基于分數(shù)階控制器的PMSM恒速控制*

王瑞萍 史步海 皮佑國

(華南理工大學自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點實驗室∥自動化科學與工程學院，廣東廣州510640)

比例積分微分(PID)控制作為線性最佳控制在工業(yè)過程控制中得到了廣泛的應(yīng)用．PID控制器依據(jù)對象模型進行設(shè)計，方法規(guī)范成熟，簡單實用，因而得到廣泛的應(yīng)用．然而，控制對象的現(xiàn)有模型往往是忽略許多時變、非線性等因素而簡化得到的．對于高性能的控制系統(tǒng)，上述因簡化被忽略的因素將直接影響系統(tǒng)的性能．人們一般通過建立更加貼近實際對象的模型和改變控制器的適應(yīng)性對系統(tǒng)的高性能控制進行研究［1-6］．

文獻［1］中認為實際系統(tǒng)通常大都是分數(shù)階的，采用分數(shù)階控制器控制有分數(shù)階特性的對象是一種有效的控制方法．對于分數(shù)階PI控制器，除了比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd對系統(tǒng)性能有影響外，微分階次μ和積分階次對調(diào)節(jié)系統(tǒng)性能也起到重要的作用，由于微分、積分階次可以是整數(shù)也可以是分數(shù)，使得分數(shù)階控制器比整數(shù)階PID控制器調(diào)節(jié)自由度更大，所以分數(shù)階PI控制器對系統(tǒng)的控制要比整數(shù)階PID控制器靈活［2］．另外，分數(shù)階 PI控制器對本身的控制參數(shù)和被控對象參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化不敏感，能很好地控制系統(tǒng)，加強了系統(tǒng)的魯棒性．由分數(shù)階微、積分的記憶性質(zhì)可知，控制器能夠保證系統(tǒng)的控制精度［3］．

運動控制系統(tǒng)是以速度、加速度等運動學物理量為被控制量的控制系統(tǒng)．在實際中，運動控制系統(tǒng)可分為恒值控制系統(tǒng)和隨動控制系統(tǒng)．文中主要研究恒值控制系統(tǒng)的抗擾性能．恒值控制系統(tǒng)中被控制量設(shè)定值一般不變化或變化很緩慢，在外界擾動下控制量受到的影響較小或在系統(tǒng)控制作用下設(shè)定值能快速恢復［7］．文中以三相交流永磁同步電機(PMSM)為控制對象，研究分數(shù)階比例積分(FO-PI)速度控制策略．將電流環(huán)校正后的對象作為等效對象，研究該系統(tǒng)的速度抗擾性能，并與采用按照時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)的最優(yōu)化性能指標設(shè)計的整數(shù)階比例積分(IO-PI)控制器的速度控制系統(tǒng)的抗擾性能進行比較．

1 控制對象、控制器和設(shè)計準則

1．1 控制對象

交流永磁同步電機通常采用矢量控制策略，令直軸電流id=0后，轉(zhuǎn)速－轉(zhuǎn)矩控制為典型的電流、轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)控制．電流環(huán)經(jīng)電流調(diào)節(jié)器校正后，簡化的轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示．圖中E(s)為輸入，P(s)為被控對象的傳遞函數(shù)(含電流內(nèi)環(huán))，C(s)為速度控制器的傳遞函數(shù)，F(xiàn)(s)為擾動(負載力矩)，Y(s)為系統(tǒng)的輸出．

圖1 簡化的轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig．1 Simplified structure of the speed-loop system

文中采用的交流永磁同步電機的參數(shù)如下:相電樞電阻 R=0．29Ω，轉(zhuǎn)矩常數(shù) KT=1．83N·m/A，電氣性時間常數(shù)T1=19ms，轉(zhuǎn)子慣量J=0．00341kg·m2．電流環(huán)采用PI調(diào)節(jié)器，參數(shù)整定后得到電流閉環(huán)等效的慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為T=0．00112 s，進而得到控制對象的等效模型為

由于式(1)中的系統(tǒng)增益K可以轉(zhuǎn)移到控制器的Kp中而不影響整個控制系統(tǒng)的系統(tǒng)增益，故不失一般性，將對象(1)中的系統(tǒng)增益規(guī)范化為1．

1．2 FO-PI和 IO-PI控制器

FO-PI控制器有如下形式:

IO-PI控制器有如下形式:

式中，Kp1和Ki1分別為比例增益和積分增益．

1．3 設(shè)計準則

假定截止頻率ωc和相位裕度φm已知．為了滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求，由截止頻率和相位裕度的基本定理［8］得到關(guān)于開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的相位和幅值的準則如下［9］:

(1)相位裕度準則

(2)系統(tǒng)增益變化的魯棒性準則

在給定截止頻率處，相位的導數(shù)為0．也就是說，相位伯德圖在對應(yīng)截止頻率處是平的，即系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性好，而階躍響應(yīng)的超調(diào)量應(yīng)幾乎不變．

(3)幅值準則

2 FO-PI控制器的設(shè)計方法

由式(1)可知，控制對象的相位和幅值分別為

2．1 分數(shù)階控制器的設(shè)計

根據(jù)文獻［9］提出的設(shè)計準則，F(xiàn)O-PI控制器的頻域表達式可寫為

其相位和幅值分別為

開環(huán)傳遞函數(shù)為

由式(7)和(10)得到G(jωc)的相位為

由式(13)可得Ki和之間的關(guān)系:

根據(jù)準則(2)可得

由式(15)可建立關(guān)于Ki和之間的另一關(guān)系式:

根據(jù)準則(3)可得到關(guān)于Kp的方程:

顯然，由式(14)、(16)和(17)可以解得 Ki和Kp．

2．2 設(shè)計步驟

根據(jù)式(14)和(16)，采用作圖的方法來求解Ki和．具體步驟如下:

(1)設(shè)定系統(tǒng)截止頻率ωc=100rad/s和期望的相位裕度φm=60°;

(2)根據(jù)式(14)、(16)畫出 Ki關(guān)于的曲線，如圖2所示;

(3)通過曲線交點得到Ki和的圖解值;

(4)根據(jù)式(17)計算Kp．

圖2 Ki與的關(guān)系Fig．2 Kiversus

圖3 采用FO-PI控制器的系統(tǒng)伯德圖Fig．3 Bode diagram of the system with FO-PI controller

3 仿真實驗

對于分數(shù)階PI?控制器，分數(shù)階算子s?采用Oustaloup遞推濾波器近似［10］．假設(shè)需要逼近的頻段為(ωb，ωh)，m= ωh/ωb，濾波器的階次為 2N+1，將s視為一個連續(xù)的濾波器，則用Oustaloup算法近似的傳遞函數(shù)為

永磁同步電機伺服控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示，主要包括PMSM、空間電壓脈寬調(diào)制(SVPWM)、電流調(diào)節(jié)器(ACR)、速度調(diào)節(jié)器(IOC/FOC)等．實驗設(shè)備采用電動機－發(fā)電機機組，發(fā)電機由PMSM伺服驅(qū)動，發(fā)電機負載是一個電阻箱．ia、ib和ic為三相電流，θ為電機轉(zhuǎn)子通過位置傳感器時的實測角度．

圖4 PMSM伺服控制系統(tǒng)的框圖Fig．4 Block diagram of PMSM servo control system

文中按照ITAE性能指標來設(shè)計整數(shù)階PI控制器，因為按照該指標可設(shè)計出具有高負載擾動抑制的控制器，在最大限度地減少系統(tǒng)超調(diào)的同時能保持系統(tǒng)的魯棒性［11］．其數(shù)學表達式為

式中，t為時間，e(t)為誤差．依據(jù)該準則，得到整數(shù)階 PI控制器的參數(shù)為 Kp1=2．3 和 Ki1=33［12］．

控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運行中，電動機負載的變化、電網(wǎng)電壓的波動等，都會引起系統(tǒng)輸出量的變化，經(jīng)歷一段動態(tài)過程后，系統(tǒng)總能達到新的穩(wěn)態(tài)，這就是系統(tǒng)的抗擾過程［13］．其中電壓波動可用比例系數(shù)Kp來描述，而Kp的變化反應(yīng)了系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響，即系統(tǒng)的魯棒性．據(jù)此，文中通過突加及突減負載來考察外界干擾對系統(tǒng)的影響，通過改變比例系數(shù)Kp來考察控制對象參量的變化對系統(tǒng)的影響．

在Matlab/Simulink環(huán)境下，按照實際的永磁同步電機模型建模與仿真，采用相同的電流內(nèi)環(huán)，分別通過突加和突減負載來考察采用FO-PI控制器和IO-PI控制器的系統(tǒng)抗擾性能．如圖5所示，在t=1s處突加一個負載(幅值為2的一個階躍響應(yīng))，在t=2s處去掉該負載．當開環(huán)增益在±10%范圍變化時，采用IO-PI和FO-PI控制器的系統(tǒng)魯棒性能如圖6所示．

圖5 抗擾性能仿真結(jié)果Fig．5 Simulation results of disturbance resistance

圖6 Kp變化時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)Fig．6 Step responses of system with Kpchanges

從圖5可以看出，采用IO-PI控制器的速度輸出波形在加負載和去負載時都有一個明顯的波動，需要一定的恢復時間才能再次達到穩(wěn)定狀態(tài)，對應(yīng)的動態(tài)降落ΔCmax和恢復時間tv(見表1，恢復時間是指從階躍擾動作用開始，到輸出量基本恢復穩(wěn)態(tài)所需的時間)比較大;而采用FO-PI控制器的速度輸出波形基本保持不變．從輸出的結(jié)果可以看出，采用FO-PI控制器的系統(tǒng)的抗擾性能要優(yōu)于采用IO-PI控制器的系統(tǒng)．從圖6可以看出，當系統(tǒng)開環(huán)增益在±10%范圍變化時，采用IO-PI和FO-PI控制器的系統(tǒng)的超調(diào)量及過渡過程時間、動態(tài)速降及恢復時間都基本保持不變，這意味著閉環(huán)控制系統(tǒng)對開環(huán)增益變化是魯棒的，但采用FO-PI控制器的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和擾動響應(yīng)的超調(diào)量均比采用IO-PI控制器的系統(tǒng)小．仿真結(jié)果表明，F(xiàn)O-PI控制器可以提高控制系統(tǒng)的抗擾性能，采用FO-PI控制器的系統(tǒng)具有較強的魯棒性．

表1 兩種控制器的抗擾性能的仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of disturbance resistance of the two controllers

4 實驗驗證

實驗裝置如圖7所示，控制對象為電動機－發(fā)電機機組，電動機為日本三洋公司P6伺服電機．具體是通過驅(qū)動器控制三相永磁同步電機帶動一臺發(fā)電機，發(fā)電機負載為電阻箱．伺服驅(qū)動裝置為實驗室自制，其中同步電機采用SVPWM控制策略，控制器采用DSP2812芯片．

圖7 實驗裝置Fig．7 Experimental setup

Kp是整個控制系統(tǒng)的比例增益，實驗中經(jīng)計算得到控制器的增益為Kp=6．6．文獻［14］給出了分數(shù)階PI?控制器的數(shù)字實現(xiàn)算法，文中通過將FO-PI控制器算法和IO-PI控制器算法及其參數(shù)在驅(qū)動裝置的DSP中編程來實現(xiàn)速度控制器．電流環(huán)采用PI控制，其參數(shù)經(jīng)過一定調(diào)試后在整個實驗過程中保持不變．

在實驗中電機轉(zhuǎn)速或電流采用標么值(p．u．)表示．p．u．=1 表示轉(zhuǎn)速為 1 500 r/min 或電流為60A，實驗中給定額定轉(zhuǎn)速為750r/min．在相同電流內(nèi)環(huán)的基礎(chǔ)上，通過突加和突減負載來考察采用FO-PI控制器和IO-PI控制器的系統(tǒng)抗擾性能．實驗結(jié)果如圖8所示．當開環(huán)增益在±10%范圍內(nèi)變化時，采用FO-PI控制器的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖9所示．

圖8 抗擾性能實驗結(jié)果Fig．8 Experimental results of disturbance resistance

圖9 Kp變化時采用FO-PI控制器的系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig．9 Step responses of system using FO-PI controller with Kpchanges

由圖8可以看出，兩種控制器的抗干擾能力都很好，但由FO-PI控制器調(diào)節(jié)得到的轉(zhuǎn)速波形在負載變化時無明顯的波動，而由IO-PI控制器調(diào)節(jié)得到的速度波形在突加負載和突減負載時會有明顯的波動．從圖8(d)可以看出，在負載變化時，采用FOPI控制器的系統(tǒng)的速度誤差曲線沒有出現(xiàn)大的波動，并且采用FO-PI控制器的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要小于采用IO-PI控制器的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，表明采用FO-PI控制器的系統(tǒng)具有比采用IO-PI控制器的系統(tǒng)更強的抗干擾能力．表2更加直觀地比較了其抗擾性能的優(yōu)劣．從圖9可以看到，采用FO-PI控制器的系統(tǒng)對開環(huán)增益變化具有很強的魯棒性．

表2 兩種控制器的抗擾性能的實驗結(jié)果Table 2 Experimental results of disturbance resistance of the two controllers

5 結(jié)語

文中研究了交流永磁同步電機的分數(shù)階速度控制問題，在同等實驗條件下，基于相同結(jié)構(gòu)的控制器和相同的設(shè)計準則，通過突加和突減負載，對采用FO-PI與IO-PI控制器的速度控制系統(tǒng)的抗擾性能進行了仿真和原型實驗研究，并通過改變系統(tǒng)增益來考察系統(tǒng)的魯棒性．理論分析和實驗結(jié)果都表明:對于相同的負載擾動，采用FO-PI控制器的系統(tǒng)的恢復時間和動態(tài)降落均比采用IO-PI控制器的系統(tǒng)小，說明采用FO-PI控制器的系統(tǒng)的抗擾性能要優(yōu)于采用IO-PI控制器的系統(tǒng);當系統(tǒng)開環(huán)增益在±10%范圍變化時，F(xiàn)O-PI控制器依然能夠有效地控制速度，說明其具有很強的魯棒性，適于在抗擾性能要求更高的速度控制系統(tǒng)中作為速度控制器．

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