具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局漸近穩(wěn)定性

常 青，周立群

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型自1988年由Chua等[1]首次提出以來，在理論與應(yīng)用中已被廣泛研究.細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種能實(shí)時(shí)、高速并行處理信號的大規(guī)模非線性模擬電路模型，易于VLSI實(shí)現(xiàn).因而細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理、模式識別、聯(lián)想記憶、通信保密及組合優(yōu)化等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用前景.細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為對網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)，如平衡點(diǎn)的存在性、唯一性，全局漸近穩(wěn)定性或指數(shù)穩(wěn)定性有著重要的影響，而平衡點(diǎn)的性質(zhì)在細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中起著重要作用.平衡點(diǎn)可視為細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具任意周期的一個(gè)特殊的周期解，因而對細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的研究也有重要意義.

在關(guān)于細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的穩(wěn)定性的研究中，主要的方法有Lyapunov泛函[2－4]、重合度理論中的Mawhin延拓定理[5－7]、不動(dòng)點(diǎn)定理[8]、Halanay不等式[9]等，或者是其中幾種方法的結(jié)合.如文獻(xiàn)[10]利用重合度理論中的連續(xù)性定理及Lyapunov泛函研究了具分布時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和全局穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[11]利用Lyapunov泛函及Halanay不等式研究了具時(shí)變時(shí)滯和分布時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[12]利用重合度理論中的連續(xù)性定理及合適的退化Lyapunov－Krasvovskii泛函研究了具時(shí)滯和脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[13]利用Lyapunov泛函和Young不等式研究了具常時(shí)滯和變時(shí)滯模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性和周期解的存在性.在控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中得到廣泛應(yīng)用的Barbalat引理，也可應(yīng)用于非線性自治系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析.因而本研究利用Barbalat引理及Lyapunov泛函討論具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局漸近穩(wěn)定性，得到了具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局漸近穩(wěn)定性的新的充分條件.

1 模型與預(yù)備知識

考慮如下具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型：

其中：t＞0；n是網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；xi（t）表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)變量；fj（xj（t））表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸出；di＞0表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通并且無外部附加電壓差的情況下第i個(gè)神經(jīng)元恢復(fù)獨(dú)立靜息狀態(tài)的速率；aij、bij是常數(shù)，分別表示第j個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的輸出對第i個(gè)神經(jīng)元的影響強(qiáng)度和第j個(gè)神經(jīng)元在t－τj時(shí)刻的輸出對第i個(gè)神經(jīng)元的影響強(qiáng)度；τj是非負(fù)常數(shù)；Ii（t）是周期為ω＞0的輸入函數(shù).

系統(tǒng)（1）的初始條件為

假設(shè)系統(tǒng)（1）的輸出函數(shù)滿足下列條件：

（C2）fi（x）滿足全局Lipschitz連續(xù)，即存在li＞0，使得

定義 設(shè)φ（t）＝（φ1（t），φ2（t），…，φn（t））T是系統(tǒng)（1）的周期解，若系統(tǒng)（1）從任意初始函數(shù)ξ（t）＝（ξ1（t），ξ2（t），…，ξn（t））T出發(fā)的解軌跡x（t；ξ（t））都滿足

則稱系統(tǒng)（1）的周期解φ（t）是全局漸近穩(wěn)定的.

引理1[14]（Barbalat引理） 如果函數(shù)φ（t）、（t）有界，而且φ（t）平方可積，則φ（t）＝0.

引理2 設(shè)fi（x）滿足（C1），則系統(tǒng)（1）的解有界.

證明 ?t＞0，系統(tǒng)（1）的解可表示為

因此，系統(tǒng)（1）的解有界.

2 主要結(jié)果

定理 假設(shè)（C1）、（C2）成立，如果則系統(tǒng)（1）的周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 設(shè)φ（t）＝（φ1（t），φ2（t），…，φn（t））T是系統(tǒng)（1）的周期解，令yi（t）＝xi（t）－φi（t），則有

構(gòu)造正定Lyapunov泛函

對V（y（t））沿系統(tǒng)（1）求導(dǎo)得

設(shè)t≥0，上式兩邊同時(shí)從0到t積分得

于是有

由引理2知系統(tǒng)（1）的解x（t）＝（x1（t），x2（t），…，xn（t））T在t≥0上有界，即xi（t）在t≥0上有界，由式（1）知在t≥0上也有界.而φ（t）是系統(tǒng)（1）的周期解，則在t≥0上也有界.又因?yàn)閥i（t）平方可積，則由引理1知因此，系統(tǒng)（1）是全局漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)（1）的任意解都收斂到它的周期解.

在系統(tǒng)（1）中，若對任意i＝1，2，…，n，都有Ii（t）＝Ii，則系統(tǒng)（1）變?yōu)?/p>

由定理可直接得到如下推論：

推論 假設(shè)（C1）、（C2）成立，如果則系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：

因此，由定理得系統(tǒng)（3）的任意解都收斂到其周期解.仿真結(jié)果見圖1.

圖1 系統(tǒng)（3）的仿真圖Fig.1 Simulation figure of system （3）

例2 考慮如下具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：

因此，由定理得系統(tǒng)（4）的任意解都收斂到其唯一周期解.仿真結(jié)果見圖2.

圖2 系統(tǒng)（4）的仿真圖Fig.2 Simulation figure of system （4）

4 結(jié)論

討論了一類具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局漸近穩(wěn)定性，通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函及應(yīng)用Barbalat引理，得到了具時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的全局漸近穩(wěn)定性的新的充分條件，所得條件與時(shí)滯無關(guān)，更具一般性.

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