生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)庫(kù)存問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型

熊 浩，孫有望

（1.同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海201804；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410076）

對(duì)于生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)庫(kù)存問(wèn)題，Goyal早在1977就開(kāi)始研究了，并提出了聯(lián)合批量（JELS）模型.1986年，Banerjee又提出了批對(duì)批（lot－for－lot）的聯(lián)合經(jīng)濟(jì)批量JELS供貨模型，Goyal對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出供貨周期“n次等量訂貨”的策略［1］.但是，這些策略都假設(shè)生產(chǎn)商先生產(chǎn)，生產(chǎn)期間不發(fā)貨，完成生產(chǎn)之后才開(kāi)始供貨.后來(lái)，Lu將問(wèn)題的假設(shè)由“先生產(chǎn)后供貨”變成了更接近現(xiàn)實(shí)的“邊生產(chǎn)邊供貨”［2］.但是，其提出的策略仍然假設(shè)“銷(xiāo)售商等量訂貨”，而該假設(shè)也會(huì)使最優(yōu)策略丟失.因此，Goyal對(duì)“等量訂貨”進(jìn)行了改進(jìn)，提出“按比例P／D多次遞增”的訂貨策略［3］.接著，Hill在Goyal的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了改進(jìn)，認(rèn)為“等比例策略”的合理比例應(yīng)該在1到P／D之間［4－5］.然后，Goyal在Hill的基礎(chǔ)上，又提出“第一次小批量，后面的等批量”策略［6］，最后還提出“等比例修正”策略［7］.

后來(lái)，學(xué)者王圣東［8］和周永務(wù)［9］都對(duì)上述一系列的聯(lián)合批量模型的“改進(jìn)策略”也提出了質(zhì)疑，并指出已有策略有明顯局限性，只適合少數(shù)極端條件.但是，學(xué)者王圣東給出的數(shù)學(xué)模型仍然有一些需要放寬的假設(shè)條件，比如：“生產(chǎn)商的庫(kù)存費(fèi)率低于銷(xiāo)售商”；“在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)銷(xiāo)售商銷(xiāo)售最后一次供貨量所需的時(shí)間不大于下一個(gè)生產(chǎn)周期中生產(chǎn)商生產(chǎn)第一次供貨量所需要的時(shí)間”；“生產(chǎn)商第一次供貨后庫(kù)存變?yōu)榱恪?另外，文獻(xiàn)［10］雖然推導(dǎo)出了更具一般性的“三階段”訂貨策略，但是也沒(méi)有給出一般數(shù)學(xué)模型.

本文進(jìn)一步放松了學(xué)者王圣東在研究單生產(chǎn)商多銷(xiāo)售商問(wèn)題時(shí)提出的隨機(jī)訂貨策略數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件，通過(guò)分析生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)的庫(kù)存幾何特征，利用最優(yōu)訂貨策略的幾何特征建立數(shù)學(xué)模型.從而使該數(shù)學(xué)模型具有更加寬泛的應(yīng)用條件，該模型的智能啟發(fā)式算法能夠進(jìn)行全域搜索，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，也具有較好的實(shí)用性.

1 銷(xiāo)售商與生產(chǎn)商的庫(kù)存狀態(tài)分析

1.1 問(wèn)題的描述

已知生產(chǎn)商的生產(chǎn)率為P；預(yù)測(cè)到銷(xiāo)售商的需求率為D；A1、A2分別表示生產(chǎn)商的生產(chǎn)調(diào)整費(fèi)用、銷(xiāo)售商的訂貨費(fèi)；h1、h2分別表示生產(chǎn)商的庫(kù)存費(fèi)率、銷(xiāo)售商的庫(kù)存費(fèi)率；假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行在無(wú)限時(shí)間水平上且不允許缺貨；系統(tǒng)采用周期性的生產(chǎn)—訂貨策略；且生產(chǎn)—訂貨周期中只生產(chǎn)一次.要求合理的策略：系統(tǒng)最佳的生產(chǎn)供貨周期、周期內(nèi)銷(xiāo)售商訂貨策略、生產(chǎn)商生產(chǎn)開(kāi)始時(shí)銷(xiāo)售商的初始庫(kù)存量，使其即能滿足顧客需求以及一些約束條件，又能使整體庫(kù)存費(fèi)用最低.

因?yàn)榧僭O(shè)系統(tǒng)采用的是周期性策略，且周期內(nèi)只生產(chǎn)一次.所以一般可以以生產(chǎn)開(kāi)始的時(shí)間到下次生產(chǎn)開(kāi)始的時(shí)間作為一個(gè)周期.令生產(chǎn)開(kāi)始時(shí)銷(xiāo)售商的初始庫(kù)存為q0，系統(tǒng)策略的周期為T(mén)，則周期內(nèi)的需求量Q＝DT；生產(chǎn)商的策略周期中有兩種狀態(tài)：生產(chǎn)狀態(tài)和停產(chǎn)狀態(tài)，則銷(xiāo)售商在生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)的訂貨次數(shù)為k，在停產(chǎn)時(shí)間內(nèi)的訂貨次數(shù)為m，則策略周期內(nèi)總的訂貨次數(shù)為n，n＝m＋k，則周期內(nèi)的訂貨策略為（ti，qi）i＝1，…，n；H、HB、HV分別表示系統(tǒng)總平均庫(kù)存、銷(xiāo)售商平均庫(kù)存、生產(chǎn)商平均庫(kù)存.

1.2 銷(xiāo)售商的庫(kù)存分析

圖1 銷(xiāo)售商在一個(gè)策略周期的庫(kù)存情況Fig.1 Inventory of the buyer during a strategy cycle

圖中，t1，…，tk＋m表示訂貨時(shí)間點(diǎn)；T1，…，Tk＋m表示訂貨時(shí)間間隔；T0表示從開(kāi)始生產(chǎn)到第一次訂貨的間隔期；q0表示初始庫(kù)存；T表示訂貨周期.訂貨量qi產(chǎn)生的庫(kù)存量為：qi2／2D.由圖可知，銷(xiāo)售商在策略周期結(jié)束時(shí)的剩余庫(kù)存就是下個(gè)周期開(kāi)始時(shí)的初始庫(kù)存，因?yàn)椴呗允侵芷谛缘?，所以每個(gè)策略周期開(kāi)始時(shí)銷(xiāo)售商的初始庫(kù)存都相等.由此，可以推導(dǎo)出銷(xiāo)售商在策略周期的初始庫(kù)存等于其在策略結(jié)束時(shí)的剩余庫(kù)存.所以，若假設(shè)銷(xiāo)售商在第一個(gè)周期內(nèi)的平均庫(kù)存為HB，則其表達(dá)式為

1.3 生產(chǎn)商的庫(kù)存分析

生產(chǎn)商在策略周期中可能存在兩個(gè)階段：生產(chǎn)階段和停產(chǎn)階段.所以，銷(xiāo)售商的訂貨可能發(fā)生在生產(chǎn)商的這兩個(gè)階段.

一般情況下，如果在策略周期中，銷(xiāo)售商的訂貨有一些在生產(chǎn)商的生產(chǎn)階段，有一些發(fā)生在停產(chǎn)階段.此時(shí)相鄰兩次訂貨的間隔期間生產(chǎn)商可能有三種狀態(tài)：生產(chǎn)狀態(tài)、停產(chǎn)狀態(tài)、生產(chǎn)一段時(shí)間再停產(chǎn)，如圖2所示.圖中，T’表示生產(chǎn)時(shí)間；T表示策略周期；t0表示開(kāi)始生產(chǎn)的時(shí)間（t0所對(duì)應(yīng)的豎直虛線段表示銷(xiāo)售商有初始庫(kù)存），也是周期開(kāi)始的時(shí)間；ti表示訂貨時(shí)間點(diǎn)；qi表示訂貨量；容易理解，圖中陰影部分面積表示生產(chǎn)商在策略周期中的庫(kù)存量.

圖2 生產(chǎn)商在一個(gè)策略周期的庫(kù)存情況Fig.2 Inventory of producer during a strategy cycle

實(shí)際上，生產(chǎn)商在一個(gè)策略周期的庫(kù)存狀態(tài)還有存在一些特殊的情況，即銷(xiāo)售商的訂貨只發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間或只發(fā)生在停產(chǎn)期間.這兩種情況都是圖3的特殊形態(tài).

1.4 系統(tǒng)在策略周期內(nèi)的庫(kù)存分析

在圖2中，連接初始庫(kù)存虛線段頂點(diǎn)、銷(xiāo)售商訂貨時(shí)刻（發(fā)貨前）生產(chǎn)商剩余庫(kù)存頂點(diǎn)，則構(gòu)成一幅可以反映系統(tǒng)整體庫(kù)存的圖形，如圖3所示.圖中，AE為策略周期開(kāi)始時(shí)銷(xiāo)售商的初始庫(kù)存量；BF、CG等豎線段表示銷(xiāo)售商各次的訂貨量；EB、FC等斜線段表示生產(chǎn)商庫(kù)存隨生產(chǎn)而增加的量，其斜率為生產(chǎn)率P；三角形左邊JN表示銷(xiāo)售商的庫(kù)存隨時(shí)間消耗情況，斜率為需求率－D.JR表示生產(chǎn)停止的時(shí)間點(diǎn)；F’為第二次訂貨時(shí)間點(diǎn)；G’為CG的延長(zhǎng)線，使FG’與橫坐標(biāo)平行.

圖3 系統(tǒng)在一個(gè)策略周期的庫(kù)存情況Fig.3 Inventory of the system during a strategy cycle

1.4.1 系統(tǒng)整體在策略周期中的庫(kù)存—時(shí)間圖的幾何特征

圖3中的系統(tǒng)在策略周期的庫(kù)存—時(shí)間圖存在這樣的特征：陰影區(qū)域的面積和銷(xiāo)售商的庫(kù)存量相等；五邊形AEONJ表示了系統(tǒng)整體在策略周期的庫(kù)存量；AJ的斜率為（P－D），JN的斜率為－D.

在生態(tài)城市建設(shè)中，首要目標(biāo)是為人們提供良好的生活和旅游環(huán)境。相關(guān)部門(mén)要建設(shè)公共環(huán)境，有目的地策劃各區(qū)的旅游景點(diǎn)，讓大家能夠在休閑時(shí)光里充分放松，緩解平時(shí)工作和生活帶來(lái)的工作壓力，使大家保持愉悅的心情[1]。

以上特征的證明過(guò)程如下：

（1）陰影區(qū)域（一系列帶陰影的小三角形和一個(gè)不規(guī)則五邊形）表示銷(xiāo)售商在策略周期的庫(kù)存量.

圖中，對(duì)于銷(xiāo)售商的訂貨BF與CG之間的庫(kù)存量可以用三角形BFG’來(lái)表示，又因?yàn)棣FG’與BFC的底為BF，高為FG’，所以這兩個(gè)三角形面積相等.同理可證，大三角形AJN中的帶陰影的小三角形能表示同一時(shí)間段銷(xiāo)售商的庫(kù)存量.

另外，在生產(chǎn)與停產(chǎn)的交界處：SΔJKW’＝SΔJKW，所以SHIKJ＋SΔJKW’＝SΔHIW，又SΔHIW＝SΔHIM，SHIKJ＋SΔJKW’＝SΔHIM，所以不規(guī)則五邊形HIKA’J的面積能表示銷(xiāo)售商在生產(chǎn)期間最后一次訂貨消耗期間的庫(kù)存量.而對(duì)于生產(chǎn)商停產(chǎn)期間的訂貨剩余庫(kù)存頂點(diǎn)連線比較容易理解其剛好表示銷(xiāo)售商的在期間的庫(kù)存量.因此，圖中陰影區(qū)域剛好能夠表示銷(xiāo)售商在策略周期的庫(kù)存量.又因?yàn)殛幱皡^(qū)里面所包的空白區(qū)域是生產(chǎn)商在策略周期的庫(kù)存量，所以圖中陰影加空白區(qū)域是系統(tǒng)整體在策略周期中的庫(kù)存.

（2）線段AB、BC等生產(chǎn)期間生產(chǎn)商發(fā)貨前剩余庫(kù)存頂點(diǎn)的聯(lián)線在同一條直線上，且斜率為P－D.

假設(shè)γAB表示AB的斜率，γBC表示BC的斜率.BF′表示在供貨周期開(kāi)始至第一次訂貨期間的產(chǎn)量，其等于生產(chǎn)率P乘以生產(chǎn)時(shí)間EF′.因?yàn)楦鶕?jù)庫(kù)存最小的原則下，銷(xiāo)售商一般在庫(kù)存消耗完時(shí)才發(fā)出訂貨（假設(shè)前置期為零）.所以，該階段的生產(chǎn)時(shí)間

式中：QAE和QBF′分別代表不同時(shí)間的系統(tǒng)總庫(kù)存量.

同理可以證明：BC的斜率γBC＝P－D，所以AB，BC在一條直線上.同理，A′B′和B′C′的斜率都等于D，所以也在一條直線上.所以，生產(chǎn)商的各個(gè)訂貨時(shí)點(diǎn)的庫(kù)存點(diǎn)的連線正好在三角形AJN的兩條邊上，且三角形的左邊AJ的斜率為P－D，右邊JN的斜率為－D.

從實(shí)際上理解，如果將生廠商與銷(xiāo)售商看作成一個(gè)虛擬的整體，則其整體庫(kù)存就是初始庫(kù)存的基礎(chǔ)上，一邊生產(chǎn)、一邊消耗的持續(xù)庫(kù)存模型.

1.4.2 生產(chǎn)商在策略周期中的庫(kù)存量

根據(jù)上述分析，整個(gè)策略周期內(nèi)的系統(tǒng)庫(kù)存量為一個(gè)大的矩形AEON和一個(gè)三角形ANJ構(gòu)成的五邊形里（AEONJ）的面積，矩形的面積為SXAEON＝q0T；假設(shè)生產(chǎn)時(shí)間為T(mén)′，由于策略周期內(nèi)生產(chǎn)商的生產(chǎn)量等于需求量之和，即PT′＝DT，所以T′＝的高為所則若假設(shè)系統(tǒng)的平均庫(kù)存為H，其可以表示為從而生產(chǎn)商的庫(kù)存Hv由系統(tǒng)平均庫(kù)存減去銷(xiāo)售商的平均庫(kù)存HB，為

2 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建及求解

2.1 模型構(gòu)建

不同的訂貨策略會(huì)使這些庫(kù)存時(shí)間量在生產(chǎn)商和銷(xiāo)售商之間進(jìn)行重新分配（圖4中，陰影部分的面積為銷(xiāo)售商的庫(kù)存；剩下的面積是生產(chǎn)商的庫(kù)存），并且分配還會(huì)產(chǎn)生訂貨費(fèi).所以最優(yōu)訂貨策略的幾何求解可以描述為：在一個(gè)大的矩形和一個(gè)三角形構(gòu)成的五邊形里（如圖中的五邊形AEDNJ）中，在JL左邊，每畫(huà)一條豎線段就會(huì)生成另一條斜率為P的邊與三角形的邊AJ構(gòu)成一個(gè)小三角形（如圖中的AEB和BFC）或在五邊形的中線部分構(gòu)成一個(gè)四邊形（如圖中的HIKJ）；在JL的右邊，就是在重新分配之后能帶來(lái)的庫(kù)存費(fèi)用的節(jié)約值與產(chǎn)生的訂貨費(fèi)之間進(jìn)行比較.

圖4 生產(chǎn)商在一個(gè)策略周期中的庫(kù)存情況Fig.4 Inventory of the producer during a strategy cycle

因?yàn)橄到y(tǒng)在一個(gè)策略周期的平均費(fèi)用為周期內(nèi)平均訂貨費(fèi)用和平均庫(kù)存費(fèi)用之和，所以其表達(dá)式為

若系統(tǒng)銷(xiāo)售商訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)期間T′內(nèi)的訂貨次數(shù)為k，則變形得且在生產(chǎn)商的生產(chǎn)階段內(nèi)，銷(xiāo)售商的當(dāng)期訂貨量不可能超過(guò)生產(chǎn)商從開(kāi)始生產(chǎn)到該次訂貨的訂貨時(shí)間點(diǎn)時(shí)所生產(chǎn)的總產(chǎn)量，即：qi≤q0＋（P－D）ti.由此，可以推導(dǎo)出：qi≤q0＋；因?yàn)橄到y(tǒng)策略周期內(nèi)銷(xiāo)售商是按照其面臨的需求進(jìn)行訂貨，所以訂貨量之和等于需求量之和，則有綜上所述，生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型為

一般數(shù)學(xué)表達(dá)式中，式（6）是由訂貨費(fèi)用、生產(chǎn)調(diào)整費(fèi)用和庫(kù)存費(fèi)用構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式；式（7）表示發(fā)生在生產(chǎn)期間的訂貨量不超過(guò)總需求量；式（8）表示發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)階段的訂貨量不能超過(guò)其剩余庫(kù)存量；式（9）總訂貨量等于總需求量；式（10）表示所需求解的變量的取值范圍.

2.2 模型求解

利用粒子群算法進(jìn)行求解，一般步驟為：

（1）初始化種群的個(gè)體.首先，可以初步判斷策略參數(shù)的取值范圍.比如：根據(jù)企業(yè)生成實(shí)際預(yù)測(cè)時(shí)間跨度大小來(lái)確定最大允許的策略周期、利用最小訂貨間隔期推導(dǎo)最大訂貨次數(shù)等.然后，隨機(jī)生成正實(shí)數(shù)T、自然數(shù)k和m，然后隨機(jī)生成正實(shí)數(shù)qi；i＝1，…，m＋k.由T、k、m和qi（i＝1，…，m＋k）構(gòu)成粒子的一個(gè)位置，用Xj＝（xj1，xj2，…，xj（k＋m＋3））表示.

（2）檢驗(yàn)約束條件.根據(jù)上述已生成的初始解代入式（7）～（9），檢驗(yàn)初始解是否滿足數(shù)學(xué)模型的約束條件.

（3）計(jì)算各個(gè)粒子不同位置的適應(yīng)度.將符合約束條件的解代入目標(biāo)函數(shù)式（6）.

（4）進(jìn)入主要循環(huán).對(duì)于每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與所經(jīng)歷過(guò)的最好位置Pj（Pj＝ （pj1，pj2，…，pj（k＋m＋3）））的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置；對(duì)每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與全局所經(jīng)歷的最好位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最好位置；根據(jù)式（11）和式（12）對(duì)微粒的速度和位置進(jìn)行進(jìn)化，如

式中：下標(biāo)j表示微粒的第j維；i表示微粒i；t表示第t代；c1、c2為加速常數(shù)，通常在0～2間取值；r1～U（0，1），r2～U（0，1）為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)，Vi＝（vi1，vi2，…，vi（k＋m＋3））是設(shè)置的微粒i的飛行速度.

（5）計(jì)算結(jié)束.如未達(dá)到結(jié)束條件通常為足夠好的適應(yīng)值或達(dá)到一個(gè)預(yù)設(shè)最大代數(shù)（Gmax），則返回.

3 實(shí)例計(jì)算

例1：考慮 Goyal的例子：A1＝400，A2＝25，h1＝4，h2＝5，P＝3200，D＝1 000.

利用粒子群?jiǎn)l(fā)式算法對(duì)生產(chǎn)商供貨商一般數(shù)學(xué)模型求解，得到最優(yōu)解為T(mén)＝0.557 7，q0＝7.39，k＝3、m＝1、q1＝23.6、q2＝75.6、q3＝229.2、q4＝229.3，總成本為1 792.7.該策略前3次訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間，后1次訂貨發(fā)生在停產(chǎn)期間.與其他策略的比較下表1所示.

例2：考慮 Goyal的例子：A1＝400，A2＝25，h1＝4，h2＝7，P＝3200，D＝1 000.

利用一般數(shù)學(xué)模型的啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，得到的最優(yōu)解為：T＝0.54152、q0＝9.72、k＝3、m＝2、q1＝31.1、q2＝99.5、q3＝136.96、q4＝136.96、q5＝136.96，總成本為1 938.96.該策略前3次訂貨發(fā)生在生產(chǎn)商的生產(chǎn)期間，后2次訂貨發(fā)生在停產(chǎn)期間.與其他策略的比較見(jiàn)表1和表2.

表1 例1中不同策略的結(jié)果比較Tab.1 The results of different strategies

表2 例2中不同策略的結(jié)果比較Tab.2 The results of different strategies

以上兩個(gè)實(shí)例中，傳統(tǒng)的訂貨策略（包括Goyal、Lu、Hill等提出的策略）得到的解與最優(yōu)解有較大的差距，而一般數(shù)學(xué)模型通過(guò)啟發(fā)式算法求解能夠找到比傳統(tǒng)策略更好的策略.

4 結(jié)語(yǔ)

放寬了訂貨策略的一些假設(shè)，直接針對(duì)生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)的庫(kù)存－時(shí)間圖進(jìn)行了比較詳細(xì)的分析.根據(jù)庫(kù)存－時(shí)間圖得出一個(gè)策略周期的銷(xiāo)售商的庫(kù)存量、系統(tǒng)整體庫(kù)存量以及生產(chǎn)商庫(kù)存量的表達(dá)式；然后，利用這些表達(dá)式得到了目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；接著，利用系統(tǒng)整體的庫(kù)存－時(shí)間圖分析出訂貨策略的一些約束條件：發(fā)生在生產(chǎn)商生產(chǎn)階段的訂貨量不能超過(guò)其剩余庫(kù)存量；總訂貨量等于總需求量；發(fā)生在生產(chǎn)期間的訂貨量不超過(guò)總需求量；從而得到了一般化的生產(chǎn)商－銷(xiāo)售商聯(lián)合生產(chǎn)－庫(kù)存管理的數(shù)學(xué)模型.最后，通過(guò)兩個(gè)實(shí)例對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證，與其他策略相比，該模型得到的訂貨策略確實(shí)要更加優(yōu)化.

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