖1是著名的“遺忘曲線”，圖2是某天中，氣溫隨著時(shí)間變化的函數(shù)圖象，請(qǐng)問(wèn)它們能否表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系？若能，是否可以用解析式表示？

問(wèn)題3：下面是某班A、B、C同學(xué)在某一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分，請(qǐng)就表格給定數(shù)據(jù)對(duì)三位同學(xué)的學(xué)習(xí)情況做一個(gè)學(xué)情分析。

表1 三位同學(xué)成績(jī)表

教師從實(shí)際情境與認(rèn)識(shí)背景出發(fā)，創(chuàng)設(shè)內(nèi)含問(wèn)題的知識(shí)情境，開門見(jiàn)山，在極短時(shí)間內(nèi)指明本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)，它作為引出知識(shí)的載體，能有效地引發(fā)學(xué)生的思考和內(nèi)心沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。

（二）活動(dòng)探究，形成新知

教師要給以學(xué)生自主、合作、創(chuàng)新的時(shí)間和機(jī)會(huì)，充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性和學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生自己觀察、分析、比較、抽象和概括，突破認(rèn)知，經(jīng)歷并體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。

問(wèn)題2中，一個(gè)圖形是否為函數(shù)圖象只要看它是否滿足函數(shù)的定義，顯然它們都是函數(shù)圖象，但是，函數(shù)值隨自變量的變化沒(méi)有發(fā)生有規(guī)律的變化，這樣的函數(shù)關(guān)系不能寫出解析式，也就是解析式不存在。

問(wèn)題3中，把成績(jī)看成測(cè)試序號(hào)的函數(shù)，顯然表格區(qū)分三位同學(xué)的成績(jī)高低不直觀，為此我們借助excel，把它們的函數(shù)關(guān)系用圖像來(lái)表示出來(lái)，見(jiàn)圖3，需要說(shuō)明的是，本例將離散的點(diǎn)用虛線連接，是便于研究成績(jī)的變化特點(diǎn)。由圖像可看到A同學(xué)成績(jī)穩(wěn)定，學(xué)習(xí)優(yōu)秀，B同學(xué)成績(jī)波動(dòng)起伏，較不穩(wěn)定，C同學(xué)成績(jī)呈上升趨勢(shì)，學(xué)有潛力。顯然，用圖像法比表格更能直觀反映函數(shù)值的變化趨勢(shì)。

在學(xué)生形成一定的認(rèn)識(shí)后，教師介紹函數(shù)的三種表示方法，即解析法、列表法、圖像法就水到渠成了。但是對(duì)于三種表示法的各自缺點(diǎn)與不足，仍需要讓學(xué)生自己去觀察、分析、歸納、總結(jié)，教師不可越俎代庖?？梢栽O(shè)計(jì)如下一個(gè)表格，讓學(xué)生在小組討論、合作交流的基礎(chǔ)上自己填空。

表2 函數(shù)三種表示方法比較

（三）應(yīng)用示例，深化知識(shí)

知識(shí)一旦獲得如不及時(shí)加以鞏固，它就會(huì)混淆或遺忘，為此可聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，設(shè)計(jì)如下兩個(gè)例題，讓學(xué)生加深對(duì)函數(shù)表示方法的理解，達(dá)到掌握方法、提高能力的目的。

例題1：某種圓珠筆每支2元，買x∈{1，2，3，4，5，6}支筆的錢數(shù)記為 y 元，試用三種表示法表示函數(shù)y=f（x）。

例題2：某市出租車資費(fèi)規(guī)定如下：

（1）3公里以內(nèi)（含3公里）5元；

（2）3公里以上，每增加1公里，資費(fèi)增加1.2元（不足1公里按1公里計(jì)算）。

某線路總里程為5公里，請(qǐng)根據(jù)題意寫出資費(fèi)與里程之間函數(shù)的解析表達(dá)式，并列出表格，畫出函數(shù)的圖象。

例2解答后，教師應(yīng)及時(shí)告訴學(xué)生在定義域內(nèi)不同部分上具有不同的解析表達(dá)式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)。該圖象呈階梯狀，定義域分段時(shí)學(xué)生容易有誤解，教師可以通過(guò)點(diǎn)評(píng)、互評(píng)、辨析的方式讓學(xué)生克服畫圖中的難點(diǎn)。

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生自己交流討論，在教師的引導(dǎo)、幫助下，得出y與x的函數(shù)三種表示方式。這樣的教學(xué)方式強(qiáng)化了學(xué)生的親身體驗(yàn)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)在其頭腦中得以完善。

（四）歸納總結(jié)，回顧反思

函數(shù)三種常用的表示方法，解析法簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系，便于運(yùn)用解析式研究和應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，如創(chuàng)設(shè)情境中的問(wèn)題1。但是有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系很難用解析式表示或者根本不存在解析式，如創(chuàng)設(shè)情境中的問(wèn)題2。列表法不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，簡(jiǎn)潔明了，成績(jī)表、價(jià)格表、銀行利息表，采用的就是這種表示方法，但是它只能表示有限個(gè)元素時(shí)的函數(shù)關(guān)系且元素較多時(shí)也不方便，如創(chuàng)設(shè)情境中的問(wèn)題3。圖像法能直觀形象地表示函數(shù)值隨自變量變化的變化趨勢(shì)，可通過(guò)圖像來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì)，這也是數(shù)形結(jié)合的好處，但是它有時(shí)也存在感性觀察不夠準(zhǔn)確，畫面局限性大的缺點(diǎn)。讓學(xué)生自己歸納總結(jié)，回顧反思，將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，完成對(duì)該部分內(nèi)容的完整認(rèn)識(shí)和意義建構(gòu)。這對(duì)學(xué)生在實(shí)際情境中根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，發(fā)展與深化思維能力是大有裨益的。最后教師應(yīng)指出解析法、列表法、圖象法都很重要，在實(shí)際生產(chǎn)與生活中都有著廣泛的應(yīng)用，雖然中學(xué)階段研究的主要是用解析法表示的函數(shù)，但不能有所偏頗，像列表法、圖象法在今后代數(shù)、統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，同樣值得重視。生活中有很多可以用分段函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，要善于從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，明確分段函數(shù)含義，注意考慮其實(shí)際意義。相信通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生基本上能很好地理解了函數(shù)的表示方法，達(dá)到了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，體現(xiàn)了課改的教學(xué)理念。