關(guān)于卡諾圖教學(xué)方法的探討

王 輝 ，倪 春

(合肥師范學(xué)院安徽省微波與通信工程技術(shù)研究中心，安徽合肥230601)

“數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)”課程是高等學(xué)校電子電氣類專業(yè)必修的基礎(chǔ)課，在教學(xué)計(jì)劃中占有十分重要的地位。而卡諾圖在該課程中應(yīng)用廣泛，是化簡邏輯函數(shù)、分析和設(shè)計(jì)數(shù)字邏輯電路的重要工具，所以熟練掌握卡諾圖及其應(yīng)用方法對“數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)”課程的學(xué)習(xí)大有裨益。1953年，美國Bell Laboratories工程師莫里斯·卡諾（Maurice Karnaugh）在維奇圖的基礎(chǔ)上提出了卡諾圖[1-2]的概念?？ㄖZ圖作為一種描述邏輯函數(shù)的特殊方法，它將邏輯函數(shù)的邏輯變量分成兩組，每一組變量取值組合按循環(huán)碼的規(guī)則排列構(gòu)成方格圖，圖中的每一個方格對應(yīng)著邏輯變量的一個最小項(xiàng)。卡諾圖作為真值表的一種變形畫法，它具有以下特點(diǎn)[3]：(1)n變量邏輯函數(shù)對應(yīng)的卡諾圖具有2n個方格，與其全部最小項(xiàng)數(shù)相一致；(2)卡諾圖中任意幾何位置相鄰的兩個最小項(xiàng)（被稱為幾何相鄰，又分為相接相鄰、相對相鄰、相重相鄰3種情況），在邏輯上也是相鄰的，反之亦然，即實(shí)現(xiàn)了幾何相鄰和邏輯相鄰的一致性。卡諾圖的這些特點(diǎn)，使得卡諾圖廣泛應(yīng)用于邏輯函數(shù)化簡、數(shù)字邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)過程中[4-6]。

在“數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)”課程的教學(xué)實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，對于時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析，特別是異步時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析是很多學(xué)生的盲點(diǎn)，因?yàn)閭鹘y(tǒng)方法處理起來繁雜，特別是異步時(shí)序邏輯電路涉及時(shí)鐘不同步問題，容易出錯，很難掌握。針對該問題，文章基于卡諾圖對該部分教學(xué)方法進(jìn)行了一些改進(jìn)，有效降低了時(shí)序邏輯電路分析問題的難度，特別是異步時(shí)序邏輯電路的分析難度。文章首先對卡諾圖在同步時(shí)序邏輯電路中的應(yīng)用[7-8]做一些總結(jié)和探討，采用不同的分析思路，然后將其應(yīng)用到異步時(shí)序邏輯電路的分析中，最后將卡諾圖用到降維圖法的教學(xué)中。

1 時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析

通過時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析[9-10]可以確定給定邏輯電路的邏輯功能，同時(shí)也為設(shè)計(jì)時(shí)序邏輯電路奠定了重要基礎(chǔ)。盡管時(shí)序邏輯電路根據(jù)其時(shí)鐘不同又有同步和異步之分，但是分析過程基本一致，按照圖1所示過程進(jìn)行。下面對由狀態(tài)方程得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移表這一難點(diǎn)過程進(jìn)行分析。一般情況下，這一過程的計(jì)算是將現(xiàn)態(tài)逐個代入到狀態(tài)方程中計(jì)算得到次態(tài)，如果狀態(tài)方程比較復(fù)雜，計(jì)算量就較大，特別針對異步時(shí)序邏輯電路，時(shí)鐘不同步，分析更困難?；诳ㄖZ圖的方法可有效降低計(jì)算復(fù)雜度，提升計(jì)算效率。

圖1 時(shí)序邏輯電路分析步驟

1.1 同步時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析

例1假設(shè)某一同步時(shí)序邏輯電路具有狀態(tài)方程如(1)式，求其對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移表。

解 畫出3變量Q1Q2Q3現(xiàn)態(tài)卡諾圖，如圖2(a)所示，方格外的序列是現(xiàn)態(tài)，方格內(nèi)對應(yīng)的是次態(tài)。對于的計(jì)算，一般方法需要將8種現(xiàn)態(tài)組合帶入狀態(tài)方程計(jì)算，此處為提升計(jì)算效率對Q1狀態(tài)方程分情況計(jì)算。觀察方程形式，將分0和1兩種情況：

（a）當(dāng)=0時(shí)，對應(yīng)次態(tài)卡諾圖的左半邊4個方格方程第2項(xiàng)為0，所以為與項(xiàng)等于1的概率是最小的，只有當(dāng)取值為10的時(shí)候所以左半邊4個方格只有當(dāng)取值為010的時(shí)候，其余等于1，填入卡諾圖相應(yīng)位置如圖2(b)所示；

（b）當(dāng)=1時(shí)，對應(yīng)次態(tài)卡諾圖的右半邊4當(dāng)，所以右半邊4個方格只有當(dāng)取值為100的時(shí)候，，其余等于0，填入卡諾圖相應(yīng)位置如圖2(c)所示；

對Q2狀態(tài)方程進(jìn)行化簡變換得分以下兩種情況：

（c）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)次態(tài)卡諾圖的上面一行4個方格，此時(shí)和項(xiàng)等于0的概率是最小的，只有當(dāng)00的時(shí)候，所以上面一行4個方格只有當(dāng)取值為000的時(shí)候

其余等于1，填入卡諾圖相應(yīng)位置如圖2(d)所示；

（d）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)下面一行4個方格，此時(shí)所以下面一行4個方格相應(yīng)位置都填0，如圖2(e)所示；

同樣分析計(jì)算，最終得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移卡諾圖如圖2(f)所示。

圖2 同步時(shí)序邏輯電路狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析

由上述分析發(fā)現(xiàn)，該分析方法思路清晰、簡潔，只需要將一張卡諾圖逐步按計(jì)算填充即可，而且一次可填充多個網(wǎng)格。若用一般方法計(jì)算(1)式的3變量次態(tài)需要計(jì)算24次，而現(xiàn)在只需要計(jì)算6次，有效提升了計(jì)算速度和計(jì)算效率。需要注意的是此處得到的計(jì)算次數(shù)僅針對(1)式，如果狀態(tài)方程更復(fù)雜，計(jì)算次數(shù)會有不同，即使如此，該方法針對復(fù)雜的狀態(tài)方程次態(tài)的計(jì)算，仍然可提升計(jì)算速度和計(jì)算效率。

1.2 異步時(shí)序邏輯電路的狀態(tài)分析

例2假設(shè)某一異步時(shí)序邏輯電路具有狀態(tài)方程如(2)式，求其對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移表。

解 對于異步時(shí)序邏輯電路，因?yàn)楦鳡顟B(tài)方程時(shí)鐘不同，特別是在時(shí)鐘函數(shù)復(fù)雜的情況下，分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移相當(dāng)困難，是教學(xué)中的一個重難點(diǎn)。將上面同步時(shí)序邏輯電路的分析思路應(yīng)用于分析異步時(shí)序邏輯電路，注意此處重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對時(shí)鐘函數(shù)的分析。

（a）Q1觸發(fā)沿為CP下降沿，當(dāng)=0，只有取值為01的時(shí)候所以左半邊4個方格只有當(dāng)取值為001的時(shí)候，=0，其余等于1，填入卡諾圖相應(yīng)位置；當(dāng)=1時(shí)，對應(yīng)次態(tài)卡諾圖的右半邊4個方格，≡0，所以相應(yīng)位置都填0，如圖3(a)所示；

(b)Q2的觸發(fā)沿為Q1的下降沿，從圖3(a)中找出Q1現(xiàn)態(tài)為1次態(tài)為0對應(yīng)的方格，如圖3(a)箭頭所示。在箭頭所示方格，Q2被觸發(fā)，滿足方程=，其余方格保持不變即=，如圖3(b)所示；

（c）Q3的觸發(fā)沿為·CP+的下降沿，由(2)式可知，CP變化可能同時(shí)觸發(fā)Q1、Q3，而Q2只有在Q1發(fā)生變化的情況下才有可能被觸發(fā)，而Q2變化又有可能再次導(dǎo)致Q3被觸發(fā)。根據(jù)以上分析，當(dāng)取值為01時(shí)，Q3的觸發(fā)沿為CP的下降沿，對應(yīng)的方格標(biāo)出箭頭，如圖3(b)所示；而在下一個CP脈沖到來之前，如果Q2出現(xiàn)了下降沿，那么Q3又被觸發(fā)，對應(yīng)方格標(biāo)出箭頭，如圖3(c)所示。圖3(b)，3(c)中箭頭所在網(wǎng)格Q3被觸發(fā)，即其余網(wǎng)格保持不變，最終結(jié)果如圖3(d)所示。

由以上分析可知，該分析思路大大降低了異步時(shí)序邏輯電路的分析難度，即使對于時(shí)鐘較復(fù)雜的情況，分析計(jì)算思路也較清晰，利用一張卡諾圖逐步計(jì)算填充，避免了繁雜的分析計(jì)算，大大簡化了分析計(jì)算過程。

圖3 異步時(shí)序邏輯電路狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析

2 降維圖法

在利用數(shù)據(jù)選擇器實(shí)現(xiàn)組合邏輯函數(shù)的過程中，如果組合邏輯函數(shù)的變量數(shù)大于數(shù)據(jù)選擇器的地址端的個數(shù)，那么就需要利用降維圖法。文獻(xiàn)[3]中對降維過程的描述：設(shè)記圖變量為x，對于原卡諾圖中，當(dāng)x=0時(shí)，原圖單元值為F；當(dāng)x=1時(shí)，原圖單元值為G，則在新的降維圖中對應(yīng)的降維圖單元中填入子函數(shù)xˉF+xG，其中F和G可以是0、1或某一變量，也可以是某一函數(shù)。這樣的描述很拗口也不直觀，對剛接觸該方法的學(xué)生來說理解起來相當(dāng)困難，計(jì)算起來也不方便。根據(jù)該知識點(diǎn)在實(shí)際教學(xué)過程的經(jīng)驗(yàn)，處理如下：

新降維圖中每個方格對應(yīng)原卡諾圖中的兩個方格，如果這兩方格中函數(shù)值都為F，那么新降維圖中該方格里填F；如果這兩方格函數(shù)值不同，那么變化順序和記圖變量變化一致的時(shí)候填記圖變量的原變量，相反的時(shí)候填記圖變量的反變量。

下面以4變量卡諾圖降維成3變量降維圖為例說明。如圖4所示，以邏輯變量D為記圖變量，則4變量卡諾圖中的上面兩行對應(yīng)3變量降維圖的上面一行，4變量卡諾圖中的下面兩行對應(yīng)3變量降維圖的下面一行。根據(jù)前面介紹的方法，可以方便地得到3變量降維圖，其對應(yīng)的各種不同情況，在圖4中用①②③④標(biāo)識出來。①、②為原圖中值相同的情況，則降維圖中對應(yīng)的方格值也一樣；③為變化順序一致的結(jié)果，④為變化順序相反的結(jié)果。

圖4 降維過程

3 結(jié)束語

卡諾圖貫穿整個“數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)”課程，合理巧妙地利用卡諾圖不僅可以快速降維，還能夠簡化對時(shí)序邏輯電路的分析，特別是大大降低了對異步時(shí)序邏輯電路的處理難度，只需要一張卡諾圖，逐步分析計(jì)算填充，一次可填充多個網(wǎng)格，不僅思路清晰，而且降低了計(jì)算復(fù)雜度，有效提高了計(jì)算效率?？ㄖZ圖的應(yīng)用廣泛，文章僅通過舉例詳細(xì)闡述了卡諾圖在降維圖法以及時(shí)序邏輯電路分析中的應(yīng)用，能夠有效提升教學(xué)效果。

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