樁承式路堤土拱效應(yīng)三維分析

費(fèi) 康，王軍軍，陳 毅

（1.揚(yáng)州大學(xué) 巖土工程研究所，江蘇 揚(yáng)州225127；2.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210098）

樁承式路堤是指在地基中設(shè)置剛性樁或半剛性樁來支承路堤填土荷載，其具有施工速度快、沉降小、穩(wěn)定性高等特點(diǎn)，近年來在工程中得到了廣泛應(yīng)用［1－2］。

在路堤荷載作用下，地基土的沉降大于樁的沉降，使得路堤填土中出現(xiàn)剪應(yīng)力，荷載向樁頂轉(zhuǎn)移，從而減小了作用在地基土表面的壓力，這種現(xiàn)象稱為“土拱效應(yīng)”。樁承式路堤的設(shè)計(jì)思路在于經(jīng)濟(jì)合理的布置樁體，盡可能發(fā)揮路堤填土中的土拱效應(yīng)，減少地基土承擔(dān)的荷載。另一方面，如果在樁頂布置土工格柵等加筋材料，加筋材料的選擇取決于其所承擔(dān)的荷載。因而合理評價(jià)土拱效應(yīng)對樁承式路堤的設(shè)計(jì)至關(guān)重要［3］。

Terzaghi［4］根據(jù)活板門試驗(yàn)研究了平面土拱效應(yīng)，其假設(shè)填土中的破壞面為通過活動門邊緣的豎直面，作用在地基土表面的荷載等于滑動體的重力減去邊界上的摩阻力。Russell等［5］、Sloan等［6］將Terzaghi平面土拱效應(yīng)理論推廣到三維情況。Naughton［7］認(rèn)為填土中的破壞面為通過樁邊緣的對數(shù)螺旋曲線，該對數(shù)螺旋曲線的中心點(diǎn)為樁間土體的形心，作用在地基表面上的荷載為破壞面下方土體的重力，結(jié)果只適用于二維。Hewlett等［8］（以下簡稱H－R方法）根據(jù)二維和三維的室內(nèi)模型試驗(yàn)，假設(shè)填土中存在支撐于樁頂?shù)膱A形土拱，以拱頂或拱腳土體單元的極限平衡條件為設(shè)計(jì)控制狀態(tài)。Zeaske等［9］根據(jù)模型槽試驗(yàn)和數(shù)值分析，假設(shè)三維土拱為多個(gè)殼單元組成的系統(tǒng)，即所謂的“多拱模型”。

由于采用了不同的路堤填土破壞模式，各方法之間的計(jì)算結(jié)果差異較大，與實(shí)測數(shù)據(jù)也有所區(qū)別［10－11］。筆者首先根據(jù)模型槽試驗(yàn)和有限元數(shù)值分析對樁承式路堤填土中的三維破壞模式進(jìn)行分析，確定破壞面形狀；然后進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到三維土拱效應(yīng)的簡化計(jì)算方法；最后與有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

1 破壞模式的模型槽試驗(yàn)研究

1.1 試驗(yàn)概況

1.1.1 試驗(yàn)材料 試驗(yàn)在一長100cm、寬100cm、高150cm的鋼制模型槽中進(jìn)行。為方便觀測，模型槽一側(cè)為鋼化玻璃。試驗(yàn)用樁采用C20混凝土，截面為正方形，邊長a＝10cm，樁長L＝40cm，樁中心間距s＝50cm，為方便觀察樁頂土體變形，試驗(yàn)為“半模試驗(yàn)”，共使用了2根整樁和4根半樁，并將半樁與玻璃緊密貼合，具體布置方式見圖1。

為了使得樁和地基土之間產(chǎn)生足夠大的差異變形，充分發(fā)揮土拱效應(yīng)，試驗(yàn)中地基土采用泡沫模擬，厚度t＝40cm。根據(jù)室內(nèi)側(cè)限壓縮試驗(yàn)結(jié)果，在15%的應(yīng)變范圍內(nèi)，泡沫應(yīng)力 應(yīng)變近似為線性關(guān)系，壓縮模量為28.2kPa。

路堤填土采用標(biāo)準(zhǔn)石英砂模擬，砂土的比重ds為2.65，不均勻系數(shù)Cu為3.22，曲率系數(shù)Cc為1.17。填筑時(shí)的控制干密度ρd＝1.5g／cm3，相應(yīng)密實(shí)度下由直剪試驗(yàn)確定的摩擦角為27.3°。為減少模型槽側(cè)壁摩擦的影響，在砂土與玻璃壁之間涂抹凡士林，另外3邊鋪設(shè)塑料薄膜。由于樁的模量遠(yuǎn)大于地基土，樁的變形很小，模型槽側(cè)壁摩擦對樁的性狀影響較小，因此試驗(yàn)中未做額外的處理。

1.1.2 試驗(yàn)方法及儀器布置 試驗(yàn)中先將模擬軟土地基的泡沫就位，再將樁插入到預(yù)留的樁孔中，隨后進(jìn)行砂土的填筑。填筑過程中以5cm為1層，分層填筑。每層填土之間鋪設(shè)薄層彩砂，并在玻璃外側(cè)繪制直線，通過比較變形前后的照片，可以直觀的觀察路段填土在不同填土高度下的變形模式。

為了評價(jià)填土中的土拱效應(yīng)，試驗(yàn)中在2根樁的樁頂各布置了一個(gè)土壓力盒（T1和T2），從樁間土的中心點(diǎn)往上以100mm為間距共布置了10個(gè)土壓力盒（T3到T12），儀器具體布置見圖1。

圖1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷钠矫婕傲⒚鎴D

1.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

圖2 觀察到的破壞面

1.2.2 填土中的豎向應(yīng)力分布 圖3給出了實(shí)測的豎向應(yīng)力分布。圖中的深度是由填土表面向下起算的距離。結(jié)果表明，當(dāng)填土高度較低時(shí)，豎向應(yīng)力沿深度單一增加。當(dāng)填土高度較高時(shí)，豎向應(yīng)力分布曲線從上到下大致可以分為沿深度增加、減小、再增加3個(gè)階段。

豎向應(yīng)力沿深度的分布實(shí)質(zhì)上是破壞模式的體現(xiàn)，圖4將填土高度1.0m時(shí)的豎向應(yīng)力分布理論值與實(shí)測值進(jìn)行了比較。若認(rèn)為破壞模式符合Terzaghi方法，在不考慮等沉面的情況下，計(jì)算得到的豎向應(yīng)力應(yīng)沿深度逐漸減小，且減小的速率越來越小，這與填土高度較小時(shí)的豎向應(yīng)力分布特點(diǎn)相近。當(dāng)填土高度較高時(shí)，考慮到樁頂某一高度以上的填土中沉降基本相等，該高度以上的填土中沒有剪應(yīng)力，Terzaghi方法中將其作為超載考慮。這種情況下計(jì)算得到的豎向應(yīng)力分布曲線大致可分為2段，在等沉面高度以上為自重應(yīng)力分布，以下則隨深度逐漸減小。由此可見，無論是否考慮等沉面，Terzaghi方法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測曲線的分布形態(tài)都有所區(qū)別。

圖3 不同填土高度時(shí)的豎向應(yīng)力分布

圖4 豎向應(yīng)力分布的理論計(jì)算值與實(shí)測值比較（H＝1.0m）

根據(jù)H－R方法，填土中應(yīng)存在球形土穹，對正方形布置的方樁土穹的內(nèi)半徑為外半徑為在土穹頂部外側(cè)以上的填土中豎向應(yīng)力為自重應(yīng)力線性分布；在土穹中，豎向應(yīng)力減??；在土穹以下，豎向應(yīng)力又開始增加。按照H－R的土拱效應(yīng)理論，出現(xiàn)第2段曲線中的豎向應(yīng)力的減小是因?yàn)樘钔林谐霈F(xiàn)了土穹，豎向應(yīng)力減小段的始點(diǎn)對應(yīng)于土穹的外頂點(diǎn)，終點(diǎn)對應(yīng)于土穹的內(nèi)頂點(diǎn)。從試驗(yàn)結(jié)果來看，反算的土穹內(nèi)頂點(diǎn)的位置比H－R方法明顯的要低，H－R方法也存在一定的誤差。

值得注意的是，如果在Terzaghi方法中考慮圖2（b）所示的曲線滑動面，即考慮滑動體的寬度隨高程變化，得到的豎向應(yīng)力分布形態(tài)能較好的模擬實(shí)測規(guī)律（圖5），這表明將破壞面看做局限在樁頂?shù)呐轄钋媸呛侠淼摹?/p>

另外注意到，填土高度1.0m時(shí)實(shí)測地基頂面豎向應(yīng)力為7.4kPa，約為填土自重應(yīng)力的0.49。此時(shí)樁頂應(yīng)力實(shí)測值為178.8kPa（T1）和145.9kPa（T2），若將樁頂應(yīng)力取為T1和T2的平均值162.3 kPa，則樁和土共同承擔(dān)的荷載為13.6kN，與填土總荷載理論值15.0kN相差約9%，驗(yàn)證了實(shí)測數(shù)據(jù)的可靠性。

圖5 Terzaghi折線滑動面法模擬的豎向應(yīng)力分布

2 破壞模式的數(shù)值研究

2.1 有限元分析模型

2.1.1 幾何模型及邊界條件 計(jì)算中取一根樁及其控制范圍進(jìn)行分析。考慮到對稱性，所采用分析模型的平面示意圖如圖6所示，圖中的OAB為1／4樁，ACDEB為樁間地基土的表面。

圖6 有限元分析模型示意圖

由于計(jì)算的重點(diǎn)是分析極限情況下的土拱效應(yīng)，模型中可不包含樁體和地基土，差異沉降通過設(shè)置特定的邊界條件來實(shí)現(xiàn)。具體做法為：約束樁頂和樁間填土頂面3個(gè)方向的位移，約束分析模型四周的水平位移，對填土按自重應(yīng)力分布設(shè)置初始應(yīng)力狀態(tài)，即

式中：σz是豎向應(yīng)力；σx和σy是2個(gè)水平的應(yīng)力；γ是填土的重度；K0＝1－sinφ′是靜止土壓力系數(shù)；φ′是土體的有效摩擦角；z是從填土頂面起算的深度。

設(shè)置初始應(yīng)力狀態(tài)之后，在后續(xù)分析步中放松面ACDEB的位移約束條件，直至破壞。這種做法相當(dāng)于在不排水條件下進(jìn)行路堤填筑，隨后地基土固結(jié)沉降，填土中出現(xiàn)了足夠大的差異變形，直至土拱效應(yīng)完全發(fā)揮，模擬的是極限情況。

2.1.2 材料模型及計(jì)算方案 路堤填土采用莫爾庫侖理想彈塑性模型模擬，重度γ＝20kN／m3，彈性模量E＝20MPa，泊松比v＝0.3。為便于與簡化分析方法比較，取粘聚力c′＝0kPa，摩擦角φ′分別取20°、25°、30°、35°和40°，不考慮材料的剪脹角。計(jì)算中樁徑d＝0.5m，樁間距s分別取1.0、1.5、2.0和2.5m，對每一個(gè)樁間距，填土高度H分別取1.0、2.0、3.0、4.0、5.0和6.0m。

2.2 填土中的破壞面分析

填土中的破壞面通過等效塑性應(yīng)變增量的分布來反映，等效塑性應(yīng)變εeq定義為：

式中εp是塑性應(yīng)變張量。

圖7給出了φ′＝30°、s＝2.5m時(shí)不同填土高度下的破壞面位置。清晰起見，圖中只給出對角線剖面（圖6中的OD）樁頂以上一倍樁凈間距內(nèi)的結(jié)果。結(jié)果表明，填土高度與樁間距之比時(shí)，破壞面與Terzaghi方法中假設(shè)的豎直面基本相似，其破壞面近似沿著樁邊緣豎直面分布。而在的情況下，破壞面為樁頂?shù)呐轄钋妗?/p>

從破壞面形態(tài)來看，填土高度越大，泡狀破壞面越扁，水平范圍也越大。其它樁間距的計(jì)算結(jié)果也表現(xiàn)出相似的特性時(shí)為過渡狀態(tài)。

圖7 破壞面的位置（φ′＝30°）

不同摩擦角下的計(jì)算結(jié)果也表現(xiàn)出相同的規(guī)律，以s＝2.5m，H＝6.0m為例（圖8），不同摩擦角下的破壞面都顯示出相同的特性，即破壞面局限在樁頂上部填土內(nèi)，且可近似看成對數(shù)螺旋面；摩擦角越大，破壞面范圍也越大。

3 三維土拱效應(yīng)簡化分析方法

圖8 不同摩擦角時(shí)破壞面的位置（s＝2.5m，H ＝6.0m）

根據(jù)模型試驗(yàn)及有限元分析結(jié)果，樁承式路堤中填土的破壞模式可分為低路堤和高路堤破壞模式2種，當(dāng)路堤填土較小時(shí)（），填土中的破壞面為通過樁邊緣的豎直面，可仍采用Terzaghi土拱效應(yīng)理論分析分析。當(dāng)路堤填土較高時(shí)≥1.5），填土中的破壞面局限在樁頂局部范圍內(nèi)，可近似看成對數(shù)螺旋曲面，本章對高路堤破壞模式進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)而得到相應(yīng)的土拱效應(yīng)分析方法。

3.1 破壞面形狀

建立如圖9所示的軸對稱坐標(biāo)系，原點(diǎn)O為樁中心點(diǎn)，r軸水平向右，z軸豎直向上。OA為樁的半徑。假設(shè)破壞面ABCD是以O(shè)′為中心的對數(shù)螺

旋曲面，BE為通過O′點(diǎn)的豎直線，對數(shù)螺旋曲線上任一點(diǎn)D的切線方向與水平方向的夾角為δ，D點(diǎn)距O′點(diǎn)的距離R為R1exp［（ω－α1）tanφ］，R1是O′C的長度，α1、α2、α3和ω意義如圖所示。O′C的長度為R2＝R1exp［（α2＋α3）tanφ］。

圖9 破壞面形狀

3.2 方程推導(dǎo)

當(dāng)O′點(diǎn)確定之后，D點(diǎn)的水平坐標(biāo)為

α3由下式確定：

注意到R2與α3有關(guān)，α3可正可負(fù)。上式需迭代求解。進(jìn)而可求得破壞區(qū)域的高度Hf。

極限情況下，樁頂承受的荷載Pp包括2部分，即破壞面包含的土體自重W、破壞面邊界上正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ的合力在豎直方向的分量F。對于自重W有：

因而有

將式（4）和（8）代入式（7），考慮到

則有

式中：α4＝α1＋α2＋α3；α＝R1／eα1tanφ；β＝R2sinα3。

該積分可通過數(shù)值方法求得。

對于F，在活動面上取微分面積Rsecφdω·rdθ，θ是繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度，則該微分面積上應(yīng)力沿豎向的分量為

考慮到破壞面上達(dá)到極限應(yīng)力狀態(tài)，即τ＝σtanφ代入上式有

根據(jù)Kotter’s方程，破壞面上有

式中?S是微分弧長。

其解答為

設(shè)在樁邊緣處土體的豎向應(yīng)力為σs，土拱效應(yīng)完全發(fā)揮時(shí)其為小主應(yīng)力，豎向應(yīng)力為Kpσs，Kp是土的被動土壓力系數(shù)，因而可得到破壞面上的剪應(yīng)力τ＊＝（1 ＋Kp）σs×sinφ×cosφ，將其代入式（13）可 得C2＝e2α1tanφ［τ＊－C1eα1tanφ（3tanφsinα1－3cosα1）］，因而可根據(jù)下式求得合力F，

因而樁頂極限情況下承受的荷載為

3.3 求解方法

注意到在求解F時(shí)用到了樁間土表面的豎向荷載σs，其暫時(shí)未知，但與Pp應(yīng)滿足平衡關(guān)系，需迭代求解。具體求解步驟如下：

1）假設(shè)破壞面中心點(diǎn)位置，即R1和α1。

2）假設(shè)未發(fā)生土拱效應(yīng)，即樁間土承受的荷載為σs填土荷載γH。

3）根據(jù)式（15）求解樁頂荷載Pp。

4）驗(yàn)算平衡條件是否滿足，即σs×As＋Pp＝γHS2，式中As是樁間土的表面面積。如果平衡條件不滿足，由計(jì)算σs后跳轉(zhuǎn)到第3步。

5）平衡條件滿足后計(jì)算應(yīng)力折減系數(shù)

應(yīng)力折減系數(shù)Sr在0～1之間，若Sr＝1，意味著作用在樁間土表面的荷載就等于填土荷載，沒有出現(xiàn)土拱效應(yīng)。反之，若Sr＝0，所有的荷載都轉(zhuǎn)移到樁頂。

6）重復(fù)以上步驟，搜索確定最危險(xiǎn)情況及最大的應(yīng)力折減系數(shù)Sr。

4 簡化分析方法的驗(yàn)證

4.1 與有限元計(jì)算結(jié)果的比較

圖10（a）給出了應(yīng)力折減系數(shù)Sr與填土高度和樁凈間距之比的變化關(guān)系，圖中的反映了不同樁間距的影響。由圖可見，雖然簡化分析方法計(jì)算得到的應(yīng)力折減系數(shù)略高于有限元計(jì)算結(jié)果，但整體變化規(guī)律是一致的。隨著增加Sr減小，但降低的速率逐漸放緩，填土高度較高后基本保持不變。而對不同m值，m值越小，Sr越大，地基土需要承擔(dān)更多的荷載，因而需要合理的設(shè)置樁間距及樁帽尺寸。同時(shí)也注意到，當(dāng)時(shí)，m對S的影響不明r顯，這是因?yàn)榇藭r(shí)路堤填土中的破壞模式主要是低填土路堤模式，土拱效應(yīng)的程度只取決于破壞面上發(fā)揮的摩擦力，S主要與有關(guān)。

圖10（b）給出了s＝2.5m，H＝6m時(shí)應(yīng)力折減系數(shù)Sr與摩擦角φ之間的關(guān)系。結(jié)果表明，有限元方法和該簡化方法得到的規(guī)律是一致的。隨著摩擦角的增加，Sr減小的很明顯，當(dāng)φ＝20°時(shí)，簡化分析方法計(jì)算得到Sr＝0.84；當(dāng)φ＝40°，Sr快速降低為0.25，更多的荷載通過土拱效應(yīng)傳遞給樁。

圖10 應(yīng)力折減系數(shù)的有限元和簡化方法計(jì)算結(jié)果的比較

4.2 與試驗(yàn)結(jié)果的比較

將該方法計(jì)算得到的應(yīng)力折減系數(shù)Sr與文獻(xiàn)中收集的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。對比起見，表1中同時(shí)給出了該方法、H－R方法和Terzaghi方法的計(jì)算結(jié)果。需要指出，在應(yīng)用Terzaghi方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，存在2個(gè)不確定的因素，即豎直滑動面上的土壓力系數(shù)K及等沉面高度Hc的確定。計(jì)算中，按Russell和Pierpoint［5］的建議將K取為1.0，Hc取為1.4（s－d）。在應(yīng)用該方法時(shí)，需將方樁按照面積相等的原則轉(zhuǎn)換為圓樁，即d＝1.13a。

計(jì)算結(jié)果表明，H－R方法低估了土拱效應(yīng)的程度，計(jì)算得到的應(yīng)力折減系數(shù)偏大，樁凈間距較大時(shí)偏差更為明顯。對于Terzaghi方法，計(jì)算結(jié)果的精確度取決于等沉面高度和破壞面上的土壓力系數(shù)的取值，這2點(diǎn)仍然存在不確定因素。整體上來看，對的路堤，由于采用了更合適的破壞模式，筆者提出的簡化分析方法計(jì)算結(jié)果最好。如對試驗(yàn)1，實(shí)測的應(yīng)力折減系數(shù)為0.49，該方法計(jì)算值為0.55，在所有方法的計(jì)算結(jié)果中最為接近。若考慮樁頂荷載，試驗(yàn)1中的樁頂應(yīng)力實(shí)測值（T1和T2的平均值）為162.3kPa，對應(yīng)的極限荷載為1.623 kN，與由該方法式（15）計(jì)算得到的1.792kN相差約9.4%，吻合度也較好。這是因?yàn)閼?yīng)力折減系數(shù)Sr反映的是樁間土體分擔(dān)荷載的情況，Sr相同意味著土體承擔(dān)的荷載相同，也就意味著樁承擔(dān)的荷載也相同。

表1 應(yīng)力折減系數(shù)的計(jì)算值與試驗(yàn)結(jié)果的對比

另外，也需要指出，該方法求解的是極限情況下的土拱效應(yīng)。因而對試驗(yàn)7～9，該方法的計(jì)算結(jié)果明顯偏小。這是因?yàn)樵囼?yàn)7～9是現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)，地基土有一定的支撐作用，樁和樁間土的差異沉降未能使得土拱效應(yīng)完全發(fā)生。而試驗(yàn)1、試驗(yàn)2～4中地基土采用泡沫模擬，試驗(yàn)5～6地基土采用軟弱粘土，試驗(yàn)10～11中采用了類似活動門試驗(yàn)的做法，地基土表面可任意沉降。在這些試驗(yàn)中樁和樁間土之間都產(chǎn)生了足夠的差異沉降，填土達(dá)到了極限情況。

5 結(jié) 論

1）三維試驗(yàn)和有限元分析結(jié)果表明，樁承式路堤的破壞模式取決于路堤填土的高度，填土高度小于樁凈間距時(shí)，破壞面從樁邊緣向上豎直延伸至填土表面；隨著填土高度的增加，破壞面逐漸演變?yōu)榫窒拊跇俄數(shù)呐轄钋妗?/p>

2）根據(jù)試驗(yàn)和有限元分析結(jié)果所假設(shè)的高路堤破壞模式，建立了土拱效應(yīng)三維分析方法，并與有限元數(shù)值分析和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了破壞模式和分析方法的可靠性。

3）所提出的三維簡化分析方法適用于求解土拱效應(yīng)完全發(fā)揮時(shí)的應(yīng)力折減系數(shù)，未達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)樁、土之間的荷載分擔(dān)需進(jìn)一步研究。

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