基于VG分布下期權定價的FFT方法實證研究

肖 燕，周樹民，鄭志雄

(武漢理工大學理學院，湖北 武漢 430070)

期權定價是金融應用領域中經(jīng)常遇到的問題之一。早在1973年，BLACK和SCHOLES就建立了期權定價的B-S模型。B-S模型是在假設金融資產(chǎn)收益率服從對數(shù)正態(tài)分布的條件下建立的。近期研究表明，實際情況下的基礎資產(chǎn)價格對數(shù)收益率往往不服從正態(tài)分布，而一些非正態(tài)分布(如Levy分布)能較好地擬合資產(chǎn)價格。雖然基礎資產(chǎn)價格對數(shù)分布密度函數(shù)很復雜或無解析解，直接應用風險中性定價理論對期權定價很困難，但是資產(chǎn)價格對數(shù)的特征函數(shù)存在并且相對簡單。因此，在計算期權價格時采用傅立葉變換方法會容易些。MADAN和SENETA[1]提出了用增量服從方差伽馬(Variance Gamma)分布的Levy過程來描述股票收益率;STEIN等[2]最早在隨機波動率模型中提出用傅立葉逆變換方法來得出基礎資產(chǎn)的概率分布;HESTON[3]采用特征函數(shù)的方法得到了帶時變波動率的基礎資產(chǎn)的歐式期權定價的解析定價公式;CARR和MADAN[4]采用快速Fourier變換(FFT)方法對期權定價的數(shù)值計算方法進行了研究;ITKIN[5]對VG模型采用FFT進行了期權定價;MARTIN[6]采用傅立葉變換對期權定價的原理及應用給出了一個綜述。目前，國內(nèi)對期權采用Fourier變換方法定價的研究比較少見，如2003年奚煒[7]對 Variance Gamma期權定價解析解進行了分析，而應用FFT方法計算中國權證價格的研究不多，因此很有必要在這方面進行一些研究和探討。

1 期權定價中的Fourier變換方法與FFT

當k表示期權執(zhí)行價格K的對數(shù)，即k=ln K時，用CT(k)表示期限為T、期權標的資產(chǎn)在到期日時的即期價格為ST、執(zhí)行價格為ek的歐式看漲期權的理論價格。假設sT=ln ST在風險中性概率測度Q下的密度分布函數(shù)為qT(s)，根據(jù)CARR和WU[8-9]的風險中性概率測度下衍生品定價理論，sT在風險中性概率測度Q下的特征函數(shù)為:

原始的看漲期權價格CT(k)與風險中性概率密度qT(s)有關:

當k趨向于-∞時，CT(k)趨向于S0，看漲期權價格函數(shù)不是平方可積的，因此，調(diào)整后的看漲期權價格cT(k)為:

其中，α為阻尼參數(shù)。

下面考慮cT(k)的Fourier變換:

由Fourier逆變換得到看漲期權價格為:

假設股票價格對數(shù)收益率服從VG分布，那么在該分布下的股票價格對數(shù)在風險中性概率測度下的特征函數(shù)φT(u)、看漲期權價格CT(k)、函數(shù)ψT(v)和阻尼參數(shù)α如表1所示。

表1 VG分布相關項目表

當選好參數(shù)α后，需要選擇積分上限Nh，使得計算的近似值精度較高。即:

其中:N為充分大的正整數(shù);h為很小的數(shù)。

根據(jù)積分的定義，將區(qū)間[0，Nh]N等分，則式(5)可以由下面的方法直接計算:式(7)既可以近似計算期權價格式(5)，也可以用FFT來計算該積分。同時對式(7)加入

Simpson權重，增加步長h，減少N值加以改進來提高運算效率，則可得到:

用直接積分法計算權證價格時，選擇數(shù)值積分的截斷誤差為ε=0.000 1;適當增加N值，減少h值，當最近兩次計算權證的價格相差小于0.000 1時，終止循環(huán)運算，并將最新計算的權證價格作為權證的理論價格。在FFT方法中，選取N=4 096，h=0.25;在加權快速Fourier變換法中，選取 N=2 048，h=0.50，計算權證的價格。后兩種方法將分別得到相應的N個期權價格，選取與執(zhí)行價格最接近的那個即可。

2 實證分析

對上海證劵市場的4只交易權證:康美CWB1、寶鋼 CWB1、葛洲 CWB1和江銅 CWB1，選取期權標的股票2008年5月至2010年10月實際交易日數(shù)據(jù)樣本進行定價。樣本數(shù)據(jù)來源于銳思金融研究數(shù)據(jù)庫(www.resset.cn)。假設股票價格對數(shù)在風險中性概率測度下的特征函數(shù)φT(u)服從VG分布，下面對VG模型特征函數(shù)中的參數(shù)采用矩估計的方法進行估計。

由特征函數(shù)的性質φ(r)X(0)=E(Xr)ir，得到方程組如下:

表2 權證標的股票特征函數(shù)VG分布參數(shù)估計

使用式(7)計算直接數(shù)值積分價格和FFT價格，使用式(8)計算加權FFT價格，B-S價格中的波動率參數(shù)是使用樣本的股價數(shù)據(jù)計算得到的歷史波動率數(shù)值。權證價格比較如表3所示。計算效率如表4所示。

由表3可知，當假設股票價格對數(shù)的特征函數(shù)服從VG分布時，用數(shù)值積分和用FFT方法計算的權證價格完全相同。由于FFT方法也是計算數(shù)值積分的一種方法，因此結果符合預期。同時前3種方法的計算結果與B-S的計算結果差別不大。通過表4可以看到，用FFT方法計算的速度是直接數(shù)值積分方法的上百倍。加權改進后計算速度更快，計算結果也在理想范圍內(nèi)。

表3 權證價格比較

表4 期權價格計算效率比較

3 結論

通過研究發(fā)現(xiàn)，直接數(shù)值積分計算與FFT計算得到的期權價格相同，且FFT計算積分的速度是直接積分計算速度的上百倍?？紤]到基于Levy過程下期權定價方法的復雜性，在中國證劵市場，用B-S公式給期權定價是快速近似估算權證價格的有效方法之一。運用Fourier變換法對期權定價，解決了當資產(chǎn)價格對數(shù)分布密度函數(shù)復雜時，直接應用風險中性定價理論進行期權定價的計算困難問題，并能將誤差控制在預先設定的范圍內(nèi)。同時采用FFT方法進行數(shù)值計算，利用計算機編程，大大提高了計算效率。

[1] MADAN D B，SENETA E.The variance gamma model for share market returns[J].Journal of Business，1990，63(4):511-524.

[2] STEIN E，STEIN J.Stock price distributions with stochastic volatility:an analytic approach[J].Review of Financial Studies，1991(4):727-752.

[3] HESTON S L.A closed form solution for options with stochastic volatility with application to bond and currency options[J].Review of Financial Studies，1993(2):27-34.

[4] CARR P P，MADAN D B.Option valuation using the fast Fourier transform[J].Journal of Computational Finance，1999，2(4):61-73.

[5] ITKIN A.Pricing options with VG model using FFT[EB/OL].[2012-03-07].http://arXiv:physics/0503137v1.

[6] MARTIN S.Option pricing formulae using Fourier transform:theory and application[EB/OL].[2012-03-07].http://pfadintegral.com/docs/Schmelzle2010%20Fourier%20Pricing.pdf.

[7] 奚煒.Variance gamma期權定價模型的一種解析表達及評判檢驗[J].系統(tǒng)工程理論方法應用，2003，12(1):111-116.

[8] CARR P，WU L R.Time-changed Levy processes and option pricing[J].Journal of Financial Economics，2004(17):113-141.

[9] CARR P，WU L R.Finite moment log stable process and option pricing[J].Journal of Finance，2003(58):753-777.