數(shù)學(xué)教師承擔(dān)什么樣的角色——評(píng)講試卷中的三個(gè)函數(shù)題

☉湖北省長(zhǎng)陽二中 胡新生

教師在教育教學(xué)中的作用與地位是一個(gè)眾說紛紜的話題.數(shù)學(xué)教師在教育教學(xué)中又應(yīng)該承擔(dān)什么角色呢？下面我給出一個(gè)教學(xué)案例讓大家一起來分析.

函數(shù)抽象于生活實(shí)際，將為解決生活實(shí)際服務(wù).函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要思想方法，那么在學(xué)習(xí)中務(wù)必要重視函數(shù)的工具作用，增強(qiáng)函數(shù)意識(shí)，從而提高分析和解決問題的能力.于是在高三的一次月考后我對(duì)試卷中的三個(gè)函數(shù)問題作出如下引導(dǎo).

師：同學(xué)們，本節(jié)課我們對(duì)本次月考中的三個(gè)函數(shù)問題進(jìn)行繼續(xù)探討，希望同學(xué)們能從中領(lǐng)悟函數(shù)的工具作用.下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)俜治鎏羁疹}的第二題.

題 用長(zhǎng)為18cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，則其體積最大是______.

師：此題研究體積，那么從什么角度去考慮？

眾生：體積的計(jì)算，長(zhǎng)方體體積等于長(zhǎng)乘寬乘高.

師：正確.解決應(yīng)用題，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵，此題原始的數(shù)學(xué)模型就是V長(zhǎng)方體=長(zhǎng)×寬×高，我們?cè)趺慈ケ磉_(dá)它？也就是怎么用數(shù)學(xué)符號(hào)描述？

師：非常好！，設(shè)變量描述此式，并且長(zhǎng)、寬、高是相關(guān)的.不過，還需注意什么？

生：所設(shè)變量的范圍.

師：很好，也就是函數(shù)的定義域.怎么得到函數(shù)的定義域？

某生：結(jié)合實(shí)際情況，長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)都大于0.

師：好的！可以看出函數(shù)在我們的生活中，我們要懂得用變化的（函數(shù)）觀念來看待事物

下面請(qǐng)同學(xué)們自行完成此題.

……等待大部分學(xué)生基本完成后.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們分析填空題的第五題，注意讀懂題意.

師：此題的含義是（翻譯成我們通俗的語言）什么？

眾生：集合A中有兩個(gè)元素.

師：準(zhǔn)確點(diǎn)就好啦.

某生甲：集合A中有兩個(gè)正數(shù).

沉默片刻.

師：是否需要求該方程的根？

某生丙：不需要，方程根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可以求解.

師：很正確.如何轉(zhuǎn)化？

師：函數(shù)圖像便于分析么？

師：能否說說原因？等等，讓其他同學(xué)思考一會(huì)兒.

師（微笑）：你說出了我要說的話，下面請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ダL出兩個(gè)函數(shù)的圖像，并分析結(jié)果，可以相互討論.

估計(jì)一般的同學(xué)可以數(shù)形結(jié)合了之后.

師：剛才我們應(yīng)該進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到了方程與函數(shù)的關(guān)系，事實(shí)上方程的根就是相關(guān)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).下面請(qǐng)同學(xué)們分析解答題第21題的第二問，特別請(qǐng)同學(xué)們注意數(shù)學(xué)符號(hào)形式的引導(dǎo)，要能從現(xiàn)象透視本質(zhì).

師：回憶一下證明不等式的常用方法，并思考條件與結(jié)論是否有必然的聯(lián)系.

眾生：證明結(jié)論需利用函數(shù)的性質(zhì).

師：怎么去聯(lián)系與利用？同學(xué)們可以相互討論一下.

某生：可以將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為f（a）-2a

利用g（x）在［0，1］的單調(diào)性，也就是證明g（a）

師：太好啦！可以看出不等式是函數(shù)的一個(gè)方面，并且在變形時(shí)還遵循了一個(gè)原則，這個(gè)原則是什么？

眾生：“物以類聚”.

師：透過現(xiàn)象分析本質(zhì)是我們要認(rèn)真思考的.那么，同學(xué)們是否還有其他方式？試試看.

稍等后.

師：我們要解決的問題是否可以看做比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系？

眾生：哦……

某生：作差比較，也就是去判定f（a）-f（b）-2a+2b<0.

師：好的！同學(xué)們思考怎么判定？

一會(huì)兒后.

師：同學(xué)們別忘了函數(shù)哦！

某生：就是求函數(shù)的最大值.

師：求哪個(gè)函數(shù)的最大值？

某生：可以當(dāng)做關(guān)于a的函數(shù)，即h（a）=f（a）-2a-f（b）+2b在a∈（b，1］時(shí)的最大值.

另一生：也可以當(dāng)做關(guān)于b的函數(shù)，即h（b）=f（a）-2a-f（b）+2b在b∈［0，a）時(shí)的最大值.

師（微笑）：非常好，通過現(xiàn)象去分析本質(zhì)是解決問題的又一個(gè)關(guān)鍵.它不僅僅用于數(shù)學(xué)解題.那么，剩下的請(qǐng)同學(xué)們自己完成，并認(rèn)真思考通過這三個(gè)題你獲得了什么.

……

反思練習(xí)1：設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R（t）.若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑（ ）.

A.成正比，比例系數(shù)為c B.成正比，比例系數(shù)為2c

C.成反比，比例系數(shù)為c D.成反比，比例系數(shù)為2c

師：請(qǐng)同學(xué)們把三個(gè)反思練習(xí)完成好.不過千萬別忘了，函數(shù)抽象于生活實(shí)際以及方程、不等式與函數(shù)的真正聯(lián)系；當(dāng)然更要學(xué)會(huì)通過現(xiàn)象去聯(lián)系、去分析、去挖掘事物的本質(zhì)，以達(dá)到解決問題的效果.

一節(jié)課就這樣結(jié)束了.作為數(shù)學(xué)教師究竟要承擔(dān)什么角色是需要探討的問題，也是一個(gè)長(zhǎng)久的話題.最起碼教師不能只是“教書匠”.