軌道不平順數(shù)字特征分析

梁志明，劉秀波，李紅艷，李海浪

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 基礎(chǔ)設(shè)施檢測(cè)研究所，北京 100081)

軌道不平順是指軌道幾何位置相對(duì)軌道設(shè)計(jì)位置的變化。由于目前的測(cè)量方法無法得到軌道幾何絕對(duì)位置，軌道不平順一般由左右高低、左右軌向、水平、三角坑和軌距來描述和控制。軌道不平順的形成和發(fā)展是很多帶有隨機(jī)性的因素共同作用的結(jié)果。這些因素包括鋼軌的初始不平順、線路鋪設(shè)誤差、道床路基的不均勻殘余變形、線路維修和大修誤差等。所有這些因素都使得軌道不平順具有隨機(jī)性。隨機(jī)性的軌道不平順包含許多不同幅值和波長(zhǎng)的諧波成分，波長(zhǎng)范圍很寬，波長(zhǎng)為0.01～200.00 m的軌道不平順都很常見。根據(jù)國(guó)內(nèi)外有關(guān)資料和專家的意見［1-5］波長(zhǎng)1 m以下的軌面短波不平順主要由鋼軌接頭、焊縫、不均勻磨耗、鋼軌擦傷、剝離掉塊、波浪和波紋磨耗以及軌枕間距等因素形成;波長(zhǎng)為1～4 m的軌道不平順主要由鋼軌在軋制過程中形成的周期波和鋼軌在使用中形成的波浪磨耗引起;波長(zhǎng)為4～30 m軌道不平順主要由道床路基的殘余變形不均勻沉降、道床彈性密實(shí)度不均勻、各部件間隙不等、接頭或焊縫形成的以鋼軌長(zhǎng)為基長(zhǎng)的復(fù)雜周期波，中、小橋墩、橋臺(tái)、橋頭區(qū)、涵洞、道口等軌道剛度變化和橋梁動(dòng)撓度等原因形成的不平順;波長(zhǎng)為30～200 m軌道不平順多由道床路基沉降不均、路基施工過程中形成的先天性不平順和跨度較大的橋梁靜動(dòng)撓度等原因形成的不平順;200 m以上的軌道不平順是由地形起伏、線路坡度變化等原因形成的。軌道不平順的隨機(jī)性決定了軌道不平順不能用一個(gè)明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示，只能用描述隨機(jī)數(shù)據(jù)的“均方值”、“標(biāo)準(zhǔn)差”、“功率譜密度”等統(tǒng)計(jì)函數(shù)來表示軌道不平順的隨機(jī)性特征。

以往軌道不平順譜的計(jì)算都假設(shè)軌道不平順具備平穩(wěn)性和正態(tài)性，因此常取一段或幾段線路的軌道不平順譜表示整體軌道不平順譜。但在軌道不平順檢測(cè)過程中發(fā)現(xiàn)，軌道不平順常常具有非平穩(wěn)特征。如果軌道不平順隨機(jī)數(shù)據(jù)樣本是非平穩(wěn)的，那么目前軌道不平順譜的計(jì)算和統(tǒng)計(jì)方法就不合理。因此，對(duì)實(shí)際軌道不平順的平穩(wěn)性和正態(tài)性進(jìn)行研究很有必要。

1 軌道不平順平穩(wěn)性和正態(tài)性檢驗(yàn)方法

1.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法

最常用的方法有輪次檢驗(yàn)［6］和逆序檢驗(yàn)［7］，均為非參數(shù)檢驗(yàn)。

1)輪次檢驗(yàn)

輪次檢驗(yàn)原理是將被分析的隨機(jī)信號(hào)分成若干段，并求出各段的均方值(或者均方根值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等)，組成一個(gè)新時(shí)間序列。如果信號(hào)是平穩(wěn)的，則新序列的變化將是隨機(jī)的，而且沒有趨勢(shì)項(xiàng)。檢驗(yàn)步驟是先求出這些均方值的中值，再逐個(gè)地將各段的均方值與中值比較，其中大于中值的均方值記為“+”，小于中值的均方值記為“－”，這種從“+”到“－”和從“－”到“+”變化的次數(shù)稱為輪次數(shù)，用 r表示。一個(gè)序列的輪次數(shù)表明了同一隨機(jī)變量的測(cè)量值是否獨(dú)立。平穩(wěn)隨機(jī)過程的輪次數(shù)將滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具有如下的均值和方差

式中 N——樣本記錄等分段數(shù);

N1——均值大于中值段的個(gè)數(shù);

N2——均值小于中值段的個(gè)數(shù);

r——輪次數(shù)。

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，當(dāng)N→∞時(shí)，有 N1=N2，此時(shí)均值和方差簡(jiǎn)化為

因此，式(1)是式(3)的一種逼近關(guān)系，其逼近程度與N的大小有關(guān)，在給定置信度和N的情況下，可以確定置信區(qū)間即

如果求得的輪次數(shù)r落在置信區(qū)間內(nèi)，則所測(cè)量的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的。落在置信區(qū)間外則是非平穩(wěn)的。式(5)中的上、下限值可以由輪次查表得。

2)逆序檢驗(yàn)

逆序檢驗(yàn)是一種對(duì)均值或方差可能存在某種趨勢(shì)進(jìn)行檢驗(yàn)的方法。首先由時(shí)間序列求出一個(gè)大致不相關(guān)的均值或方差的序列(把整個(gè)數(shù)據(jù)記錄分成M段，然后求各段按時(shí)間平均的均值和方差)。設(shè)該序列為y1，y2，…，yM，每當(dāng)出現(xiàn) yj＞ yi(j＞ i，i=1，2，…，M －1)時(shí)，定義為yi的一個(gè)逆序。對(duì)于下標(biāo)為i的已知值yi，其逆序數(shù)定義為與 yi相應(yīng)的逆序的個(gè)數(shù) Ai。逆序總數(shù)為

可以證明，以隨機(jī)數(shù)序列出現(xiàn)的A的平均值和方差為

則統(tǒng)計(jì)量

式中，A為逆序總數(shù)，A1為 A的平均值，A2為 A的方差。

漸近服從正態(tài)分布N(0，1)。根據(jù)M算出E［A］，然后按實(shí)際逆序數(shù)A得出μ值。如果μ值是處在±2之內(nèi)，則可接受“序列無趨勢(shì)”假設(shè);否則拒絕該假設(shè)(在0.05顯著水平上)。顯然，如果 A很大，表明序列均值(或方差)有上升的趨勢(shì)，而 A很小，表明序列的均值(或方差)有下降的趨勢(shì)。

逆序非平穩(wěn)趨勢(shì)檢驗(yàn)方法具有局限性，但對(duì)于單調(diào)的趨勢(shì)隨機(jī)數(shù)據(jù)序列是有效的。

1.2 正態(tài)性檢驗(yàn)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常用偏度和峰度值檢驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)的正態(tài)性。滿足正態(tài)分布隨機(jī)信號(hào)的偏度和峰度近似服從正態(tài)分布。任意隨機(jī)信號(hào)樣本函數(shù)的偏度為S，峰度為K?？梢愿鶕?jù)下面的統(tǒng)計(jì)量對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)［8］。

式中

式中，N為樣本個(gè)數(shù)。

定義概率函數(shù)為

其中，α為顯著水平，μ(α)可由查表得到。

根據(jù)式(10)計(jì)算隨機(jī)信號(hào)樣本函數(shù)的 μS和 μK，由表1，查 μ(α)則有:且，隨機(jī)信號(hào)為正態(tài)分布;或，隨機(jī)信號(hào)為非正態(tài)分布。

表 1 μ(α)

2 軌道不平順統(tǒng)計(jì)量計(jì)算分析

2.1 軌道不平順的平穩(wěn)性

圖1至圖3分別為軌向、高低、軌距和水平的均方根變化曲線。從圖中可以看出:如果把線路劃分成不同區(qū)段，均方值變化趨勢(shì)可以滿足平穩(wěn)性條件。這說明不同的線路條件、施工方式、維修方式、運(yùn)營(yíng)條件和地理環(huán)境等因素影響了軌道不平順產(chǎn)生、發(fā)展和變化。線路較長(zhǎng)時(shí)，由于線路常常劃分成不同工程局施工、不同鐵路局和工務(wù)段維修，使得線路設(shè)備和維修方式不盡相同，而且受不同區(qū)域地質(zhì)和氣候等因素影響，使得較長(zhǎng)線路不滿足平穩(wěn)性條件。因此，在計(jì)算軌道不平順譜時(shí)，不能通過局部區(qū)段軌道不平順譜代替整條線軌道不平順譜，而且也不能用簡(jiǎn)單平均方式計(jì)算軌道不平順譜。

圖1 軌向均方根變化曲線

圖2 高低均方根變化曲線

圖3 軌距和水平均方根變化曲線

2.2 軌道不平順正態(tài)性

從圖4軌道不平順偏度變化曲線可以看出:水平不平順偏度偏離零線較大，而且隨里程變化較大，水平偏度大值主要出現(xiàn)在曲線頭尾，而軌距偏度大值主要出現(xiàn)在道岔附近。

從圖5軌道不平順峰度變化曲線可以看出:軌距不平順峰度除局部地段遠(yuǎn)大于3外，其余都接近3;水平不平順峰度大于3。

由以上分析可知，部分里程不滿足正態(tài)性。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，峰度大的位置一般包含幅值較大的長(zhǎng)波局部不平順，如圖6所示線路設(shè)置的超高對(duì)水平不平順的影響，正是這一原因使得軌道不平順不能滿足正態(tài)性，同時(shí)也表明軌道不平順含有非平穩(wěn)特征成分或趨勢(shì)項(xiàng)。

3 結(jié)論

研究了軌道不平順數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)軌道不平順平穩(wěn)性和正態(tài)性的方法。利用實(shí)測(cè)的軌道不平順數(shù)據(jù)對(duì)軌道不平順的數(shù)字特征、平穩(wěn)性和正態(tài)性進(jìn)行了研究。通過研究得到以下結(jié)論:

1)按1 000 m長(zhǎng)度計(jì)算，軌道不平順數(shù)據(jù)絕大多數(shù)里程不滿足正態(tài)性條件。長(zhǎng)波大幅值局部不平順是產(chǎn)生軌道不平順不滿足正態(tài)性的主要原因。

2)線路局部區(qū)段滿足平穩(wěn)性條件，但整條線路基本不滿足平穩(wěn)性條件。

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