函數(shù)教學的幾個有效策略

張國強

【摘要】 函數(shù)是高中數(shù)學的一條基本主線，函數(shù)思想始終貫穿于整個高中數(shù)學課程之中。由于函數(shù)具有抽象程度高，類型多、相關知識的聯(lián)系性強、思想方法復雜等特點，學生在學習函數(shù)時有一定的困難，這就對教師的教學提出了較高的要求。本文提出了函數(shù)教學的五個有效策略。

【關鍵詞】 函數(shù) 教學 策略

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）01-038-02

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函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。德國數(shù)學家克萊因認為：“函數(shù)應該是數(shù)學教育的靈魂。”函數(shù)是高中數(shù)學的一條基本主線，始終貫穿于整個高中數(shù)學課程之中。函數(shù)思想在數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內容中都有突出的體現(xiàn)。由于函數(shù)具有抽象程度高，類型多、相關知識的聯(lián)系性強、思想方法復雜等特點，學生在學習函數(shù)時有一定的困難。下面談談讓學生學好函數(shù)的幾個有效教學策略。

1. 深挖概念、定理、法則的內涵與外延，加深對數(shù)學知識的本質理解

案例1：函數(shù)的定義：一般地，我們有：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）。記作： y=f（x），x∈A

在學習這一概念時讓學生思考如下問題：

（1）如何理解函數(shù)概念中的“任意”及“唯一”？下列四個對應f：A→B.

哪一個表示從集合A到集合B的一個函數(shù)？

（2）f（x） 表示什么？含義是不是f乘x？（3）f（x）與f（a）的聯(lián)系與區(qū)別？

（4）映射與函數(shù)有哪些聯(lián)系與區(qū)別？

（5）構成函數(shù)有哪些關鍵要素？解析式為y=x2，值域為{1，4}的“不同函數(shù)”共有多少個？

評析：本案例通過多角度設計問題，讓學生辨析。在辨析中抓住概念的本質，通過“咬文嚼字”和“刨根究底”，充分地揭示數(shù)學概念的內涵與外延，讓學生對函數(shù)的概念本質有了深刻的理解。

2. 突出數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法在解題中的運用

案例2：a取何值時，函數(shù)f（x）=（2a-1）x+3a，x<1，loga，x，x≥1在整個定義域R上是減函數(shù)？

教師可引導學生用圖象進行分析，參數(shù)a變化時，函數(shù)的變化如下：

接著請學生總結：如果函數(shù)f（x）=f1（x），x≤0，lf1（x），x>x0在R上單調遞減，則f（x）滿足什么條件？

評析：在這個案例中函數(shù)的單調區(qū)間是否能并在一起，是許多學生沒搞明白的一個問題。解題時學生一般知道需要條件 （2a-1）<001oga1，畫圖可讓學生明白其中的原因：函數(shù)f（x）=f1（x），x≤0，lf1（x），x>x0在R上單調遞減，則f（x）滿足兩個條件：（i）f1（x）在（-∞，x0）上單調遞減，f2（x）在（x0，+∞）上單調遞減；（ii）f1（x0）≥f2（x0）.學生通過圖象得到直觀清晰的認識，進而引發(fā)對這一問題本質的思考。

3. 化抽象為具體，通過具體的函數(shù)模型加深對函數(shù)抽象問題的理解

案例3：已知函數(shù)y=f（x）的定義域為[0，4]，求函數(shù)y=f（x2）的定義域。

教師可先讓學生思考下列問題：

評析：本案例中學生容易這樣犯錯誤：因為0≤x≤4，所以0≤x2≤16，所以y=f（x2）的定義域為[0，16]。出現(xiàn)錯誤的原因是函數(shù)記號f（x）和f[g（x）]的形式太抽象，學生難以理解。教師注意應以具體例子為載體化解函數(shù)的抽象性，將問題有效地過度到學生可以理解的教育形態(tài)。為了學生理解，問題（1）（2）通過具體的、簡單具體事例，使學生明白了已知y=f（x）用代入法求解析式y(tǒng)=f（g（x））時g（x）應放的位置，問題（2）使學生明白了g（x）=x2整體位置與y=f（x）中x位置一樣所以范圍一樣，從而“恍然大悟”，悟出：（i）定義域指自變量的范圍的集合（ii）保持y=f（g（x））中g（x）與y=f（x）中x整體范圍一樣。

4. 注重函數(shù)題型的歸類，強化對錯題的反思與總結

（2） 求f（x）=4x-2x+1+2（x≥1）的值。

（3）已知方程（1gx）2-algx+1=0有兩個大于1的不同實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍。

（4）已知函數(shù)f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]，且f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取范圍。

評析：本案例中我將一些函數(shù)相關題型放在一起，讓學生在這些題中去發(fā)現(xiàn)“換元法”，從而找到共性的東西。通過在不同函數(shù)問題中的應用，學生能夠體味到設元的技巧、換元的使用方式，同時還能發(fā)現(xiàn)換元法具有顯露隱含，防止錯解，化難為易，把復雜問題簡單化的良好作用。

5. 利用函數(shù)的觀點去認識函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系

這個例子可以看出函數(shù)觀點在求解解析的最值問題中的重要性。此外函數(shù)觀點處理數(shù)列、線性規(guī)劃的最優(yōu)解、方程的根等問題方面也有著重要的應用，很多問題都能用函數(shù)性質去解決。用函數(shù)的思想觀點去解決問題既能實現(xiàn)變量的動與靜、數(shù)與形、外在與內涵的辯證統(tǒng)一，也能反過來加深我們對函數(shù)性質的理解與學習。

附：小課題《高一數(shù)學學情研究與教學策略》課題編號：GDXKT4399

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張宇. 淺談高中數(shù)學思想方法在解題中的重要性[J]教學研究2009，（10）.

[2]康井榮 突破函數(shù)概念教學難點的幾點對策[J] 中學數(shù)學教學2014，（3）.