昂尼斯氣體絕熱過程方程推導及驗證＊

楊淑敏 張 偉 麥麥提吐爾遜·努爾麥麥提

（喀什師范學院物理系 新疆 喀什 844000）

目前，在大學物理教材中，大多以范德瓦爾斯氣體為例，討論實際氣體的熱力學性質.盡管范氏氣體方程在一定程度上能夠反映氣體的實際行為，但是范氏氣體方程畢竟也存在對于實際情況的偏離，它也只是從實際氣體抽象出來的理想模型.

在描述實際氣體時，除范氏氣體方程外，還有一些其他形式的非理想氣體狀態(tài)方程，其中最為一般的就是昂尼斯氣體方程.描述真實氣體狀態(tài)時，昂尼斯氣體方程更為精確，因此研究熱力學定律對昂尼斯氣體的應用具有一定的意義，國內也有相關文章進行探討［1～5］.

本文利用熱力學第一定律及能態(tài)方程推導了昂尼斯氣體的絕熱過程方程并進行了驗證，以使學生加深對實際氣體及熱力學定律應用的理解.

1 昂尼斯氣體絕熱過程方程

1.1 昂尼斯氣體狀態(tài)方程

以T，V為獨立變量，1mol昂尼斯氣體狀態(tài)方程可表達為

其中v為摩爾體積，A2，A3，A4，… 都是溫度的函數，稱為第二、三、四 …… 位力系數［6］.

為便于計算，將（1）式改寫為

1.2 昂尼斯氣體絕熱過程方程推導

選取T，V為獨立變量，則1mol昂尼斯氣體內能可表達為u＝u（T，v），其全微分表達式為

能態(tài)方程為

由（2）式可得

由（3）～ （6）式聯立，可得

其中，Cv，m為昂尼斯氣體的定體摩爾熱容.

根據熱力學第一定律du＝dQ＋dW，dW為外界對系統(tǒng)做的功.在絕熱過程中dQ＝0，若此時只有體積變化引起的做功，則有

將（2）、（7）式代入（8）式中，可得

化簡得

式（9）即為昂尼斯氣體絕熱過程方程的微分形式.

若在一有限過程中則可利用其積分式

一般來說，Cv，m是溫度的函數.但在通常的實際問題中，由于溫度變化不大，Cv，m變化很小，因此可視為常量，則（10）式可化為

1.3 對理想氣體絕熱過程的應用

對于理想氣體而言，Ai＝0，Cv，m為常量，代入（9）式，得

兩邊積分，得

其中C為積分常量.此即為以溫度和體積表達的理想氣體絕熱過程方程.

1.4 對范氏氣體絕熱過程方程應用

將（14）式代入（13）式得

兩邊積分，得［7］

其中C為積分常量，此即為范氏氣體的絕熱過程方程.

2 以昂尼斯氣體為工質的卡諾循環(huán)效率

昂尼斯氣體為工質的卡諾循環(huán)p-V曲線如圖1所示，在整個循環(huán)過程中，氣體僅在1→2過程中從高溫熱源T1吸收熱量Q1，在3→4過程中向低溫熱源放出熱量Q2，其卡諾循環(huán)效率為［4］

圖1 昂尼斯氣體卡諾循環(huán)p-V圖

絕熱過程2→3中，由（10）式，得

同理，在絕熱過程4→1中，有

式（16）、（17）相加，得

將（18）式代入（15）式，可得

即卡諾循環(huán)效率.

文獻［4］提到，利用可逆循環(huán)總熵變?yōu)榱慵纯珊唵吻蟪隹ㄖZ循環(huán)的效率，上面的運算主要是驗證昂尼斯氣體絕熱方程推導過程的正確性，同時也可作為卡諾定理的一個驗證.

3 結論

本文利用熱力學第一定律及能態(tài)方程進行推導，得到了昂尼斯氣體的絕熱過程方程較為簡潔的形式.在教學過程中，此方程的推導可以使學生加深對實際氣體及熱力學定律應用的理解.另外，在利用實際氣體討論熱機效率時，所涉及的循環(huán)過程往往含有絕熱過程，因此昂尼斯氣體絕熱過程方程的推導也具有一定的實際意義.

1 何熙起.昂尼斯氣體在任意準靜態(tài)過程中的摩爾熱容.大學物理，2005，24（6）：7～9，19

2 張國文，張拴珠.非理想氣體焦耳實驗研究.山西師范大學學報（自然科學版），2005，19（2）：40～44

3 王九思.具有長短程相互作用勢的一維氣體統(tǒng)計力學理論.安徽師范大學學報（自然科學版），1995，18（4）：20～26

4 何熙起.熱力學定律對昂尼斯氣體的應用.四川師范大學學報（自然科學版），1995，18（1）：49～53

5 符五久.關于昂尼斯方程的討論.大學物理，1992，11（5）：26，46～47

6 林宗涵.熱力學與統(tǒng)計物理學.北京：北京大學出版社，2007.14

7 藍風華.范德瓦爾斯氣體的卡諾循環(huán)效率.物理與工程，2011，21（2）：10，26