線性化擬合高次非球面①

王艷松， 吳建宏， 吳麗英

(1.同濟大學汽車學院，上海201804;2.岢嵐縣東校，忻州036300)

0 引言

離軸非球面反射鏡不斷大型化的發(fā)展趨勢對其制造技術提出了新的挑戰(zhàn)，嚴格地來講，非球面的加工與檢測技術是一個整體，在某種程度上，獲得高質(zhì)量的非球面的關鍵技術在于能否提供可靠的行之有效的檢測結果指導加工［1］.

然而，非球面元件從研磨階段到拋光階段，其面形精度的跨度為20～40um［2］，材料去除量比較大，同時，由于受到制造過程中諸多工藝參數(shù)的影響，非球面鏡的頂點曲率會產(chǎn)生較大的偏差，超出了精度規(guī)定范圍.因此能否保證非球面各個擬合參數(shù)的精度是非球面制造工藝過程中的一個重要問題.

光學系統(tǒng)中引入的非球面，多采用回轉(zhuǎn)曲面［3］，決定非球面輪廓的常用曲線有單調(diào)型，非單調(diào)型，極坐標型，超二次型和法線象差型［4］.最常用的非球面有二次非球面和高次非球面［5］.

由于簡單的二次非球面參數(shù)少，故可以利用線性或者非線性的擬合方法達到較好的擬合精度，但是高次非球面的擬合屬于高階非線性，多變量大范圍的擬合，使用一般的迭代算法，很難找到較好的擬合結果，而且由于其高度依賴初值，使得問題復雜化;使用智能算法，則由于多變量，大范圍使得求解的時間變長，求解的精度下降，甚至不能夠求解.本文就是針對這一難題進行探討.

1 高次非球面模型及含義

超二次型的方程一般為［6］:

式中，c為頂點曲率，c=1/r0.H(x2)為高次項部分，常記為:

2 線性擬合拋物線型高次非球面

令 x1=x2，x2=z2，則(3)式變?yōu)?

該殘差需要通過高次項部分進行補償，而高次項部分，則很容易轉(zhuǎn)化為線性化模型為:

圖1 拋物線型的擬合效果圖

圖2 拋物線型的擬合殘差圖

圖3 M型的擬合效果圖

由擬合結果便可求出高次項的系數(shù).采用拋物線型的超二次型(7參數(shù))實驗數(shù)據(jù)，利用上述方法進行擬合.圖1為拋物線型擬合的效果圖，由圖可知，利用線性化可以很好的擬合高次拋物線型高次非球面方程;圖2為拋物線型擬合殘差圖，可以得到擬合精度高達1um數(shù)量級.

圖4 M型的擬合殘差圖

圖5 W型的擬合效果圖

圖6 W型的擬合殘差圖

3 線性擬合W和M型高次非球面

對于W型和M型的高次非球面，由于其本質(zhì)上是自變量的四階函數(shù)，所以其主要部分是z=，高次項起著補償作用，主要部分變形為:

c=2c1和.主要部分的擬合殘差為:

該殘差需要通過高次項部分進行補償，擬合方法與前述方法類似.分別采用W和M型的超二次型(7參數(shù))實驗數(shù)據(jù)，利用上述方法進行擬合如圖3所示.

為M型擬合的效果圖，圖5為W型擬合效果圖，由圖可知，利用線性化可以較好的擬合高次拋物線型高次非球面方程;圖4為M型擬合殘差圖，圖6為W型擬合殘差圖，可以得到擬合精度高達10um數(shù)量級.

4 結論

本文將高次非球面的擬合問題轉(zhuǎn)化為多元線性擬合問題，經(jīng)過實例驗證，該方法取得了滿意的擬合效果和精度.該方法操作簡單，可靠性高，不需要初值，在解決高階多變量大范圍問題方面有難以取代的優(yōu)勢.然而從擬合結果可以看出，該方法在局部區(qū)域擬合效果不佳，這還有待于進一步研究，線性化的策略還需要進行改進，擬合精度還需要進一步提高.

［1］程灝波，等.離軸非球面輪廓測量導軌精度補償模型［J］.光學技術，2003，29(2):533 －535.

［2］程灝波，王英偉，馮之敬，等.光學非球面二次曲面常數(shù)及頂點曲率的研究［J］.光學技術，2004，30(3):311 －317.

［3］Zverev，V.A，Rytova，E.S，Timoshchuk，I.N.How the Decentering of Surfaces of Revolution Affects The Position of the Image Plane［J］.Journal of Optical Technology，2010，6.P.

［4］袁呂軍，陳韜.高次非球面的工藝技術研究［J］.應用光學，2011，32(2):335 －342.

［5］陳旭，劉偉奇，康玉思，等.Offner補償器的結構設計與裝調(diào)［J］.光學精密工程，2010，18(1):88 －93.

［6］Smith W J.Modern Optical Engineering［M］.USA:Printed and Bound by R R Donnelley＆ Sons Company，2000.