基于Copula函數(shù)的波高與周期長(zhǎng)期聯(lián)合分布

陳子燊，曹深西

（中山大學(xué) 水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275）

波高和周期對(duì)海岸和海洋工程建筑物都具有強(qiáng)烈的影響。由于海岸和海洋工程建筑物失事代價(jià)很高，探索設(shè)計(jì)波高和相應(yīng)周期的長(zhǎng)期聯(lián)合分布模式，精確地推算其聯(lián)合設(shè)計(jì)水平，對(duì)于相關(guān)工程的投入與風(fēng)險(xiǎn)管理具有重要的應(yīng)用價(jià)值。已有研究表明，依據(jù)現(xiàn)有的《港口工程技術(shù)規(guī)范》關(guān)于重現(xiàn)期設(shè)計(jì)波高相對(duì)應(yīng)的波浪周期的推算方法來(lái)指導(dǎo)工作實(shí)踐是不太妥當(dāng)?shù)?。趙耀南（1982）提出采用“等重現(xiàn)期”原則，依據(jù)建筑物的耐波特性，選擇產(chǎn)生最大波浪荷載的最不利波高和周期的組合作為設(shè)計(jì)波浪，但過(guò)分強(qiáng)調(diào)運(yùn)行安全將明顯提高建筑物設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，增大工程建筑物的資金投入。Ochi（1978）和潘錦娥（1989）曾分別使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合波高與周期的長(zhǎng)期聯(lián)合分布，進(jìn)而導(dǎo)出平均周期的條件概率密度函數(shù)，為推求與多年一遇設(shè)計(jì)波高相對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)平均周期做了重要的探索。方鐘圣等（1989）指出，在給定波高下周期條件平均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨波高的變化并不能很好地遵循模式中隱含的對(duì)數(shù)正態(tài)律，利用長(zhǎng)期器測(cè)波浪資料分析，認(rèn)為在給定波高下周期的條件特征值的變化規(guī)律，其條件平均值和條件標(biāo)準(zhǔn)差隨著波高的變化可用線性回歸式表示，提出一個(gè)海洋波高與周期的長(zhǎng)期聯(lián)合分布的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ健２贿^(guò)，由于采用了一些近似假定，難以確定此聯(lián)合分布模式的普適性。為此，應(yīng)用新的理論與方法更深入地探索設(shè)計(jì)波高與相應(yīng)波周期的長(zhǎng)期聯(lián)合分布問(wèn)題值得嘗試。本文將以近十多年來(lái)已被廣泛應(yīng)用于金融工程風(fēng)險(xiǎn)和水文氣象極端事件的兩變量聯(lián)合分布的Copula函數(shù)的理論與方法（Favre etal，2004；Zhang etal，2007；Shiau etal，2007；劉曾美 等，2009；陳子燊 等，2011；Joe，1997），通過(guò)實(shí)例分析為波高和周期的長(zhǎng)期聯(lián)合分布模式的計(jì)算提供新的選擇。

1 基于Copula函數(shù)的聯(lián)合概率分布模型

1.1 Copula函數(shù)、參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

根據(jù)奠定Copula函數(shù)理論基礎(chǔ)的Sklar定理，令F是具有單變量邊緣分布函數(shù)F1，…，F(xiàn)n的n維分布函數(shù)，若邊緣分布函數(shù)F1，…，F(xiàn)n連續(xù)，則存在一個(gè)唯一滿(mǎn)足Fn（xn）關(guān)系的連接函數(shù)C。反之，如果C是一個(gè)n維Copula，且F1，…，F(xiàn)n為分布函數(shù)，則函數(shù)F（x1，…，xn）是邊緣分布F1，…，F(xiàn)n的聯(lián)合分布函數(shù)。

研究表明（秦振江 等，2007；熊立華 等，2005），基于Copula函數(shù)構(gòu)建多變量聯(lián)合概率分布模型有以下突出優(yōu)點(diǎn)：1）Copula函數(shù)能夠把邊緣分布和變量間的相關(guān)關(guān)系分開(kāi)處理，因此能夠?qū)吘壏植检`活選擇，選擇能更好地?cái)M合單變量自身變化規(guī)律的邊緣分布；2）Copula函數(shù)能夠捕捉隨機(jī)變量間的非線性相關(guān)關(guān)系，且求解較簡(jiǎn)單，相對(duì)于線性相關(guān)提高了適用范圍；3）由Copula函數(shù)導(dǎo)出的一系列的相關(guān)性度量指標(biāo)，拓展了變量間的相關(guān)性度量范圍，在實(shí)際工作中有更加廣泛的應(yīng)用。因此，實(shí)際建模可分兩步進(jìn)行：首先擇優(yōu)確定邊緣分布，然后再擇優(yōu)選擇能更好地反映變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合分布模式。當(dāng)前廣泛應(yīng)用于水文氣象領(lǐng)域的兩變量Archimedean族Copula函數(shù)有 （Zhang etal，2006）：①Gumbel-Hougaard（GH）Copula函數(shù)；②Clayton Copula函數(shù)；③Ali-Mikhail-Haq（AMH）Copula函數(shù)；④Frank Copula函數(shù)。由于使用不同的Copula函數(shù)分析結(jié)果可能明顯不同，因此可通過(guò)Genest-Rivest圖示方法（Genest etal，1993）、均方根誤差（RMSE）準(zhǔn)則法和AIC信息準(zhǔn)則法等擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法擇優(yōu)選用Copula函數(shù)。

1.2 聯(lián)合分布、重現(xiàn)期與風(fēng)險(xiǎn)概率

由上述Copula的定義和性質(zhì)可知，利用二變量Copula函數(shù)，歷年最大波高H和相應(yīng)平均周期T的聯(lián)合分布可表示為：

由單變量累積概率分布，可知邊緣分布最大波高H和相應(yīng)平均周期T的重現(xiàn)期為：

由概率論可導(dǎo)出以下2個(gè)條件概率（陳子燊，2011）。條件概率1：

條件概率2：

P（H≥h|T≥t）表示當(dāng)發(fā)生超過(guò)某一特定周期時(shí)，出現(xiàn)超過(guò)某一設(shè)計(jì)波高的概率；P（H≥h|T≤t）表示發(fā)生小于某一特定周期時(shí)，出現(xiàn)大于某一設(shè)計(jì)波高的概率。這兩個(gè)條件概率屬于超值概率，即可定義為遭遇概率或風(fēng)險(xiǎn)概率，其倒數(shù)即為條件（或遭遇）重現(xiàn)期。同理也可計(jì)算P（T≥t|H≤h）和P（T≥t|H≤h）的遭遇概率和條件重現(xiàn)期。

2 實(shí)例研究

2.1 研究背景與基本數(shù)據(jù)

實(shí)例研究數(shù)據(jù)采用粵東汕尾海洋觀測(cè)站1972-1992年觀測(cè)的歷年熱帶氣旋影響期間S向浪的最大波高H1/10與相應(yīng)的平均波周期T。樣本的基本統(tǒng)計(jì)特征值表明，最大波高H1/10為7.3m，相應(yīng)最大波周期T為8 s。極值波高及其相應(yīng)波周期的偏態(tài)系數(shù)分別為0.84和0.11，屬于正偏分布。

2.2 聯(lián)合分布計(jì)算與分析

2.2.1 邊緣分布函數(shù)

對(duì)兩樣本的邊緣分布，都使用了以下2個(gè)三參數(shù)的概率分布函數(shù)擇優(yōu)：

1）廣義極值分布 （GEV）：

閃速爐電收塵設(shè)計(jì)煙氣量［1］162000m3/h（350℃時(shí)）；入口煙氣溫度350℃，出口溫度280℃；入口壓力-2.5kPa，入口含塵量≤90g/m3；出口含塵量≤0.5g/m3；

2）皮爾遜三型分布（P-III）：

式中，ξ，β，μ分別為形態(tài)參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)。參數(shù)估計(jì)使用線性矩（L-矩）方法。經(jīng)驗(yàn)頻率分布Pi使用Gringorten公式計(jì)算：Pi=（i-0.44）/（n+0.12）。擬合結(jié)果采用均方根誤差（RMSE）、經(jīng)驗(yàn)頻率和理論頻率擬合誤差平方和（Q）和概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)（PPCC）檢驗(yàn)其擬合優(yōu)度。根據(jù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果（表1）比較，年最大H1/10和相應(yīng)平均周期T較優(yōu)邊緣分布分別選用P-III分布和GEV分布（圖1）。

表1 邊緣分布參數(shù)與優(yōu)度檢驗(yàn)值

圖1 年最大波高的P-III型分布（上圖）與相應(yīng)平均周期的廣義極值分布（下圖）

2.2.2 Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

統(tǒng)計(jì)表明，年最大波高和相應(yīng)周期之間的Spearman相關(guān)系數(shù)ρ高達(dá)0.93，Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ等于0.624，說(shuō)明二者之間存在高關(guān)聯(lián)性。采用相關(guān)性指標(biāo)法計(jì)算的兩個(gè)變量的聯(lián)合概率分布copula函數(shù)的參數(shù) θ等于 2.658，并利用 AIC、RMSE檢驗(yàn)其擬合優(yōu)度，結(jié)果見(jiàn)表2。

根據(jù)擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)，選擇兩樣本中AIC和RMSE最小、Genest-Rivest圖示方法KT-Ke關(guān)系圖中點(diǎn)據(jù)和理論直線最接近45°對(duì)角線的GH Copu1a函數(shù)作為聯(lián)合概率分布的連接函數(shù)。擇優(yōu)構(gòu)建年最大波高和相應(yīng)周期聯(lián)合概率分布模式如下：

圖2 copula函數(shù)擬合對(duì)比圖

表2 4個(gè)Copula函數(shù)的參數(shù)及其擬合優(yōu)度指標(biāo)對(duì)比

2.2.3 聯(lián)合概率分布與重現(xiàn)期

由二變量GH Copula聯(lián)合分布計(jì)算的年最大波高和相應(yīng)平均周期的聯(lián)合分布、聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期見(jiàn)圖4所示，不同重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)波高與設(shè)計(jì)周期見(jiàn)表3。按照同頻率原理 （即，T（0h，t）=T），年最大波高H1/10與相應(yīng)周期T聯(lián)合重現(xiàn)設(shè)計(jì)值大于單變量邊緣分布推算的設(shè)計(jì)值，重現(xiàn)期5～100年的設(shè)計(jì)波高值相對(duì)差值大約介于3.3%～5.8%。100年一遇年最大波高H1/10與相應(yīng)周期T邊緣分布設(shè)計(jì)值分別為8.5m和8.3 s，而同頻率的聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值為8.8m和8.3 s；50年一遇年最大波高H1/10與相應(yīng)周期T邊緣分布設(shè)計(jì)值分別為7.8m和8.1 s，同頻率的聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值分別為8.0m和8.2 s。兩變量邊緣分布重現(xiàn)期為50年一遇和100年一遇情況下的聯(lián)合重現(xiàn)期則分別為39年和77年，同現(xiàn)重現(xiàn)期則分別達(dá)71年和142年。此說(shuō)明，同頻率條件下年最大波高H1/10和相應(yīng)周期T聯(lián)合概率分布的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)高于單變量的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，其中波高設(shè)計(jì)值的差異略大于周期設(shè)計(jì)值；聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值可考慮作為海岸海洋工程建筑物波高和周期設(shè)計(jì)值的上下限。

表3 不同重現(xiàn)水平的年最大波高H1/10和相應(yīng)平均周期T的設(shè)計(jì)值

圖3 聯(lián)合重現(xiàn)期（年）等值線圖（左圖）和同現(xiàn)重現(xiàn)期（年）等值線圖（右圖）

2.2.4 條件概率分布與遭遇概率

分別計(jì)算最大波高H1/10與相應(yīng)周期T的兩種條件概率：P（H≥h|T≥）t和P（H≥h|T≤）t，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4、圖4。

表4顯示，在特定頻率設(shè)計(jì)波高條件下，隨波高設(shè)計(jì)頻率的減小，二者的遭遇概率也隨之迅速減小；反之，特定增水設(shè)計(jì)頻率隨風(fēng)速條件頻率的減小，二者的遭遇概率隨之明顯增大。條件概率1表明，同頻率下的年最大波高和相應(yīng)周期的遭遇概率介于70.4%～81.3%。設(shè)計(jì)頻率2%（重現(xiàn)期50年）的二者的遭遇概率為70.6%（條件重現(xiàn)期1.4年），設(shè)計(jì)頻率2%的最大波高與設(shè)計(jì)頻率為1%的相應(yīng)周期的遭遇概率為88.9%（條件重現(xiàn)期1.1年）。條件概率2顯示，當(dāng)設(shè)計(jì)波周期小于某定值時(shí)，相對(duì)于條件概率1，年最大波高和相應(yīng)周期的遭遇概率明顯減小，同頻率下年最大波高和相應(yīng)周期的遭遇概率介于0.3%～18.7%。二變量設(shè)計(jì)頻率都為2%時(shí)，遭遇概率為0.6%（條件重現(xiàn)期167年），設(shè)計(jì)頻率為2%的最大波高與設(shè)計(jì)頻率1%的周期的遭遇概率為1.1%（條件重現(xiàn)期89年）。

圖4 條件概率1等值線圖（左圖）和條件概率2等值線圖（右圖）

表4 年最大波高和相應(yīng)平均周期遭遇概率

3 結(jié)論

Copula函數(shù)作為一個(gè)強(qiáng)有力的理論與方法，計(jì)算簡(jiǎn)便，非常適用于長(zhǎng)期聯(lián)合分布與風(fēng)險(xiǎn)概率分析。本文對(duì)粵東汕尾海域臺(tái)風(fēng)浪最大波高與相應(yīng)周期的長(zhǎng)期聯(lián)合概率分布做實(shí)證分析，獲得如下結(jié)論：

（1）通過(guò)擇優(yōu)選取了年最大波高H1/10與相應(yīng)周期T的邊緣分布分別為P-III型分布和GEV分布，二者之間的較優(yōu)連接函數(shù)為Archimedean類(lèi)的Gumbel-Hougaard copula函數(shù)；

（2）同頻率條件下聯(lián)合分布重現(xiàn)水平設(shè)計(jì)值大于邊緣分布設(shè)計(jì)值，其中波高設(shè)計(jì)值的差異略大于周期設(shè)計(jì)值；同現(xiàn)重現(xiàn)期和聯(lián)合重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)值可作為海岸海洋工程建設(shè)中的設(shè)計(jì)波高和相應(yīng)周期的上下限，此有助于對(duì)工程資金投入與風(fēng)險(xiǎn)管理的綜合考慮；

（3）條件概率1表明，同頻率下的年最大波高和相應(yīng)周期的遭遇概率介于70.4%～81.3%，此相對(duì)很高的組合概率可作為工程建筑物損毀風(fēng)險(xiǎn)率；條件概率2顯示，當(dāng)設(shè)計(jì)波周期小于某定值時(shí)，年最大波高H1/10與相應(yīng)平均周期T的遭遇概率明顯減小，同頻率下二者的遭遇概率小于20%。

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