零級擬亞純映射的對數(shù)級Borel方向*

陳 湘，吳 佳，劉玉璽

(1．湖北科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 咸寧 437100;2．咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 中專部，湖北 咸寧 437100)

1 基本定義

為方便我們的討論，先介紹一些基本定義［1～2］．

定義1 設(shè)f是區(qū)域D到D＇的同胚

(1)對D內(nèi)任意矩形{x+iy：a＜x＜b，c＜y＜d}D，函數(shù)f(x+iy)對幾乎所有的x∈(a，b)是y的絕對連續(xù)函數(shù)，而對幾乎所有的y∈(c，d)，f(x+iy)是x的連續(xù)函數(shù)．

(2)存在K≥1，使得f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在D內(nèi)幾乎處處滿足

則稱f(z)是D內(nèi)的單葉K－擬共形映射，若其值域是Riemann球面上的區(qū)域，則稱f(z)是D內(nèi)的單葉K－擬亞純映射．

定義2 設(shè)f(z)是平面區(qū)域D內(nèi)的復(fù)值連續(xù)函數(shù)，若對D內(nèi)一點z0，存在z0的鄰域U(D)與一正整數(shù)n(依賴于z0)使

是U上的單葉K－擬亞純映射，則稱f(z)在z0點是n葉K－擬亞純映射，若f在D內(nèi)每一點都是n葉K－擬亞純映射，則稱f是D內(nèi)的K－擬亞純映射．

下面我們給出一些記號的簡單解釋及S(r，f)的含義，設(shè)f是復(fù)平面上的K－擬亞純映射(當(dāng)K=1時，f(z)就是亞純函數(shù))．對于任意復(fù)數(shù)a，記f－a在|z|＜r內(nèi)的零點總數(shù)為n(r，a);若不記零點的重數(shù)，則記為珔n(r，a)．相應(yīng)地，對于角域{|z|＜r}∩{|argz－θ|＜ε}有記號珔n(r，θ，ε，a)．記|z|＜r在映射f(z)=u(x，y)+iv(x，y)下到V上的覆蓋曲面為Fr，F(xiàn)r對V的平均覆蓋次數(shù)

其中|Fr|與|V|分別表示Fr與V的面積．

定義3 設(shè)f(z)是超越K－擬亞純映射，則

稱為f的級，當(dāng)ρ=0時，稱f為零級K－擬亞純映射;

當(dāng)0＜ρ＜∞ 時，稱f為有限正級K－擬亞純映射;

當(dāng)ρ=∞ 時，稱f為無窮級K－擬亞純映射．

定義4 設(shè)f(z)是復(fù)平面C內(nèi)的p(0＜p＜∞)級K－擬亞純映射，如果對任意ε和C內(nèi)的任何復(fù)數(shù)a，可能除去兩個例外值外，有下列等式

成立，則稱從原點出發(fā)的半直線argz=θ為f(z)的p級Borel方向，其中n(θ－ε，θ+ε，r，f=a)是f(z)在Ω(θ－ε，θ+ε，r)內(nèi)零點的個數(shù)，重級按其重數(shù)計算

2 主要結(jié)果

自1997年孫道椿、楊樂［1］的工作發(fā)表以來，關(guān)于擬亞純映射的值分布取得了很多重要結(jié)果．其中孫道椿、楊樂［1］證明了

定理A設(shè)f(z)是平面上的ρ(0＜ρ＜∞)級K－擬亞純映射，則f(z)至少存在一條ρ級Borel方向．

后來，陳特為、孫道椿(［3］［4］［5］)研究了無限級K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．為了引入他們的結(jié)果，先介紹如下結(jié)論

定理B［5］設(shè)函數(shù)B(r)在［a，∞］上連續(xù)，且

則存在連續(xù)可微函數(shù)ρ(r)及U(r)，滿足：

(1)ρ(r)單調(diào)下降趨于零，ρ＇(r)單調(diào)上升．

在［5］中，陳特為、孫道椿證明了

定理C設(shè)f(z)是Z平面上的無限級擬亞純映射，U(r)是它的型函數(shù)，則f(z)至少有一條關(guān)于U(r)的Borel方向，即對任意0＜ε＜δ及任意復(fù)數(shù)a(至多除去一個零測集)，恒有

其中n(Ω(φ－ε，φ+ε)，r，a)是f(z)－a在角域Ω(φ－ε，φ+ε，r)內(nèi)的零點的個數(shù)，重級按其重數(shù)計算．

對于零級K－擬亞純映射，由于函數(shù)增長太慢，研究起來有一定的困難．關(guān)于零級K－擬亞純映射的值分布，雖然有一些結(jié)果，但并不完善，比如吳昭君［6］應(yīng)用零級函數(shù)的型函數(shù)證明了零級K－擬亞純映射的Borel方向的存在性．最近，陳天佑［7］引入對數(shù)級的概念研究了零級亞純函數(shù)的對數(shù)級Borel方向．一個自然的問題是我們能否避開型函數(shù)的討論來研究零級－擬亞純映射的對數(shù)級Borel方向呢?本文主要利用覆蓋曲面的幾何方法來討論這一問題，事實上，我們將證明如下定理：

定理1 設(shè)f(z)是平面上的滿足增長條件

的零級K－擬亞純映射，則至少存在一條從原點出發(fā)的射線L：argz=θ，使得

對任意的復(fù)數(shù)a及任意的正數(shù)ε成立，至多可能除去關(guān)于a的兩個例外值．

我們稱滿足定理1條件的射線L：argz=θ為f(z)的對數(shù)級Borel方向．

3 相關(guān)引理及其定理的證明

為了證明定理1，我們還需要如下引理．

引理1［8］設(shè)f是平面上的K－擬亞純映射;△：|argz|≤a是包含于△0：|argz|≤a0的角域(0＜α＜α0≤2π);a1，a2，…，aq是q個(q＞2)判別復(fù)數(shù)，則

下面開始證明定理1．

定理1的證明 由于

如若不然，則

又

則

再把△1等分成兩塊，由(2)知，其中至少存在一塊記為 △2．滿足

且△1△2，如此一直進行下去，我們得到一個角形域序列{△n}，滿足

對于每一個△n都有

由10)，20)，我們可知△n收斂于一條半直線B：argz=θ，下面我們證明半直線B：argz=θ為f(z)一條滿足定理1要求的方向．

如若不然．則存在以B為角分線的某角域Ω：{z：|argz－θ|＜ε}以及三個不同的復(fù)數(shù)a1，a2，a3使得

由于△n→θ0，則對上述ε＞0，存在充分大的n，使得△nΩ．由引理1得

則

結(jié)合(3)式有

這與

相矛盾．

故假設(shè)不成立．這就是說，對于任意復(fù)數(shù)(至多除去兩個例外值)，都有

定理得證．

［1］孫道椿，楊樂．?dāng)M亞純映射的值分布［J］．中國科學(xué)(A輯)，1997，27，(2)：132 ～139．

［2］李忠．?dāng)M共形映射及其在黎曼曲面論中的應(yīng)用［M］．北京：科技出版社，1998．

［3］孫道椿．Nevalinna方向的存在性［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊，1986，7A，(2)：212～221．

［4］孫道椿，楊樂．?dāng)M亞純映射的正規(guī)族［J］．中國科學(xué)(A輯 )，2003，33，(1)：48 ～56．

［5］陳特為，孫道椿．?dāng)M亞純映射的奇異方向［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，1999，19，(4)：472 ～478．

［6］吳昭君．零級擬亞純映射的Borel方向［J］．咸寧學(xué)院學(xué)報，2003，23，(6)：32 ～33．

［7］陳天佑 ，Common Borel directions of ameromorphic function with zero order and its derivative［J］，Proc．Amer．Math．Soc．2004，132，(4)：1171 ～1175．

［8］宋述剛．?dāng)M亞純映射的 Borel方向［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志，1999，19，(3)：277 ～281．