一維諧振子的數(shù)值方法研究①

陳海軍

(隴東學(xué)院物理系，甘肅慶陽745000)

0 引言

諧振子問題是量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中的基本問題.任何體系在平衡位置附近的振動(dòng)，例如，分子的振動(dòng)，晶格的振動(dòng)，原子核表面振動(dòng)以及輻射場的振動(dòng)等等，在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換之后，都可以分解為若干彼此獨(dú)立的諧振動(dòng).諧振動(dòng)還可以作為任何復(fù)雜振動(dòng)的初步近似.在量子力學(xué)中，諧振子問題的精確求解過程，不僅提供了一整套量子力學(xué)處理具體問題的方法，而且為處理其它量子力學(xué)問題提供了物理基礎(chǔ).

鑒于大多數(shù)量子力學(xué)教科書都提供了一維諧振子問題的解析求解過程，本文簡述一維諧振子問題的理論求解過程，然后利用數(shù)值計(jì)算的方法求解其定態(tài)解，并研究其隨時(shí)間的演化規(guī)律.這種數(shù)值求解過程是數(shù)值方法研究其它量子問題的基礎(chǔ).

1 諧振子問題理論求解

根據(jù)量子力學(xué)教科書［1］簡述一維諧振子問題的理論求解過程.

圖1 解析解波函數(shù)及波函數(shù)的模方

代入方程(2)得到

級(jí)數(shù)展開求解，令

代入方程(4)得到遞推公式

方程(6)表明級(jí)數(shù)H(ζ)和exp(ζ2)具有相同的收斂性，是發(fā)散的，因此必須取有限項(xiàng)使得H(ζ)變?yōu)槎蛎锥囗?xiàng)式Hn(ζ)，則有

得到λ =2n+1，則能量

因此和En相應(yīng)的歸一化波函數(shù)是

其中Nn為歸一化系數(shù).

圖2 數(shù)值計(jì)算得到前三個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)

圖3 定態(tài)隨時(shí)間傳播過程

表1 前三個(gè)狀態(tài)的能量及波函數(shù)

表1給出前三個(gè)狀態(tài)的能量及其波函數(shù).圖1給出前三個(gè)解析解對(duì)應(yīng)的波函數(shù)模方，即粒子出現(xiàn)概率密度的空間分布.可以看出處于基態(tài)和第二激發(fā)態(tài)(n=0，n=2)的粒子在勢阱中心有一定概率出現(xiàn)，其中，處于基態(tài)的粒子在勢阱中心出現(xiàn)的概率最大，而處于第一激發(fā)態(tài)的粒子在勢阱中心出現(xiàn)的概率為0.

2 定態(tài)問題數(shù)值計(jì)算

量子力學(xué)中的大多數(shù)問題不可能求出解析解，因此利用數(shù)值計(jì)算方法研究諧振子問題具有重要意義.該方法不僅可以求解諧振子問題本身，而且可以擴(kuò)展到其它的量子問題上，只要把其中的勢能函數(shù)替換為想要求解體系的勢能函數(shù)即可.束縛定態(tài)問題的數(shù)值求解，在數(shù)值計(jì)算方法中歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題求解.這類問題求解多采用打靶法，即取微分方程中某一個(gè)參數(shù)作為數(shù)值計(jì)算的試探參數(shù)，利用計(jì)算機(jī)快速計(jì)算的能力，在參數(shù)取值的物理區(qū)間內(nèi)，按一定的步長改變參數(shù)值，直到得出的數(shù)值結(jié)果滿足物理問題要求的邊界條件即可.

本文利用Mathematica軟件中的NDSolve命令求解方程(2)的邊值問題［2］.自變量的變化范圍是－∞ ＜ζ＜∞，在數(shù)值計(jì)算時(shí)取 －4≤ζ≤4.由于求解的是束縛定態(tài)問題，因此波函數(shù)Ψ(ζ)在邊界上的取值應(yīng)為0，數(shù)值計(jì)算時(shí)，采用|Ψ(±4)|＜10－3.另外，由于勢能 V(ζ)具有對(duì)稱性，所以體系具有明確的宇稱，在計(jì)算過程中偶宇稱解和奇宇稱解的求解分別進(jìn)行.在計(jì)算過程中，取λ為試探參數(shù)，從0開始循環(huán)，步長為0.001，直到定態(tài)結(jié)果出現(xiàn)為止.

計(jì)算結(jié)果如圖2所示，圖2(a)和(c)表示偶宇稱波函數(shù)(n=0，2)，圖2(b)表示奇宇稱波函數(shù)(n=1).數(shù)值計(jì)算結(jié)果給出 λ =1，3，5，對(duì)應(yīng)的能量是 E= ?ω/2，3?ω/2，5?ω/2，和理論結(jié)果一致.

3 定態(tài)穩(wěn)定性研究

為了驗(yàn)證定態(tài)解的穩(wěn)定性，我們利用Crank－Nicholson差分法求解含時(shí)Schrdinger方程［3，4］，時(shí)間步長τ和空間步長h分別為0.001和0.1，x方向的網(wǎng)格數(shù)為250.把表1中的定態(tài)解作為求解含時(shí)Schrdinger方程的初始條件，研究其隨時(shí)間變化的規(guī)律.

其中時(shí)間無量綱化單位是2/ω.差分格式是

其中V=x2是勢能函數(shù).

圖3表示n=0，1，2所對(duì)應(yīng)定態(tài)|Ψ|2隨時(shí)間的傳播過程，即粒子出現(xiàn)概率空間分布隨時(shí)間變化過程.圖(a)表示基態(tài)概率分布隨時(shí)間的傳播過程，其實(shí)質(zhì)是高斯波包在拋物型勢阱中的傳播過程，如果沒有勢阱的作用，波包由于色散作用，隨時(shí)間傳播會(huì)擴(kuò)散，而由于勢阱的束縛作用，高斯波包在傳播過程中保持初始時(shí)刻的波形，是穩(wěn)定的傳播過程.第一激發(fā)態(tài)的傳播過程也是穩(wěn)定的(圖(b)).圖(c)表示第二激發(fā)態(tài)隨時(shí)間的傳播過程，和前兩個(gè)狀態(tài)的傳播過程不同，在傳播時(shí)，兩邊的概率會(huì)向勢阱的中心移動(dòng)，但是并沒有坍縮.另外，整個(gè)傳播過程是呼吸振蕩的.

4 結(jié)論

本文利用數(shù)值計(jì)算方法研究了量子力學(xué)中一維諧振子問題.包括定態(tài)和含時(shí)過程的求解，定態(tài)計(jì)算結(jié)果給出了能量和定態(tài)所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)，和理論分析結(jié)果一致.含時(shí)過程計(jì)算表明處于定態(tài)中的粒子出現(xiàn)概率空間分布是不隨時(shí)間變化的，這是定態(tài)的基本性質(zhì)之一.整個(gè)求解過程中涉及到定態(tài)問題和含時(shí)問題的數(shù)值計(jì)算，這兩類問題的數(shù)值計(jì)算是研究量子問題的基礎(chǔ)，尤其體系穩(wěn)定性問題，由于能進(jìn)行理論分析的體系很少，所以只能依靠數(shù)值求解含時(shí)薛定諤方程來研究.因此本文介紹的方法可以推廣到其它量子體系的研究，甚至包括非線性薛定諤方程所描述的體系.

［1］蘇汝鏗.量子力學(xué)(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［2］董鍵.Mathematica與大學(xué)物理計(jì)算［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［3］彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］Sadhan K Adhikari，Paulsamy Muruganandam.Bose － Einstein Condensation Dynamics from the Numerical Solution of the Gross－ Pitaevskii Equation［J］.J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.，2002，35:2831 －2843.