基于二階錐規(guī)劃的平面陣近場等旁瓣波束優(yōu)化

王華奎，王二慶

(1.水聲對抗技術(shù)重點實驗室，廣東 湛江 524022;2.91388部隊，廣東 湛江 524022)

0 引言

矩形平面陣的遠場和近場波束圖均可以表示成2條相互垂直的線列陣波束圖乘積的形式［1］。因此對平面陣的進行加權(quán)可以簡化為計算2條相互垂直的線列陣的加權(quán)值，再用向量直積的方式來計算平面陣的加權(quán)向量。對于近場目標(biāo)而言，由于目標(biāo)距離陣列的距離不再是等差數(shù)列，因此在計算這2條相互垂直的線列陣的加權(quán)值時，常規(guī)的ChebyShev等方法將不再適用。本文提出使用二階錐規(guī)劃(Second order cone programming，SOCP)方法來計算這2條線列陣的近場加權(quán)值［2］，再通過向量直積來計算矩形平面陣的加權(quán)值，成功得到了平面陣在近場下的等旁瓣波束圖。

1 平面陣波束圖

如圖1所示，該平面陣為矩形陣，陣元個數(shù)為N×M=NM，其中沿x軸和y軸的陣元個數(shù)分別為N和M，陣元間距均為λ/2，其中λ為窄帶信號中心頻率對應(yīng)的波長。

設(shè)平面陣的近場掃描點到坐標(biāo)原點的距離為Rp，其俯仰角和方位角分別為θp和φp。則第p個掃描點的坐標(biāo)為

圖1 三維坐標(biāo)系和平面陣Fig.1 Three-dimensional coordinate system and planar array

第(n，m)個陣元的坐標(biāo)為

其中，n=1，2，…，N;m=1，2，…，M。

該掃描點到第(n，m)個陣元的時延可表示為2個坐標(biāo)之差所得向量的二范數(shù):

根據(jù)式(3)，平面陣的陣列流形可寫為

若平面陣的近場聚焦點到坐標(biāo)原點的距離為R0，對應(yīng)的角度分別為θ0和φ0，則該聚焦點到第(n，m)個陣元的時延可表示為

其中 x0=R0［sinθ0cosφ0，sinθ0sinφ0，cosθ0］T為聚焦點坐標(biāo)。由式(5)可知，對應(yīng)的加權(quán)向量為

式中:e表示向量點積;

為幅度加權(quán);

為相位加權(quán)。

平面陣的近場波束圖可表示為

近場情況下，由于矩形陣的波束圖可以表示為2個相互垂直的線列陣的波束圖乘積，即式(9)可以重新寫為

其中:Bx(Rp，θp，φp;R0，θ0，φ0)和 By(Rp，θp，φp;R0，θ0，φ0)分別為沿x軸和y軸的均勻線列陣的近場波束圖，其表達式分別為

式中?為向量直積。

根據(jù)式(10)～式(15)，對1個矩形平面陣的波束形成可以分解為對2個線列陣進行波束形成。先計算出2個線列陣的加權(quán)向量，再通過向量直積就可以得到該平面陣的加權(quán)向量。

2 二階錐規(guī)劃下的平面陣近場波束圖

由于陣列工作在近場，因此一般用于遠場的等旁瓣加權(quán)方法如Chebyshev加權(quán)方法將不再適用。為了獲得等旁瓣的波束圖，本文使用二階錐規(guī)劃方法(Second order cone programming)。

SeDuMi［2］是由Sturm開發(fā)，用來處理對稱錐優(yōu)化問題的MATLAB工具箱。該工具箱可以用來求解二階錐和線性約束下的凸優(yōu)化問題。將其用于處理波束優(yōu)化問題，可以達到尋優(yōu)方法規(guī)范、精確性高的目的，并且具有計算量小和計算精確等優(yōu)點。對于優(yōu)化問題無解的情況也能自動判別，以便修正參數(shù)繼續(xù)計算。

文中的等旁瓣問題可以轉(zhuǎn)化為SeDuMi中的最低旁瓣約束問題。該問題可以描述為:保證主瓣波束與期望波束的誤差小于某值，計算出一組加權(quán)值，使得波束旁瓣最低［3］。

式中，B(θs)為旁瓣區(qū)域的波束;Bd(θm)和 B(θm)分別為期望主瓣和設(shè)計主瓣的波束;ΘML為主瓣區(qū)域。

3 波束圖仿真

仿真中，矩形陣位于xoy平面，幾何中心坐標(biāo)為(0，0，0)m，其沿x軸和y軸的間距均為1 kHz聲波對應(yīng)的波長的一半。陣元個數(shù)為12×12=144，其中N=12，M=12。近場聚焦點的俯仰角和方位角分別為(θp，φp)=(0°，0°)，該點坐標(biāo)為(0，0，10)m。矩形陣及聚焦點的關(guān)系如圖2所示，近場中使用Chebyshev和SOCP法獲得的波束圖如圖3所示 (旁瓣級控制為-30 dB)。

圖2 矩形平面陣以及聚焦點示意圖Fig.2 Sketch map of rectangular planar array and focal point

由圖3(c)和圖3(d)可知，在近場下，常規(guī)的Chebyshev方法獲得的波束圖第一旁瓣較高，并沒有獲得等旁瓣的效果。而SOCP方法可以獲得近場下的等旁瓣波束圖。圖3中，ux=sin(θp)cos(φp)，uy=sin(θp)sin(θφp)。

為了考慮更實際的情況，設(shè)定矩形陣的陣元位置具有隨機誤差。該隨機值服從均值為0，方差為1/15的高斯分布。分別利用Chebyshev加權(quán)和SOCP法來進行波束優(yōu)化，所得結(jié)果如圖4所示。

圖3 近場下，分別使用Chebyshev和SOCP兩種方法所得波束圖Fig.3 Beam scheme in near field with Chebyshev and SOCP method respectively

圖4 陣元位置存在隨機誤差時，分別使用Chebyshev和SOCP兩種方法所得矩形平面陣的近場波束圖Fig.4 Beam scheme in near field for rectangular planar array with Chebyshev and SOCP method respectively when there are random errors of array element position

由圖4可知，當(dāng)陣元位置存在誤差時，利用Chebyshev獲得的波束圖的旁瓣太高，有的甚至超過了－20 dB。利用SOCP法獲得的波束圖，其旁瓣有輕微的抬高 (約為－28 dB)，但是波束圖仍保持等旁瓣特性，其結(jié)果是可以接受的。

4 結(jié)語

本文研究了近場情況下矩形平面陣的波束優(yōu)化。將矩形陣的波束圖等效為2個相互垂直的線列陣的波束圖乘積，通過計算這2個線列陣的加權(quán)并通過向量直積的形式來獲得矩形陣的加權(quán)值。仿真結(jié)果表明，近場情況下，常規(guī)的Chebyshev方法已無法獲得等旁瓣波束圖，而SOCP法可以獲得等旁瓣波束圖。當(dāng)陣元位置存在誤差時，常規(guī)Chebyshev法的波束圖發(fā)生嚴(yán)重畸變，而SOCP法獲得的波束圖，除了旁瓣級略微抬升2 dB外，其仍然是等旁瓣波束圖。這些說明近場情況下，SOCP法比Chebyshev法更穩(wěn)健。

［1］VAN TREES H L.Optimum array processing:part 4 of detection，estimation，and modulation theory［M］.Hoboken:John Wiley＆ Sons Inc.，2002.

［2］STURM J F.Using SeDuMi l.02，a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones［J］.Optim.Meth.Softw.，1999，11(12):625 －653

［3］鄢社鋒，馬遠良.基于二階錐規(guī)劃的任意傳感器陣列時域恒定束寬波束形成［J］.聲學(xué)學(xué)報，2005;30(4):309－316.