運(yùn)用幾何畫板 多角度培養(yǎng)創(chuàng)新能力

蘇 強(qiáng) 葛仁福 金衛(wèi)雄 王繼順

（連云港師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，江蘇 連云港 222006）

創(chuàng)新能力，指的是根據(jù)一定的目的和任務(wù)，開展積極主動的創(chuàng)造性思維，對原有的知識和經(jīng)驗(yàn)重新加工綜合，創(chuàng)造出新設(shè)想、新事物的能力。研究表明：相比不具有創(chuàng)新能力的教師，具有創(chuàng)新能力的教師所教的學(xué)生更具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力[1]。因此，作為培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)，更需要加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。近幾年來許多大學(xué)生進(jìn)入師范院校后沒有準(zhǔn)確給自己將來的奮斗目標(biāo)定位，有的僅滿足于畢業(yè)后找個好工作或者通過考研提高自己的知識水平以便找一個更好的工作，有的對以后的就業(yè)形勢比較悲觀而自暴自棄放松了對自己的要求，這在一定程度上影響了他們創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。《幾何畫板》課程的開設(shè)，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力提供了一個實(shí)踐園地[2]。

一、幾何畫板簡介

幾何畫板軟件由美國Nicholas Jackiw設(shè)計(jì)，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序?qū)崿F(xiàn)，key Curriculum Press公司制作并出版，是一個優(yōu)秀教育軟件，代表了當(dāng)代專業(yè)工具平臺類軟件的發(fā)展方向。幾何畫板的創(chuàng)新之處在于以數(shù)學(xué)為根本，以“動態(tài)幾何”為特色來動態(tài)表現(xiàn)設(shè)計(jì)者的思想。所謂“動態(tài)”，指的是所作的圖形之間的幾何關(guān)系會在運(yùn)動變化的過程中保持不變。幾何畫板不僅僅是一個課件制作工具，同時也是一個學(xué)習(xí)工具和研究工具。下面從三個角度來談?wù)勥\(yùn)用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

二、基于幾何畫板 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

1 創(chuàng)新課件設(shè)計(jì)，在直觀中抽象數(shù)學(xué)

PowerPoint是應(yīng)用于課件設(shè)計(jì)的常見軟件，利用它制作一些章節(jié)目錄、授課提綱、文字以及一些圖解文字的動畫，上課時把它投影到屏幕上，然后再加以發(fā)揮，這種課件是“課本搬家”式的[3]。幾何畫板引入到中國，改變了這種課件模式，它具備啟示性、動態(tài)性、操作性、兼容性等等特點(diǎn)，被譽(yù)為“21世紀(jì)的動態(tài)幾何”[4]。隨著幾何畫板在中國應(yīng)用的越來越廣泛，更多的功能被開發(fā)出來。

比如，概率是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn)，教科書中設(shè)置了一個投幣實(shí)驗(yàn)：“拋擲一枚硬幣，下面向上是一個隨機(jī)事件。請與同桌一起進(jìn)行100次這種試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)正面向上的頻數(shù)及頻率。正面向上的頻率是否具備某種規(guī)律？”讓學(xué)生親自動手實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，為發(fā)現(xiàn)規(guī)律提供幫助。如果在課堂上進(jìn)行這種實(shí)驗(yàn)，顯然費(fèi)時也不現(xiàn)實(shí)，但是利用幾何畫板就可以很好地進(jìn)行模擬，設(shè)計(jì)制作也只是采用了幾何畫板提供的一些基本命令，但體現(xiàn)了課件設(shè)計(jì)者的一些創(chuàng)新思想。在本課件的制作中，設(shè)計(jì)者的創(chuàng)新點(diǎn)在于利用符號函數(shù)sgn判斷正負(fù)來控制硬幣的正反面[5]。

再如，教材中余弦定理的證明是采用了向量法，不太直觀，而利用圖1所示的課件，能方便定理的理解。大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和再加上兩個平行四邊形的面積。拖動點(diǎn)C，可以觀察到三角形ABC在變化，當(dāng)角C變?yōu)?0度時，平行四邊形消失，此時的余弦定理即為勾股定理。

圖1 余弦定理證明

2 創(chuàng)新自主學(xué)習(xí)，在實(shí)驗(yàn)中體會數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)是了解數(shù)學(xué)背景、獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把握幾何關(guān)系，而關(guān)系是在變化中把握的，傳統(tǒng)的教學(xué)不可能有變化的過程，但幾何畫板提供了變化的可操作的過程，并且能在變化的過程中揭示不變的規(guī)律。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生可以利用幾何畫板針對某些教學(xué)內(nèi)容親自進(jìn)行操作，通過任意拖動圖形，增加對圖形的感性認(rèn)識，形成豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，加深對數(shù)學(xué)知識的理解和體會。幾何畫板突出了學(xué)生的主體地位，學(xué)生不再被動地接受知識，而是主動地探索知識，“知識不是被動接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的”，這是建構(gòu)主義理論的核心。自主學(xué)習(xí)改變了傳統(tǒng)的以學(xué)校課堂為中心，教師講，學(xué)生聽的教學(xué)模式，教師也不再簡單的向?qū)W生灌輸知識，而是設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)情景，組織指導(dǎo)學(xué)習(xí)過程，評價學(xué)習(xí)成效。運(yùn)用這種“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的教學(xué)模式，學(xué)生始終保持著濃厚的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)生動手操作，使實(shí)踐能力、觀察能力、歸納能力等都得到很好的鍛煉，教學(xué)效果也比較好。自主學(xué)習(xí)有助于發(fā)揮學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，這也符合現(xiàn)代教育思想，符合素質(zhì)教育的要求[6]。

比如，圓冪定理是對相交弦定理、割線定理和切割線定理統(tǒng)一歸納的結(jié)果。教材中先講授了相交弦定理，利用幾何畫板很方便地制作一個課件見圖2，通過在圓內(nèi)拖動點(diǎn)P，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)PA·PB=PC·PD，驗(yàn)證了相交弦定理結(jié)果的正確性，當(dāng)進(jìn)一步把點(diǎn)P往圓外拖時，兩個乘積依然保持相等，這其實(shí)就是割線定理，當(dāng)拖動點(diǎn)P使得一條割線變成切線時，結(jié)論當(dāng)然也成立，這其實(shí)就是切割線定理，這樣，學(xué)生通過一個簡單的課件，通過簡單的實(shí)驗(yàn)就得到了圓冪定理的全部結(jié)論。

圖2 圓冪定理

再如，固定一條線段的頂點(diǎn)，讓另一頂點(diǎn)在某個定圓上運(yùn)動，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？很多學(xué)生經(jīng)過簡單思考就可以得到結(jié)論是圓，但如果問線段的垂直平分線的軌跡是什么，這就是一個比較難回答的問題了。光憑自己的想象或者動手畫圖是比較難的，但利用幾何畫板，這個問題就比較容易解決了，見圖3。有的學(xué)生嘗試著將線段一頂點(diǎn)移到圓內(nèi)，奇跡出現(xiàn)了，包絡(luò)線從雙曲線變成了橢圓，一個簡單的拖動，得到了一個新的結(jié)論。學(xué)生的主動性、創(chuàng)造性得到了發(fā)揮，創(chuàng)新能力得到了鍛煉。

圖3 神奇的包絡(luò)

3 創(chuàng)新科學(xué)研究，在思考中創(chuàng)造數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教育要重視讓學(xué)生自學(xué)，因?yàn)榻處熌苤更c(diǎn)的總是十分有限的[7]，而學(xué)生可以自己了解的及需要自己去了解的，卻是無窮無盡的，作為培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的師范院校，更要讓學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí)，學(xué)會獨(dú)立思考。獨(dú)立思考能力是一切從事科學(xué)研究工作的青年都必須具備的，在教學(xué)中和課后要給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會和時間，灌輸式的教學(xué)手段使學(xué)生從來也沒有想到過要和書上有不同的看法或做法。發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新、獨(dú)立思考和養(yǎng)成自主分析問題的習(xí)慣，對學(xué)生未來的發(fā)展是非常重要的。1995年美國《數(shù)學(xué)教師》雜志報(bào)道過兩個初中二年級學(xué)生借助幾何畫板找到任意等分線段的新方法，1997年我國也有初中生利用幾何畫板研究出了證明“蝴蝶定理”的新方法并推廣了“廣義蝴蝶定理”，另外，我國中學(xué)生發(fā)現(xiàn)了任意等分線段的第三種方法[8]，這些無疑說明了幾何畫板在培養(yǎng)學(xué)生思考能力、創(chuàng)新能力方面的作用。

有研究者總結(jié)了橢圓的26種畫法，雙曲線也有多種畫法，文獻(xiàn)[9]中介紹的第一種畫法見圖5左圖。其原理是，以固定線段AB的長度表示定義中的2a，P為以F1為圓心，AB長為半徑的圓上一動點(diǎn)，PF2的垂直平分線與PF1的交點(diǎn)M的軌跡即為雙曲線，當(dāng)拖動點(diǎn)F2至圓內(nèi)時，軌跡變?yōu)闄E圓，有的學(xué)生思想到這兒并沒有停止，他突發(fā)奇想，如果直線PF1換成另一條不經(jīng)過F1的直線，那軌跡又會怎么樣，利用幾何畫板提供的分離點(diǎn)命令，他得到了新的軌跡，而且軌跡隨著點(diǎn)M的拖動也在不斷地變化，學(xué)生的發(fā)散思維得到了鍛煉，創(chuàng)新能力得到了提升。

道路是平直的，汽車的輪胎都是圓形的，這是常識。如果汽車的輪胎是正方形的，路面仍然是平的，顯然坐起來會顛簸得厲害，那么要如何設(shè)計(jì)路面，才能使汽車平穩(wěn)行駛。通過幾何畫板的研究，可以解決路面的設(shè)計(jì)。

幾何畫板提供了強(qiáng)大的迭代功能與圖形處理能力，通過多次的迭代映射，可以充分發(fā)揮學(xué)生創(chuàng)新能力制作出各種漂亮的分形圖形。分形具有五個基本特征：精細(xì)的結(jié)構(gòu)；形態(tài)結(jié)構(gòu)不規(guī)則；局部與整體的自相似；分形維數(shù)是分?jǐn)?shù)；可由迭代生成。一些常見的分形圖形都能在幾何畫板中得以實(shí)現(xiàn)，例如Koch曲線、Sierpinski三角形、二叉分形樹、“三翅鷹”、Mandelbrot集、Julia 集、Cantor集等。

三、結(jié)束語

利用幾何畫板，能把抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，直觀化，開展探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變成“做數(shù)學(xué)”，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探索能力和創(chuàng)新能力。

[1]喻平.數(shù)學(xué)教師的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002，(1):9-11.

[2]王奮平.高師數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)《幾何畫板》課的必要性研究[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(5):56-58.

[3]梁森，王侃夫，王海群.高職教學(xué)策略的創(chuàng)新設(shè)計(jì)[J].中國職業(yè)技術(shù)教育，2006，(28):34-36.

[4]張景中.從PPT到動態(tài)幾何與超級畫板[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，(2):57-61.

[5]梁常東.利用幾何畫板模擬隨機(jī)試驗(yàn)[J].欽州學(xué)院學(xué)報(bào).2007（3）：12-15.

[6]傅金泉.利用幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí).網(wǎng)絡(luò)科技時代，2007，（6）：38-39.

[7]鄺孔秀.華羅庚的數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)思想及其啟示[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，2：5-7.

[8]陶維林.幾何畫板實(shí)用范例教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001.217-218.

[9]陳永勝，劉英軍.基于幾何畫板繪制雙曲線[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(6):5-7.