三角函數(shù)探索題的類型及其解法

☉江蘇省宿遷青華中學(xué) 楊 兵

三角函數(shù)問題中的探索題，是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的問題.由于這類問題的知識(shí)覆蓋面大，綜合性強(qiáng)，方法靈活，再加上題意新穎，要求學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較高的數(shù)學(xué)能力，從而使三角函數(shù)探索題成為各種考試的一種常見題型.

一、條件探索題

條件探索題，即給出問題的結(jié)論，但沒有給出題目的條件，要求給出或補(bǔ)充使問題結(jié)論成立的條件.解這類題采取的策略是執(zhí)果索因，首先要從結(jié)論出發(fā)，考慮結(jié)論成立時(shí)所要滿足的條件，再結(jié)合圖形及其性質(zhì)逆向推導(dǎo)，尋找出所求條件.

分析：把條件①變形，判斷是否成立，然后根據(jù)化簡(jiǎn)的結(jié)果，修改條件.

解：先判斷條件①是否成立.

說明：條件探索題涉及的知識(shí)較多，綜合性強(qiáng)，且是“逆向思維”，解此類問題需要有扎實(shí)的基本功及靈活處理問題的能力.

二、結(jié)論探索型

結(jié)論探索題的基本特征是給出條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定.解此類題通常先假設(shè)其結(jié)論存在，再進(jìn)行計(jì)算、推理，如果推導(dǎo)出符合條件的結(jié)論，則表示結(jié)論存在；若推出矛盾的結(jié)果，則結(jié)論不存在.

說明：本題要求找到三個(gè)數(shù)的關(guān)系，并說明理由，對(duì)思維能力要求較高，突出了對(duì)探索、歸納、推理能力的考查.

三、規(guī)律探索型

規(guī)律探索題的基本特征是給出若干圖形及圖形的變化規(guī)律等，需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的結(jié)論.通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法，概括出一般規(guī)律或結(jié)論，然后再給出證明.

例3 設(shè)n∈N*，且sin x+cos x=-1，能否求出sinnx+cosnx的值？

分析：本題是與正整數(shù)有關(guān)的命題，可以先用不完全歸納法探索結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

由此可以猜想當(dāng)n∈N*時(shí)，sinnx+cosnx=（-1）n.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，有sin x+cos x=-1成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即sinkx+coskx=（-1）k.當(dāng)n=k+1時(shí)，有sink+1x+cosk+1x=（sin x+cos x）（sinkx+coskx）-sin xcoskx-cos xsinkx=（-1）（-1）k-sin x·cos x（sink-1x+cosk-1x）=（-1）k+1.猜想成立.

由（1）（2）可知，當(dāng)n∈N*時(shí)，sinnx+cosnx=（-1）n.

說明：對(duì)于解規(guī)律探索題，要合理利用題目中提供的信息，正確審題、分析、歸納，然后探索出結(jié)果.

四、存在探索型

存在探索題一般是在確定的條件下判斷某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在.解決這類問題的策略是先假設(shè)需要探索的對(duì)象存在，從條件和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行運(yùn)算、推理，若出現(xiàn)矛盾，則否定存在；如果不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在.

分析：可以將函數(shù)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)，再利用條件列出方程組求a、b的值.

所以存在a、b∈R，使本題結(jié)果成立.

說明：此題采用的方法是：觀察函數(shù)表達(dá)式的特征——假設(shè)存在——演繹推理——得出結(jié)論.

三角函數(shù)問題的探索題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，解題過程較復(fù)雜，技巧性強(qiáng)，沒有現(xiàn)成的解題套路，因此 ，要求我們合情合理地分析，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合，更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.