次同步諧振中的非線性振蕩分析

劉鐵軍，鄧 斌

(1.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)黑龍江省電力勘察設(shè)計(jì)研究院，黑龍江哈爾濱150078;2.天津電力公司調(diào)度通信中心，天津300010)

0 引言

發(fā)生在帶有串補(bǔ)電容系統(tǒng)中的次同步諧振是一種對(duì)發(fā)電機(jī)軸系造成巨大損壞的現(xiàn)象。其起因是汽輪發(fā)電機(jī)的軸系存在顯著彈性，再加上機(jī)械與電氣間的相互激勵(lì)產(chǎn)生的頻率低于同步頻率的自發(fā)振蕩。次同步諧振輕則使發(fā)電機(jī)大軸疲勞、產(chǎn)生裂紋，重則使其斷裂。20世紀(jì)70年代，美國(guó)內(nèi)華達(dá)州南部Mohave電站就由于次同步諧振引起了發(fā)電機(jī)大軸的兩次扭振破壞［1］，隨后國(guó)內(nèi)外電廠都出現(xiàn)過由于次同步諧振造成的發(fā)電機(jī)軸系損壞事件。

通常分析這種諧振采用小干擾穩(wěn)定分析中的線性化分析方法，理論成熟、分析簡(jiǎn)單［1－2］。只要系統(tǒng)特征根中出現(xiàn)對(duì)應(yīng)于次同步振蕩頻率的正復(fù)根，則表明系統(tǒng)將發(fā)生次同步諧振;若系統(tǒng)所有特征根都有負(fù)的實(shí)部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定安全的。但若對(duì)應(yīng)于次同步頻率的特征根出現(xiàn)在非雙曲平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，上述分析方法將不適用，因?yàn)榇藭r(shí)發(fā)生的振蕩屬于非線性振蕩范疇。由于系統(tǒng)本身非線性的作用，有可能使通常小干擾穩(wěn)定分析認(rèn)為穩(wěn)定的系統(tǒng)躍變?yōu)檐壍啦环€(wěn)定的，也就是由衰減振蕩躍變?yōu)樵龇袷帲辉摮霈F(xiàn)的次同步諧振發(fā)生。同樣，由于系統(tǒng)非線性的存在，也有可能使通常小干擾穩(wěn)定分析認(rèn)為不穩(wěn)定的系統(tǒng)躍變?yōu)檐壍婪€(wěn)定的，即小模等幅振蕩的情況，這將極大地緩解次同步諧振的危害。美國(guó)西北部電力系統(tǒng)發(fā)生的一次次同步諧振就是這種類型的振蕩［3］。因此，本文利用中心流形理論與分岐理論分析了發(fā)生在次同步諧振中的非線性振蕩，利用數(shù)值微分算法分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)這種非線性振蕩性質(zhì)的影響，最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了新觀點(diǎn)的正確性。

1 數(shù)學(xué)模型

分析次同步諧振用的數(shù)學(xué)模型為

式中:x為系統(tǒng)n維狀態(tài)變量;α為能引起非線性振蕩的系統(tǒng)參數(shù)，稱之為分歧參數(shù)，分析用系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 分析用系統(tǒng)圖

與通常穩(wěn)定分析所用數(shù)學(xué)模型不同，這里必須要考慮網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài)過程。把發(fā)電機(jī)軸系分為5個(gè)質(zhì)量塊:高壓缸、中壓缸、低壓缸、發(fā)電機(jī)、勵(lì)磁機(jī)，則各轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為

忽略發(fā)電機(jī)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器及阻尼繞組的作用，全系統(tǒng)狀態(tài)方程及式(2)各參數(shù)意義及單位見文獻(xiàn)［3］。

式(1)線性化后的系統(tǒng)為

式中:ΔΧ為非雙曲平衡點(diǎn)x*處狀態(tài)變量的增量，系統(tǒng)的雅可比矩陣。若λ是A陣n個(gè)i特征根中的第i個(gè)特征根，而且Re(λi)＜0，i=1，2，…，n，則系統(tǒng)在小干擾下是漸近穩(wěn)定的。n個(gè)根中只要有一個(gè)根(振蕩模式)的實(shí)部大于零，系統(tǒng)將出現(xiàn)增幅振蕩。若這個(gè)振蕩模式的振蕩頻率對(duì)應(yīng)于次同步諧振頻率，系統(tǒng)將發(fā)生次同步諧振，使發(fā)電機(jī)軸系受到損害。這是通常研究次同步諧振的小干擾穩(wěn)定理論。

在本文研究中，能使系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x*處的特征根中出現(xiàn)一對(duì)虛根的參數(shù)，稱之為分歧參數(shù)。這對(duì)虛根的出現(xiàn)，使系統(tǒng)非線性增強(qiáng)，平衡點(diǎn)附近顯現(xiàn)出非線性奇異特性，即出現(xiàn)非線性振蕩。對(duì)此，研究次同步諧振的小干擾穩(wěn)定理論無法分析。

2 非線性振蕩分析

分析非線性振蕩的關(guān)鍵是要明確非線性振蕩的性態(tài)，也就是要判斷非線性振蕩軌道是否穩(wěn)定。軌道穩(wěn)定的情況對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)由初始增幅振蕩躍變?yōu)樾∧５确袷幍那闆r，這將緩解次同步諧振。軌道不穩(wěn)定的情況則對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)由初始漸近穩(wěn)定躍變?yōu)樵龇袷幍那闆r，不應(yīng)出現(xiàn)的次同步諧振將出現(xiàn)。本文采用中心流形理論和分歧理論來分析這種非線性奇異現(xiàn)象。首先利用中心流形理論把式(1)的高維非線性系統(tǒng)約化到凝縮了全部必須的非線性特性的二維分歧方程上，再用分歧理論來分析非線性振蕩的性態(tài)。

2.1 中心流形理論

中心流形上的流形性態(tài)與線性化中心子空間上的流形的性態(tài)不同，中心流形上的流形的局部性態(tài)，可以有效反映出原系統(tǒng)的有關(guān)非線性特性。所以要研究一個(gè)復(fù)雜高維非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)附近的性態(tài)，可以首先利用中心流形理論將這個(gè)高維非線性系統(tǒng)約化為一個(gè)含有中心流形的低維子系統(tǒng)。研究這個(gè)低維子系統(tǒng)就等價(jià)于研究原高維非線性系統(tǒng)，而研究這個(gè)低維子系統(tǒng)要容易得多。這樣，中心流形理論就為非線性振蕩分析提供了有力工具。

對(duì)式(1)的狀態(tài)變量x作線性變換，即

式中U為A陣的右特征向量矩陣。將式(1)所描述的非線性系統(tǒng)分化為2個(gè)子系統(tǒng)，即

式中:Js為穩(wěn)定特征根所組成的對(duì)角陣;Jc為2個(gè)虛根所組成的對(duì)角陣，Yc=(y1，y2)T。

式(3)中第一個(gè)方程代表了屬于局部衰減的子特征空間的動(dòng)態(tài)特性，第二個(gè)方程就是分析非線性振蕩性態(tài)的主要方程，稱為分歧方程。它們所代表的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)存在如下的局部中心流形:

在其臨界點(diǎn)的鄰域內(nèi)，中心流形被分歧方程

所控制，系統(tǒng)的所有非線性特性都將通過中心流形凝縮到這個(gè)二維的分歧方程上。

2.2 非線性振蕩性態(tài)的確定

非線性分析理論的發(fā)展，使原來很難分析的非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性問題有了行之有效的方法，這就是有限項(xiàng)泰勒級(jí)數(shù)的分析方法。這一方法不僅在小干擾下使用，在大干擾下也開始了應(yīng)用［4］。就當(dāng)前非線性振蕩而言，研究分歧方程泰勒級(jí)數(shù)前3階項(xiàng)，就能獲得式(1)所代表的原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的有關(guān)信息。分岐理論進(jìn)一步指出，分歧方程泰勒級(jí)數(shù)3階項(xiàng)中的系數(shù)就表明了非線性振蕩的性態(tài)。實(shí)際上的系數(shù)就是分歧方程所代表的極限園的曲率系數(shù)β2。如果曲率系數(shù)β2小于零，非線性振蕩就是軌道穩(wěn)定的;如果曲率系數(shù)β2大于零，非線性振蕩就是軌道不穩(wěn)定的。

按文獻(xiàn)［5］，曲率系數(shù)β2的計(jì)算式如下:

式中各參數(shù)的意義和求取見文獻(xiàn)［5］。

顯然計(jì)算曲率系數(shù)β2是一項(xiàng)非常復(fù)雜的工作，系統(tǒng)越大，計(jì)算越困難。n=2時(shí)可以用解析解法，只要系統(tǒng)維數(shù)n≥3，就只能用文獻(xiàn)［5］提出的數(shù)值解法。

3 分歧參數(shù)對(duì)振蕩性態(tài)的影響

在次同步諧振的分析研究以及工程實(shí)踐中，所感興趣的另一問題是分歧參數(shù)變化時(shí)，非線性振蕩的性態(tài)能否改變，也就是說，分歧參數(shù)α變化時(shí)，曲率系數(shù) β2將怎樣變化［5－6］。當(dāng) β2＞ 0 時(shí)，如果?β2/?α 也大于零，則 α 增大，β2的符號(hào)不變，系統(tǒng)仍將是軌道不穩(wěn)定的;若α減小，β2也將減小，這就可能使β2改變符號(hào)，也就可能使非線性振蕩由軌道不穩(wěn)改變?yōu)檐壍婪€(wěn)定的。?β2/?α小于零以及β2＜0時(shí)的分析與上述分析相同。

上面的問題實(shí)際上就是系統(tǒng)參數(shù)對(duì)曲率系數(shù)β2的靈敏度問題。由文獻(xiàn)［5－6］可知，求取β2是相當(dāng)復(fù)雜的，再計(jì)算β2對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就會(huì)更加復(fù)雜。這里仍用文獻(xiàn)［5］提出的數(shù)值微分計(jì)算?β2/?α ，計(jì)算公式為

4 算例分析

4.1 算例計(jì)算

選定式(2)的 D1=3.59，D2=0.224，D3=0.224，D4=0，D5=0.145，其它參數(shù)見文獻(xiàn)［3］。狀態(tài)方程由10階轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程、2階網(wǎng)絡(luò)方程和3階發(fā)電機(jī)暫態(tài)方程組成，系統(tǒng)總階數(shù)為15階。

1)當(dāng)串補(bǔ)度為64 η0時(shí)，系統(tǒng)主要振蕩模式為

式中λ12，13為共軛虛根，表明系統(tǒng)將出現(xiàn)非線性振蕩。λ12，13虛部為 28.7 Hz，小于同步頻率，在次同步振蕩范圍內(nèi)。經(jīng)分析可知，這是對(duì)應(yīng)于低壓缸和發(fā)電機(jī)間的扭振模式。

按本文所提方法，計(jì)算求得系統(tǒng)曲率系數(shù)β2=-0.122，小于零，表明這時(shí)的非線性振蕩將是軌道穩(wěn)定的。也就是說當(dāng)串補(bǔ)度小于64 η0時(shí)，所有振蕩模式實(shí)部小于零，系統(tǒng)將是漸進(jìn)穩(wěn)定的，和通常小干擾穩(wěn)定分析的結(jié)果吻合。當(dāng)串補(bǔ)度略大于64 η0時(shí)，λ12，13實(shí)部大于零，按通常小干擾穩(wěn)定分析，系統(tǒng)將發(fā)生增幅振蕩，就是次同步諧振。但由于現(xiàn)在的振蕩還是軌道穩(wěn)定的非線性振蕩，所以系統(tǒng)將先顯現(xiàn)出增幅振蕩，隨后將躍變?yōu)樾∧５确袷?。這將使次同步諧振的破壞作用大大緩解。

這一分析的結(jié)論對(duì)工程實(shí)踐很有指導(dǎo)作用。首先，它表明系統(tǒng)真正的不穩(wěn)定域比通常次同步諧振分析的穩(wěn)定域變小了。正如文獻(xiàn)［1］通過數(shù)值仿真研究指出的，有時(shí)僅有按特征值方法計(jì)算出的15%～30%。其次，有時(shí)在較大的運(yùn)行范圍內(nèi)，特別在高負(fù)荷條件下，這種小幅值的次同步振蕩不會(huì)對(duì)機(jī)組軸系的疲勞壽命及整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性造成任何威脅。因此，在這種情況下，以往用系統(tǒng)線性化方法的特征根正負(fù)來判斷系統(tǒng)安全運(yùn)行范圍的方法是非常保守的。

2)把D2減小為3.363 6，串補(bǔ)度改為67 η0，其它參數(shù)不變，系統(tǒng)主要振蕩模式為

可以看出，λ12，13造成系統(tǒng)振蕩仍然是非線性的。振蕩頻率約為28.3 Hz，仍在次同步振蕩范圍內(nèi)。經(jīng)分析知，這仍是對(duì)應(yīng)于低壓缸和發(fā)電機(jī)間的扭振模式。

按本文所提方法求得β2=0.16＞0，表明出現(xiàn)的非線性振蕩將是軌道不穩(wěn)的。也就是說當(dāng)串補(bǔ)度大于 67 η0時(shí)，λ12，13實(shí)部變正，系統(tǒng)將出現(xiàn)增幅振蕩，次同步諧振出現(xiàn)，和通常小干擾穩(wěn)定分析的結(jié)果吻合。串補(bǔ)度略小于 67 η0時(shí)，λ12，13變負(fù)，系統(tǒng)所有模式將都在S平面左半面。按通常小干擾穩(wěn)定分析，系統(tǒng)應(yīng)是漸近穩(wěn)定的，不會(huì)出現(xiàn)次同步諧振。但由于非線性振蕩的作用，使初始出現(xiàn)的衰減振蕩很快躍變?yōu)樵龇袷?，次同步諧振發(fā)生，并將對(duì)發(fā)電機(jī)軸系造成破壞。也就是說，次同步諧振不再是從S平面的右半平面開始的，在S平面虛軸左側(cè)附近就已經(jīng)發(fā)生。

上述觀點(diǎn)是在通常小干擾穩(wěn)定分析基礎(chǔ)上，利用中心流形理論與分岐理論對(duì)非線性振蕩研究后提出的觀點(diǎn)，在次同步諧振分析領(lǐng)域中，是對(duì)通常次同步諧振分析的補(bǔ)充和修正。

4.2 數(shù)值仿真驗(yàn)證

1)為驗(yàn)證上述計(jì)算分析的正確性，取串補(bǔ)度為64.2%(略大于 64%，此時(shí) λ11，12的實(shí)部為正)，機(jī)軸上的輸入機(jī)械功率增量為0.03(這大約為輸入機(jī)械功率0.876的3.4%，可視為小擾動(dòng))，其數(shù)值仿真結(jié)果如圖2所示。從圖2可清楚看出，系統(tǒng)初始出現(xiàn)的是增幅振蕩，表明次同步諧振已經(jīng)出現(xiàn)，這與小干擾穩(wěn)定分析結(jié)果是相吻合的。但一段時(shí)間以后，增幅振蕩變成了等幅小模振蕩。從圖3曲線可以測(cè)出，其振蕩頻率約為28.71 Hz，為次同步振蕩頻率。顯然，這種變化已經(jīng)緩解了低壓缸與發(fā)電機(jī)間的扭轉(zhuǎn)振蕩，減小了對(duì)發(fā)電機(jī)軸系的損壞。這與4.1節(jié)的計(jì)算分析結(jié)果是相同的。

圖2 軌道穩(wěn)定的非線性振蕩

2)再取串補(bǔ)度為67.01%，略大于前面計(jì)算時(shí)的67 η0。這時(shí)，系統(tǒng)特征根中 λ11，12的實(shí)部由 0變負(fù)，所有其它根也都位于S平面左半面。擾動(dòng)仍為加在機(jī)軸上的輸入機(jī)械功率增量，大小為0.03。數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示，可以看出，初始衰減的振蕩在幾秒之后便很快躍變?yōu)樵龇袷帲壍啦环€(wěn)的非線性振蕩出現(xiàn)，即次同步諧振出現(xiàn)。由曲線檢測(cè)出其頻率為28.3 Hz。這與4.1節(jié)的計(jì)算分析結(jié)果是相同的。

圖3 軌道不穩(wěn)定的非線性振蕩

4.3 分歧參數(shù)對(duì)β2的靈敏度

當(dāng)串補(bǔ)度為64%時(shí)，按本文所提分歧參數(shù)對(duì)曲率系數(shù)靈敏度的方法，取串補(bǔ)度為分歧參數(shù)α，在采用雙精度計(jì)算時(shí)，取增量Δα=0.000 001，求得?β2/?α=11.081 554。這預(yù)示，隨著串補(bǔ)度的增大，曲率系數(shù)也將增大，直至由64%時(shí)的負(fù)值變正，如果非線性振蕩繼續(xù)存在，軌道穩(wěn)定的非線性振蕩有可能變?yōu)檐壍啦环€(wěn)定的非線性振蕩。

同樣可以分析系統(tǒng)其它參數(shù)對(duì)曲率系數(shù)的靈敏度，從而得出這些參數(shù)對(duì)非線性振蕩影響的結(jié)果。

5 結(jié)論

由于系統(tǒng)分歧參數(shù)的變化和非線性振蕩的出現(xiàn)，系統(tǒng)的強(qiáng)非線性有可能導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩的性態(tài)發(fā)生改變。本來是衰減的振蕩有可能躍變?yōu)檐壍啦环€(wěn)的非線性振蕩，次同步諧振隨之發(fā)生，而且是在虛軸左側(cè)就已經(jīng)發(fā)生;還有可能使在S平面右半平面虛軸附近的增幅振蕩躍變?yōu)檐壍婪€(wěn)定的非線性振蕩，這種小模等幅振蕩將大大緩解次同步諧振對(duì)發(fā)電機(jī)軸系的損壞。

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