一致耦合方法的提出及其在大跨空間結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析中的應(yīng)用

柯世堂 ，葛耀君，趙林，張軍鋒，田村幸雄

(1.南京航空航天大學(xué) 土木工程系，江蘇 南京，210016；2.同濟大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海，200092；3.東京工藝大學(xué) 風(fēng)工程研究中心，神奈川 厚木，243-0297)

Davenport[1]于1967年引入隨機振動理論將結(jié)構(gòu)在脈動風(fēng)作用下的響應(yīng)分為背景和共振2部分，并采用“陣風(fēng)荷載因子”表示高層建筑的等效靜風(fēng)荷載。借鑒這一思想，將等效靜風(fēng)荷載(ESWLs)也相應(yīng)分成平均、共振與背景3個分量來求解，是由Zhou等[2-3]最早提出并經(jīng)Holmes[4-5]進(jìn)一步發(fā)展形成的經(jīng)典求解方法，但其最大的局限性在于：(1)沒有很好地解決共振分量求解中各模態(tài)之間的耦合項；(2)由于采用SRSS方法來組合獲得脈動風(fēng)總響應(yīng)，因此，其無法考慮背景與共振模態(tài)之間的交叉項；(3)沒有一個統(tǒng)一、完備的ESWLs計算理論來求解共振和交叉項分量。圍繞這一難題，國內(nèi)外很多學(xué)者都進(jìn)行了相關(guān)的研究并取得了一定的成效。周印[6]采用三分量的方法對上海金茂大廈進(jìn)行了分析，并與GLF法的結(jié)果進(jìn)行對比，認(rèn)為三分量法的結(jié)果更精確合理；Holmes[4]提出采用LRC法和慣性風(fēng)荷載(簡稱IWL)法相結(jié)合來表示大跨度屋蓋的等效靜風(fēng)荷載，并給出了平均風(fēng)荷載、背景風(fēng)荷載以及代表多階共振分量的慣性風(fēng)荷載一起組合的表達(dá)形式，但這種方法必須假定各參振模態(tài)之間能夠很好的分離。Chen等[7-9]借鑒抗震分析的方法，將模態(tài)共振響應(yīng)耦合項的貢獻(xiàn)表示為獨立模態(tài)的貢獻(xiàn)和其相關(guān)系數(shù)乘積的形式，認(rèn)為當(dāng)相關(guān)系數(shù)比較大時，模態(tài)間的耦合性較強，需要采用CQC組合結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)，反之則采用SRSS組合；陳波等[10]結(jié)合POD和Ritz疊加法對大跨屋蓋的主要共振模態(tài)的選擇進(jìn)行了探討，但沒有很好地解決背景和共振模態(tài)之間的耦合效應(yīng)問題；謝壯寧等[11]采用基于完全CQC組合結(jié)構(gòu)的模態(tài)風(fēng)振力，獲得的ESWL中包含了所有模態(tài)的背景、共振及其耦合項，從精確度上滿足要求，但由于沒有區(qū)分背景和共振分量，使得風(fēng)荷載作用機理不明確。大多研究[12-17]都是針對共振模態(tài)之間的耦合項(即前面提到的第1點局限)，而忽略背景與共振之間的耦合項(第2點局限)，并且也沒有提出一個有效的計算交叉項ESWLs的方法(第3點局限)。然而，對于某些強耦合柔性結(jié)構(gòu)來說，背景和共振之間的耦合項分量所占總脈動風(fēng)總響應(yīng)的比例甚至?xí)_(dá)到20%，因此，這一分量不能忽略。而基于傳統(tǒng)的三分量方法又無法考慮這一分量，或者即使能用CQC方法引入背景和共振分量之間的相關(guān)系數(shù)來求解交叉項響應(yīng)，由于沒有發(fā)展響應(yīng)的交叉項等效靜風(fēng)荷載計算方法，使得交叉項的等效靜風(fēng)荷載計算成為難題。鑒于此，本文作者從結(jié)構(gòu)動力學(xué)和隨機振動理論出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)總響應(yīng)和ESWL的真實組合公式，并基于荷載響應(yīng)相關(guān)理論，提出基于背景、共振和耦合恢復(fù)力協(xié)方差矩陣的一致耦合(簡稱CCM)方法來求解結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)致響應(yīng)和ESWLs，并以一懸臂結(jié)構(gòu)算例驗證本文程序的正確性；最后給出某大跨度空間結(jié)構(gòu)算例，采用本文提出的CCM方法以及傳統(tǒng)的三分量方法進(jìn)行風(fēng)致響應(yīng)計算，通過與全模態(tài)CQC計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，深入揭示三層耦合項的參與機理，驗證本文方法的高精度和有效性，為求解此類強耦合柔性結(jié)構(gòu)的風(fēng)致響應(yīng)和ESWLs提供一種新的思路。

1 CCM方法的提出

柔性結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載激勵下的隨機動力響應(yīng)方程可表達(dá)為：

式中，{p(t)}代表外部風(fēng)荷載激勵向量；M，C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；,和y(t)分別為節(jié)點的加速度、速度和位移向量。

使用模態(tài)疊加原理，式(1)可表達(dá)成：

式中，qi(t)表示第i階模態(tài)的廣義位移向量；fi(t)表示第i階模態(tài)的廣義力向量。

對于柔性結(jié)構(gòu)的風(fēng)致動力響應(yīng)來說，高階模態(tài)的共振響應(yīng)通?？梢院雎裕@樣動態(tài)位移可以表示為：

式中：Φ為振型矩陣；iφ為第i階振型向量；qi,b(t)為僅包含準(zhǔn)靜力貢獻(xiàn)的第i階背景位移響應(yīng)向量；qi,r(t)為僅包含共振效應(yīng)貢獻(xiàn)的第i階共振位移響應(yīng)向量；{y(t)}b,n為包含所有模態(tài)準(zhǔn)靜力貢獻(xiàn)的背景響應(yīng)向量；{y(t)}r,m為僅包含共振效應(yīng)貢獻(xiàn)的前m階模態(tài)共振位移響應(yīng)向量。

1.1 傳統(tǒng)的頻域求解方法

通常有2種頻域求解方法計算式(3)中總的脈動風(fēng)響應(yīng)向量的均方差。

(1)采用SRSS方法來組合背景和共振分量，可以表達(dá)為：

式中：σt, σb,n和 σr,m分別為響應(yīng)向量{y(t)}，{y(t)}b,n和{y(t)}r,m的均方差。

其中背景分量可以作為準(zhǔn)靜力響應(yīng)，采用LRC方法來求解，共振分量采用慣性風(fēng)荷載方法來計算。這一方法不能考慮背景和共振之間的模態(tài)耦合項，也不能很好地考慮共振模態(tài)之間的耦合項。

(2)第2種方法為：

需要注意到背景分量σb,m是前m階背景位移向量{y(t)}b,m的均方差；ρr,b為背景分量和共振分量之間的相關(guān)系數(shù)，可以用下式計算：

從式(5)可以發(fā)現(xiàn)：背景分量僅僅包含前m階模態(tài)準(zhǔn)靜力貢獻(xiàn)；相應(yīng)地，背景和共振分量之間的交叉項也是僅僅包含前m階模態(tài)的貢獻(xiàn)。

基于SRSS組合的三分量法不能考慮背景和共振之間的交叉項，這對于相關(guān)系數(shù) ρr,b很小的結(jié)構(gòu)是可以接受的。然而，由于式(6)計算過程復(fù)雜，并且沒有發(fā)展交叉項響應(yīng)的ESWLs計算理論，因此，在大多數(shù)的柔性結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)和ESWLs計算中都不考慮，這一做法對于某些強耦合結(jié)構(gòu)不合理。

1.2 改進(jìn)的頻域求解方法

根據(jù)式(3)可以將脈動風(fēng)總響應(yīng)均方差精確的表達(dá)為：

式中：σc,nm代表前n階背景分量和前m階共振分量的交叉項。

和傳統(tǒng)方法的最大不同在于式(7)能考慮所有模態(tài)的準(zhǔn)靜力貢獻(xiàn)、前m階共振模態(tài)之間的耦合效應(yīng)、n階背景模態(tài)和前m階共振模態(tài)之間的交叉項。

1.3 CCM方法提出的原理

背景分量可以基于外荷載激勵的協(xié)方差矩陣，并采用LRC原理進(jìn)行精確求解。借鑒這一思路，提出廣義恢復(fù)力協(xié)方差矩陣、共振恢復(fù)力協(xié)方差矩陣和耦合恢復(fù)力協(xié)方差矩陣這一概念，統(tǒng)一引入LRC方法來求解共振和交叉項分量，進(jìn)而使得相應(yīng)的ESWLs的求解有了理論基礎(chǔ)。這樣，式(7)變成：

式中：[Cpp]t為廣義恢復(fù)力協(xié)方差矩陣；[Cpp]b為外荷載協(xié)方差矩陣；[Cpp]r共振恢復(fù)力協(xié)方差矩陣；[Cpp]c為耦合恢復(fù)力協(xié)方差矩陣；I為影響線矩陣。

這樣，可以進(jìn)一步變化耦合恢復(fù)力協(xié)方差矩陣的表達(dá)式為：

可以分別求解背景、共振和耦合恢復(fù)力協(xié)方差矩陣，在基于LRC方法獲得各響應(yīng)分量和ESWLs分量。

1.4 各分量的求解

僅包含共振分量的第i階廣義模態(tài)響應(yīng)為：

則第i階與第j階廣義共振模態(tài)響應(yīng)的互功率譜為：

從式(11)可以發(fā)現(xiàn)，廣義共振模態(tài)響應(yīng)的求解關(guān)鍵是確定廣義共振頻響傳遞函數(shù)。

綜合以上各式，廣義共振模態(tài)響應(yīng)協(xié)方差矩陣可表示為：

式中：SAA為經(jīng)POD分解獲得的前s階時間坐標(biāo)函數(shù)A(t)互功率譜矩陣，用作降階處理。

應(yīng)用模態(tài)展開理論，結(jié)構(gòu)僅包含共振分量的彈性恢復(fù)力可表示為：

結(jié)合式(12)和(13)，得到{Peqq}r的互協(xié)方差矩陣[Cpp]r為：

從以上的推導(dǎo)容易看出，{Peqq}r為僅包含共振分量的彈性恢復(fù)力向量，其精確程度取決于計算{q(t)}r時所取的模態(tài)階數(shù)和系統(tǒng)的動力特性；同理，把式(14)中求解[Cqq]r所需的共振頻響函數(shù)換成廣義頻響函數(shù)矩陣H即可得到總彈性恢復(fù)力協(xié)方差矩陣[Cpp]t；在通過風(fēng)洞試驗獲得風(fēng)荷載時程直接獲取背景恢復(fù)力協(xié)方差矩陣[Cpp]r；由式(8)可定義耦合彈性恢復(fù)力協(xié)方差矩陣[Cpp]c，其計算公式為：

至此，求解共振、背景、耦合響應(yīng)及其等效靜風(fēng)荷載都可以轉(zhuǎn)化為求系統(tǒng)在相應(yīng)恢復(fù)力作用的準(zhǔn)靜力響應(yīng)，進(jìn)而可以利用LRC原理來計算。以共振分量為例給出求解過程L

當(dāng)I為柔度矩陣時，r(t)即為結(jié)構(gòu)的共振響應(yīng)，其響應(yīng)的協(xié)方差矩陣為：

式中，diag(·)表示取矩陣的對角元素組成列向量。響應(yīng)Ri的對應(yīng)的共振等效靜風(fēng)荷載為：

綜上可知，采用這一思路可以求解背景、耦合分量的風(fēng)致響應(yīng)和等效靜風(fēng)荷載。需要注意的是：由式(17)求解的耦合響應(yīng)協(xié)方差矩陣中的元素可能會出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況，元素為正時說明忽略耦合分量會低估結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為負(fù)時說明忽略耦合分量會高估結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。在代入到式(18)中求解耦合響應(yīng)時，一律按正值代入，但在組合時必須要考慮其正負(fù)影響。

1.5 總風(fēng)致響應(yīng)和ESWL的組合

最后組合脈動風(fēng)總響應(yīng)為：

這樣結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)為：

式中：σr，σb和σc分別為共振、背景和耦合響應(yīng)分量，應(yīng)該注意的是對于耦合分量的組合，一定要考慮其正負(fù)影響。

采用線性組合方式組合各分量得到總的等效靜力風(fēng)荷載，可以保證總的等效靜力風(fēng)荷載是真實的荷載分布形式，并且在該荷載作用下，能確?？刂泣c和非控制點的響應(yīng)都與峰值響應(yīng)一致。

式中：Peb和Pec為等效靜力風(fēng)荷載背景和耦合分量；WB，WR和WC分別為Per，Peb和Pec的權(quán)值系數(shù)，

下面驗證由總等效靜力風(fēng)荷載引起的靜力響應(yīng)的有效性：

通過上式的推導(dǎo)結(jié)果可知：若計算的結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)結(jié)果正確，則其等效靜風(fēng)荷載一定準(zhǔn)確無誤。

2 程序正確性的驗證

張相庭[18]采用模態(tài)位移法的隨機振動理論分析了一高聳鋼結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)，其中各風(fēng)參數(shù)均采用我國規(guī)范的數(shù)據(jù)。為了驗證CCM方法的正確性，采用相同算例計算，并與文獻(xiàn)[18]中的計算結(jié)果進(jìn)行對比。

算例參數(shù)：某等截面高聳鋼結(jié)構(gòu)，高度為100 m，質(zhì)量分布均勻，分5等分，每層質(zhì)量均為10 t，迎風(fēng)寬度為10 m，彈性模量E=100 GPa，I=1.0 m4，基本風(fēng)壓為0.4 kPa，體形系數(shù)為1.3，B類地貌，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.01。進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)分析時，采用Davenport脈動風(fēng)速譜，空間相干函數(shù)采用Shiotani經(jīng)驗公式，峰值因子取為2.2。

結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)圓頻率分別為3.45，20.74，3.45，20.74和20.74 rad/s?？梢?，模態(tài)頻率稀疏，第1階模態(tài)起決定性作用。采用CCM方法分析時僅考慮1階共振模態(tài)，所得各節(jié)點設(shè)計動響應(yīng)見表1。

表1 典型節(jié)點脈動風(fēng)振位移響應(yīng)均方差Table1 Wind induced responses of typical nodes mm

從表1可見：2種方法所得結(jié)果比較吻合，由于節(jié)點2的響應(yīng)自身數(shù)值較小，兩者誤差最大為3.08%，在頂點位移響應(yīng)誤差僅為0.49%，且本文方法計算數(shù)值均略大于文獻(xiàn)結(jié)果。這是由于CCM法僅考慮了一階共振模態(tài)響應(yīng)，但其背景響應(yīng)為所有模態(tài)的貢獻(xiàn)，而文獻(xiàn)基于模態(tài)位移法，其背景響應(yīng)也僅僅考慮了1階模態(tài)，故CCM方法計算結(jié)果更精確。

算例雖然驗證了CCM方法的正確性，但是沒有體現(xiàn)該方法的優(yōu)點，因此，將其應(yīng)用到結(jié)構(gòu)風(fēng)工程中，考慮更加復(fù)雜的結(jié)構(gòu)及風(fēng)荷載激勵。

3 CCM方法在大跨空間結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析中的應(yīng)用

某大型博物館的建筑及結(jié)構(gòu)形式新穎，其狀如山巒、通透空靈的形體宛如一朵浮云，被譽為“活的博物館”。結(jié)構(gòu)長228 m，寬90 m，屋頂結(jié)構(gòu)采用斜放四角錐鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，整個雙向曲面屋頂由6根“蘑菇柱”支撐，“蘑菇柱”均勻分布，很好地分散屋頂傳來的荷載。

圖1所示為該博物館結(jié)構(gòu)的有限元計算模型，圖中黑點為A～F6個節(jié)點。圖2所示為前200階固有頻率的分布情況。從圖2可以看出：該結(jié)構(gòu)的基本頻率很低，僅為1.57 Hz，并且固有頻率分布十分密集，在1.5～13 Hz存在300階頻率，各模態(tài)之間的耦合效應(yīng)不能忽略。計算時取10 m高的基本風(fēng)速為60 m/s，阻尼比為0.02，峰值因子統(tǒng)一采用3.5。

圖3所示為采用全模態(tài)CQC方法計算結(jié)構(gòu)2個節(jié)點的位移響應(yīng)自功率譜密度函數(shù)，并且根據(jù)結(jié)構(gòu)的動力特性標(biāo)出了各動力放大效應(yīng)出現(xiàn)的頻率階數(shù)。

圖1 博物館計算模型及典型節(jié)點示意圖Fig.1 Model of museum for calculation

圖2 結(jié)構(gòu)固有頻率分布圖Fig.2 Scattergram of natural frequence

從圖3可以看出：對于此類大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)，背景和共振分量均不能忽略，并且對于不同的節(jié)點誰占主導(dǎo)地位需要進(jìn)一步分析；引起結(jié)構(gòu)的共振效應(yīng)的模態(tài)不唯一，也不僅僅是低階模態(tài)，可能出現(xiàn)多個高階模態(tài)產(chǎn)生的共振效應(yīng)共同作用的情況。但對于此類柔性結(jié)構(gòu)來說，一般不會出現(xiàn)1個很靠后的模態(tài)產(chǎn)生共振效應(yīng)，因此，只需確定1個截止頻率就可進(jìn)行共振分量的求解；從節(jié)點位移響應(yīng)的功率譜變化圖中無法看出背景和共振的交叉項影響，不能人為地判斷忽略與否，需要進(jìn)行相關(guān)分析才能獲取其結(jié)果。

采用本文提出的CCM方法、傳統(tǒng)的三分量方法以及基于不同階數(shù)的傳統(tǒng)CQC方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻域計算，提取這6個典型節(jié)點的位移響應(yīng)根方差。表2所示為這3種方法計算的響應(yīng)結(jié)果。從表2可以發(fā)現(xiàn)：(1)對于博物館這類大跨空間結(jié)構(gòu)，必須考慮多階模態(tài)的貢獻(xiàn)，對每個結(jié)構(gòu)應(yīng)具體分析后確定參振模態(tài)數(shù)目，通過逐漸增加計算模態(tài)數(shù)并和全模態(tài)CQC法的計算結(jié)果對比確定該博物館結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析采用100階即可；(2)采用傳統(tǒng)的三分量方法的計算結(jié)果對于博物館結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)致響應(yīng)來說誤差較大，其中E點的誤差最大，達(dá)到了-14.61%，說明忽略背景和共振模態(tài)之間的耦合分量對于該結(jié)構(gòu)來說有時偏于危險，需要引起重視；(3)本文方法計算結(jié)果和全模態(tài)CQC法的結(jié)果較吻合，最大的誤差在F點，為1.94%。為更好地顯現(xiàn)CCM方法的有效性，對比采用不同方法計算的6個目標(biāo)響應(yīng)的絕對平均誤差。絕對平均誤差的定義為：

圖3 全模態(tài)CQC計算結(jié)構(gòu)節(jié)點位移響應(yīng)自功率譜圖Fig.3 PSD of displacement responses for typical nodes

表2 型節(jié)點脈動風(fēng)致響應(yīng)根方差Table2 RMS value of fluctuating wind-induced responses of typical nodes mm

其中，為不同節(jié)點的相對誤差。計算表明采用三分量方法計算的絕對平均誤差為7.54%，而采用CCM方法的絕對平均誤差不足1%。說明本文方法具有很高的精度和穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

(1)針對三分量法在求解強耦合柔性結(jié)構(gòu)的風(fēng)致響應(yīng)和ESWL中的不足，在結(jié)構(gòu)動力學(xué)和隨機振動理論基礎(chǔ)上，提出了用于補償共振與背景間耦合分量的CCM法。其優(yōu)點在于：采用同一理論基礎(chǔ)進(jìn)行背景、共振和交叉項3個分量的求解，能完全考慮各共振模態(tài)之間、共振和背景模態(tài)之間的耦合效應(yīng)，并賦予共振和交叉項等效靜風(fēng)荷載分量以明確的物理意義。

(2)經(jīng)典算例驗證結(jié)果表明本文方法正確、有效，為強耦合柔性結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)分析提供了一種新的思路。

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