獨立學(xué)院《微積分》教學(xué)法初探

劉 琳

（東北財經(jīng)大學(xué)津橋商學(xué)院 遼寧 大連 116600）

通過教學(xué)實踐，我們發(fā)現(xiàn)，獨立學(xué)院學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時存在著獨有的現(xiàn)象，如兩極分化嚴重，普遍缺乏興趣，不按時做作業(yè)等等，這些導(dǎo)致如果教師沿用公辦本科的教學(xué)內(nèi)容和方式，會出現(xiàn)有的學(xué)生“吃不飽”，有的學(xué)生“吃不消”等問題，這樣下去的話，最終的結(jié)果是老師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得痛苦。因此，如何根據(jù)獨立學(xué)院學(xué)生的特點，制定新的教學(xué)計劃甚至是采取新的教學(xué)方法的問題擺在了每一位老師面前。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實踐談一談對這個問題的認識和思考。

1 獨立學(xué)院學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點

1.1 基礎(chǔ)普遍薄弱

從生源上看，獨立學(xué)院學(xué)生入學(xué)成績介于二本和?？浦g，數(shù)學(xué)成績平均分一般在及格線左右。而高等數(shù)學(xué)和高中的數(shù)學(xué)無論是從研究對象還是處理問題的方法方面都是截然不同的。同時，大學(xué)學(xué)習(xí)一堂課能夠覆蓋教材15頁左右的知識，課容量也是高中無法比擬的。高等數(shù)學(xué)課程一般都是在大一上學(xué)期開設(shè)，而學(xué)生還需要從各個方面適應(yīng)全新的大學(xué)生活，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本來就薄弱，和客觀上的原因，很容易導(dǎo)致學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)不會，不會學(xué)，以致最后掛科的結(jié)果。

1.2 兩極分化嚴重

德國數(shù)學(xué)家漢克爾（Hankel，1839—1873）曾說過：“在大多數(shù)學(xué)科里，一代人的建筑被下一代人所摧毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞。惟獨數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的大廈上添加一層樓。”這說明，數(shù)學(xué)是一門積累性的科學(xué)。有的學(xué)生從小學(xué)開始數(shù)學(xué)就沒有及格過，對數(shù)學(xué)不感興趣，甚至談數(shù)學(xué)“色變”，一上數(shù)學(xué)課就如同聽“天書”一般，非常痛苦。還有的學(xué)生，高中階段非常擅長數(shù)學(xué)，高考數(shù)學(xué)分數(shù)也很高，由于別的科目考的不理想或者報志愿時出了差錯而來到獨立學(xué)院。那么，面對差距如此懸殊的學(xué)生，采用相同的教學(xué)目標和教學(xué)內(nèi)容，這顯然是不科學(xué)的。

1.3 不獨立思考問題，依賴性強

數(shù)學(xué)不僅能鍛煉人的抽象思維和邏輯思維能力，還培養(yǎng)吃苦耐勞的優(yōu)良品質(zhì)。一個數(shù)學(xué)定理可能要經(jīng)歷好幾代數(shù)學(xué)家的思考和鍥而不舍的努力才發(fā)明出來的，也可以說數(shù)學(xué)中到處充滿著數(shù)學(xué)家的智慧。因此，要真正的對數(shù)學(xué)入門，并學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須要學(xué)會思考。華羅庚曾經(jīng)說過“勤能補拙是良訓(xùn)”，“勤”的含義包括勤于思考，勤于練習(xí)。而很多學(xué)生，“坐享其成”，對教師的依賴性非常強，懶于動手動腦。在獨立學(xué)院的學(xué)生中，存在這種心理的學(xué)生占了大多數(shù)。這種學(xué)習(xí)方式非常不利于數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。

2 教師如何教《微積分》

為美國加利福尼亞大學(xué)斯坦因教授所著《數(shù)學(xué)世界》的中譯本作序的劉源章先生，在序言一開頭就說了這樣一段話：“人人都說數(shù)學(xué)有用，但又幾乎人人都說數(shù)學(xué)難學(xué)。曾經(jīng)有一位對數(shù)學(xué)發(fā)怵的名記者問過華羅庚，是不是自己太笨，學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)，華羅庚對他說不是他不行，而是他的老師不行。這樣看，不只是學(xué)生應(yīng)該知道怎樣去學(xué)數(shù)學(xué)，而且教師更要明白怎樣去教數(shù)學(xué)?！比A羅庚教授說給那個記者的話的意思是：把數(shù)學(xué)教成了僵死的、抽象的教師絕不是一名好教師。那么，應(yīng)該怎樣教數(shù)學(xué)，才能讓學(xué)生沒有畏懼，教出活潑生動的數(shù)學(xué)呢？

有許多杰出的數(shù)學(xué)家同時也是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育家,我國已故的閔嗣鶴教授就是一位。閔先生多年從事基礎(chǔ)課教學(xué),他的課講得十分生動,深受學(xué)生歡迎。上個世紀50年代初期,北京大數(shù)數(shù)力系曾組織一次全系的觀摩教學(xué),由閔先生主講數(shù)學(xué)分析中最重要也最困難的部分—極限理論。在題為“有序變量與無窮小量”的課上,他用自己制做的玻璃教具直觀地演示了Ε與△的依賴關(guān)系,非常精彩。數(shù)學(xué)分析中這個最難學(xué),也最不易解釋清的部分就這樣被閔先生講得直觀而具體,通俗易懂,令滿堂師生都嘆為觀止。閔先生在教學(xué)中注重抽象與具體的統(tǒng)一,注重邏輯思維與形象思維的結(jié)合,化抽象為具體,變枯燥為有趣,一下子就拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離。學(xué)生十分愛聽閔先生的課,并在不知不覺就登上了高等數(shù)學(xué)這個臺階。半個世紀過去了,閔嗣鶴先生當(dāng)年的許多學(xué)生都成為當(dāng)今中國著名的數(shù)學(xué)家,他們之所以有現(xiàn)在的成就,很大程度上得益于當(dāng)年的基礎(chǔ)教育。

華羅庚先生的教學(xué)風(fēng)格更是有口皆碑。他當(dāng)年在北京和外地舉辦過大量的數(shù)學(xué)講座,他講解問題從來都是深入淺出、生動直觀,即使是十分艱深的數(shù)論問題,他也要從一個很淺顯的例子入手。華先生的講座引發(fā)了許多人對數(shù)學(xué)的愛好,包括一些工人和干部,其中不乏因此而走上數(shù)學(xué)研究道路的人。

無論是閔嗣鶴、華羅庚的直觀教學(xué)法都說明了同一個道理：傳給后人的數(shù)學(xué),或者說教師教給學(xué)生的數(shù)學(xué),應(yīng)該是真正有意義的 “活的數(shù)學(xué)”。如果把數(shù)學(xué)認識過程中的那些具有直觀想象、猜想、直覺等特征的活動,也就是由形象思維所構(gòu)成的認識活動視為 “形”,而把經(jīng)過數(shù)學(xué)的抽象思維所得的結(jié)果視為 “意”,那么,閔嗣鶴先生的教學(xué)示范不都恰好(在數(shù)學(xué)教學(xué)中)印證了希爾伯特和阿蒂亞的名言嗎?這就是說,在教學(xué)過程中應(yīng)該盡可能地把抽象思維與形象思維結(jié)合起來。

3 教學(xué)實踐與體會

幾年來,我們在教學(xué)中,盡量注意“意”與“形”的結(jié)合。 在引入一些重要的數(shù)學(xué)概念和定理(如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分以及微分學(xué)基本定理、積分學(xué)基本定理等),或講一些重要的數(shù)學(xué)思想時,總是強調(diào)其幾何意義或物理背景,注意抽象思維與形象思維的結(jié)合。 例如,函數(shù)的變上限積分概念對于大學(xué)生來說,是非常抽象的。 我們在講解時,從它的幾何意義入手，強調(diào)函數(shù)的就是一一對應(yīng)關(guān)系，有一個積分上限就有一個曲邊梯形面積與之相對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合，學(xué)生有了直觀的認識，可以加深對概念的理解。又如,在講定積分的應(yīng)用時,我們隨時把握住所論問題的幾何意義和物理背景,特別在講“微元法”時,通過“面積是面積微元的積累”、“質(zhì)量是質(zhì)量微元的積累”、“流量是流量微元的積累”等,強調(diào)定積分就是一種“微元積累”(當(dāng)然這種積累要經(jīng)過取極限的過程才能完成),使學(xué)生加深了對定積分本質(zhì)的理解。

我們所講的“形”,不僅有“幾何原形”、“物理原形”,還特別強調(diào)重要概念和定理的“歷史原形”?？紤]到微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的主體,它的建立是近代數(shù)學(xué)誕生的重要標志,其發(fā)展史不僅是數(shù)學(xué)史的熱門課題,也是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容,因此,我們在教學(xué)過程中,自始至終都十分注意微積分思想發(fā)展史的教育。

英國科學(xué)史家丹皮爾曾經(jīng)說過：“再沒有什么故事能比科學(xué)發(fā)展的故事更有魅力了”。在數(shù)學(xué)五千余年的發(fā)展長河中，有無數(shù)的人和事發(fā)生著，這些就構(gòu)成教學(xué)中富有魅力的題材。例如在講授微積分學(xué)基本定理時，教師就可以介紹牛頓、萊布尼茲這兩位微積分學(xué)創(chuàng)始人的生平，他們是如何獨立發(fā)明微積分學(xué)基本定理的，以及這個定理在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的地位與作用。牛頓有一句名言“如果說我看得遠一些，那是因為我站在巨人的肩膀上”，學(xué)生對于這句話耳熟能詳，教師不妨在課堂上展開一下，那么這里所謂的“巨人”指的是誰呢？從學(xué)生熟悉的名言入手，之后自然的向他們介紹開普勒的“無限小元素法”、卡瓦列里的“不可分原理”等等這些先人的樸素的積分思想，也正是這些思想為牛頓的工作奠定了重要的基礎(chǔ)。這樣，呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的就不是干巴巴的一個定理，通過引入史實，學(xué)生看到的是一段有聲有色、有血有肉的活生生的故事，這個故事中有聲音，有人物之間的沖突，主人公與普通人一樣，也曾經(jīng)迷茫過，可能也走過彎路……將一個數(shù)學(xué)定理在如此精心設(shè)置的三維背景下講解，不僅擴大了學(xué)生的知識面，同時增加了情境，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好的理解了數(shù)學(xué)。

無窮級數(shù)這一章判斷級數(shù)斂散性的方法很多，極易混淆，又缺少在實際生活中應(yīng)用的題目，學(xué)生學(xué)起來覺得抽象難懂。那么，比如講到“阿貝爾定理”時，不妨介紹一下這位英年早逝的數(shù)學(xué)家阿貝爾，他的貢獻中能帶給學(xué)生啟發(fā)的就是關(guān)于一元五次方程沒有根式解的證明。學(xué)生們很熟悉一元二次方程的求根公式，由此引導(dǎo)他們思考下面這個問題：一元三次方程（甚至）更高次方程是否有根式解？在16世紀，三次方程根式解由意大利數(shù)學(xué)家費羅等人獲得；四次方程求根公式由費拉里得到。而關(guān)于一元五次方程，由阿貝爾于19世紀上半葉證明五次以上方程不能用公式求解。這樣，就開闊了學(xué)生的眼界，啟迪了思維。再舉一例，在講授完常數(shù)項級數(shù)后，可以向?qū)W生介紹古希臘著名的悖論“阿基里斯追龜”問題：“假設(shè)烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜?shù)钠鹋茳c領(lǐng)先一段距離，那么，當(dāng)阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜又爬行了一段距離；阿基里斯跑完這段距離時，烏龜又向前爬了一段；如此直至無窮。所以阿基里斯永遠追不上烏龜?！边@個問題，讓學(xué)生動手嘗試直接應(yīng)用常數(shù)項級數(shù)收斂定義來得出結(jié)論。它不僅鞏固了所學(xué)知識，又解決了歷史上的著名的問題，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，開拓了思路。

對于獨立學(xué)院的學(xué)生，微積分的學(xué)習(xí)是充滿困難的，教師教起來也不輕松。但是，作為教師，不僅從教學(xué)內(nèi)容上進行改革，因材施教，在教學(xué)方法上也要改變。那么如何增加數(shù)學(xué)概念的直觀性，趣味性，如何讓學(xué)生能夠?qū)W有所得，這些都是獨立學(xué)院數(shù)學(xué)教師亟待解決和思考的問題。

[1]杜瑞芝,譚奕.得“意”不要忘“形”——微積分教學(xué)法淺談[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000(12).

[2]Marshll GL and Rich BS.The Role of History in a Mathematics Class[J].Mathematics Teacher,2000,93(8).

[3]嚴士健.面向21世紀的中國數(shù)學(xué)教育[M].南京:江蘇教育出版社,1996.