骨架驅(qū)動(dòng)的三維模型變形方法

韓 麗，齊曉明

（遼寧師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連116029）

0 引 言

三維網(wǎng)格模型的變形通常指在不改變其拓?fù)溥B接的同時(shí)改變網(wǎng)格頂點(diǎn)的坐標(biāo)，使得模型的姿態(tài)發(fā)生變化［1］，在幾何建模和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)中有著非常重要的應(yīng)用。

目前主要使用的變形方法有自由變形方法，多分辨率網(wǎng)格變形方法和基于骨架的變形方法。基于骨架的變形方法最早由Thalmann提出，其主要思想是將三維網(wǎng)格的變形與人體的運(yùn)動(dòng)相類比，由骨架的運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)網(wǎng)格表面點(diǎn) （皮膚）的運(yùn)動(dòng)。該方法具有良好的直觀性，因此被廣泛應(yīng)用于人體動(dòng)畫(huà)、游戲等領(lǐng)域［1］。

文獻(xiàn) ［2］將網(wǎng)格表面的點(diǎn)與三角曲線綁定，通過(guò)對(duì)三角曲線的變形，達(dá)到網(wǎng)格表面的形變；文獻(xiàn) ［3－4］提出了一種以單純形為操作單元的骨架驅(qū)動(dòng)變形方法；文獻(xiàn) ［5］則將動(dòng)力學(xué)公式和有限元方法結(jié)合，對(duì)三維模型進(jìn)行骨架驅(qū)動(dòng)變形，取得了良好效果。以上方法均集中在單一骨架驅(qū)動(dòng)的模型變形。

本文在文獻(xiàn) ［2］的基礎(chǔ)上，改變了骨架約束方式以及約束區(qū)域劃分方式，提出了一種新的多骨架驅(qū)動(dòng)的三維模型變形方法。首先，基于Reeb圖方法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格模型的拓?fù)涔羌芴崛。浯?，將多個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，并通過(guò)反求曲線控點(diǎn)的方式實(shí)現(xiàn)多骨架點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的骨架變換。最終，實(shí)現(xiàn)模型自然、光順的變形效果。

1 變形算法及原理

1.1 骨架約束點(diǎn)的確定

三維模型的骨架是將三維模型的拓?fù)涮匦钥梢暬院笮纬傻念愃乒羌芮仪队谌S模型內(nèi)部的圖形。本文采用了文獻(xiàn) ［9］提出的多分辨率Reeb圖的原理，進(jìn)行模型的骨架提取。

定義1 設(shè)M是一個(gè)光滑的三維流形，μ：M→R是定義在模型M上的連續(xù)函數(shù)，則Reeb圖是通過(guò)等價(jià)關(guān)系 （v1，μ（v1））～ （v2，μ（v2））所構(gòu)成的函數(shù)μ的商空間，其中v1和v2為模型M上的任意頂點(diǎn)。因此，給定模型上兩個(gè)頂點(diǎn)vi和vj，當(dāng)且僅當(dāng)以下條件滿足，則等價(jià)關(guān)系～成立

對(duì)于曲面上的每一組等價(jià)點(diǎn)集合，我們使用一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示，相鄰節(jié)點(diǎn)使用邊連接，從而形成了圖結(jié)構(gòu)，即Reeb骨架圖 （RG），如圖1（a）為使用高度函數(shù)作為μ函數(shù)，進(jìn)行4等分區(qū)間劃分所提取的Reeb圖骨架。

根據(jù)Reeb圖的思想，不同的連續(xù)函數(shù)μ會(huì)產(chǎn)生不同的Reeb圖。文獻(xiàn) ［7］引入測(cè)地線距離作為連續(xù)函數(shù)，創(chuàng)建了具有平移、旋轉(zhuǎn)不變性的μ函數(shù)。然而，由于需要人為選擇源點(diǎn)來(lái)計(jì)算各個(gè)頂點(diǎn)的測(cè)地線距離，不同的源點(diǎn)選擇則獲得不同的Reeb圖，因此，使提取的骨架具有極不穩(wěn)定性。多分辨率Reeb圖簡(jiǎn)稱MRG進(jìn)一步引入了基本點(diǎn)的概念，其基本思想是將μ函數(shù)定為

式中：g（v，bi）——頂點(diǎn)v距基本點(diǎn)bi的測(cè)地線距離，基本點(diǎn)為均勻散布在模型表面的頂點(diǎn)，area（bi）是每個(gè)基本點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的模型表面積。r相當(dāng)于一個(gè)基本點(diǎn)占據(jù)的表面半徑，r越小就會(huì)得到越多的bi基本點(diǎn)，MRG算法中設(shè)置（其中area（S）為模型表面積）。使用基本點(diǎn)作為測(cè)地線距離的源點(diǎn)，大大加強(qiáng)了測(cè)地線距離的穩(wěn)定性。在模型頂點(diǎn)的測(cè)地線距離的g（v，bi）計(jì)算中，Dijkstra的最短路徑算法被引用近似測(cè)地線距離，有效提高了運(yùn)算速度。

通過(guò)應(yīng)用最短路徑算法，可計(jì)算網(wǎng)格頂點(diǎn)v到所有基本點(diǎn)bi測(cè)地線距離之和。從而，獲得各個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)的μ函數(shù)值μ（v）

最終，我們將μ函數(shù)值進(jìn)行規(guī)一化處理為μN(yùn)（v），并將μN(yùn)函數(shù)值區(qū)間進(jìn)行k等分，找出劃分后每個(gè)區(qū)間內(nèi)的子連通點(diǎn)集，聚合成一個(gè)骨架的關(guān)節(jié)點(diǎn)，最后按一定順序連接這些關(guān)節(jié)點(diǎn)即生成骨架。

圖1（b）示意了使用測(cè)地線距離作為連續(xù)函數(shù)μ，并進(jìn)行4等分的區(qū)域劃分 （如圖中不同顏色所示），最終提取各等價(jià)區(qū)域的骨架節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成Reeb圖骨架結(jié)構(gòu)。

Reeb圖中的每個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一定范圍的模型頂點(diǎn)和面片，即子連通點(diǎn)集，則骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)與模型面片之間就產(chǎn)生了綁定關(guān)系，關(guān)節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)就會(huì)影響到與其有綁定關(guān)系的模型面片與頂點(diǎn)。

1.2 多骨架驅(qū)動(dòng)的三維模型變形算法

1.2.1 基于骨架點(diǎn)的Bézier擬合曲線

Bézier曲線采用由控制頂點(diǎn)組成的多邊形來(lái)控制曲線的幾何形狀，一般地，一條n次Bézier曲線可以表示為

圖1 多分辨率Reeb圖

本文中，我們利用Bézier曲線的端點(diǎn)插值性、凸包性［8］及連續(xù)性［9］等性質(zhì)，首先將骨架節(jié)點(diǎn)作為控制頂點(diǎn)，構(gòu)造Bézier擬合曲線，然后由任意一控點(diǎn) （骨架點(diǎn)）變化，得出新的Bézier曲線，最后反求Bézier曲線上其它控點(diǎn)，從而更新多骨架點(diǎn)的空間坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了基于Bézier曲線的多骨架點(diǎn)連續(xù)、光順變形。

我們以3個(gè)連續(xù)的骨架點(diǎn)作為控點(diǎn)為例，進(jìn)行二次Bézier曲線擬合，并依據(jù)曲線上的任意點(diǎn)Qi的變化，更新控點(diǎn)坐標(biāo)P1，其具體過(guò)程如圖2所示。

圖2 插值的二次Bézier曲線

二次Bézier曲線P（t）

已知曲線上3個(gè)頂點(diǎn)Qi（xi，yi，zi） （i＝0，1，2），其中Q0＝P0，Q2＝P2，點(diǎn)Q1可由，l2＝，根據(jù)獲得。將Q1帶入式 （5），即可求得控點(diǎn)P1

1.2.2 3個(gè)骨架點(diǎn)的變換

假設(shè)空間中3個(gè)骨架點(diǎn)Pi（xi，yi，zi），i＝0，1，2，當(dāng)P0點(diǎn)保持固定不變時(shí)，移動(dòng)點(diǎn)P2到點(diǎn)P2′時(shí)，點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)的新位置P1′的計(jì)算方法如下：

（1）確定曲線上Q1點(diǎn)的位置；

1）確定參數(shù)tQ的值。令則；

2）根據(jù)式 （5）計(jì)算Q1的坐標(biāo)，即Q1＝P（tQ）；

（2）計(jì)算點(diǎn)P2移到點(diǎn)P2′的移動(dòng)向量；

（3）計(jì)算Q1變化的新坐標(biāo)，其Q1′＝Q1＋t＊vec；

（4）根據(jù)更新的Q1點(diǎn)坐標(biāo)可獲得控點(diǎn)P1的變化 （如圖3所示）。令，則依據(jù)式（6），可得：。

圖3 3個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)變化算法

該算法中，首先確定Bézier曲線上的點(diǎn)Q1，并進(jìn)行矢量方向的空間變換，從而獲得新的曲線，最終反求獲得骨架點(diǎn)P1的變化。由算法步驟 （1）中的可知，參數(shù)tQ的取值直接關(guān)系到點(diǎn)Q1的位置和控點(diǎn)P1的更新。本算法中，tQ定義為點(diǎn)P1到點(diǎn)P0的距離與其分別到點(diǎn)P0和點(diǎn)P2的距離和的比值，實(shí)驗(yàn)證明，這樣的取值方法比較tQ隨機(jī)的取值具有更自然的效果。

如圖4所示，黃色點(diǎn)為原始的3個(gè)骨架控點(diǎn)，通過(guò)拉動(dòng)右側(cè)節(jié)點(diǎn)P2到新的空間位置，則節(jié)點(diǎn)P1的位置發(fā)生變化 （紅色點(diǎn)為更新后的控點(diǎn)）。圖4（a）、圖4（b）為人為設(shè)定tQ值，控點(diǎn)的變化結(jié)果；圖4（c）為依據(jù)本算法計(jì)算tQ所獲得的控點(diǎn)，相比較圖4（a）、圖4（b）效果，其位置變化更加自然、合理。

算法充分利用了二次Bézier曲線的一階連續(xù)性，保證了骨架節(jié)點(diǎn)位置的變動(dòng)更加平滑自然。

1.2.3 多骨架點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的變換方法

將1.2.2節(jié)中描述的算法應(yīng)用于多個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)，即可得到多骨架節(jié)點(diǎn)的連續(xù)平滑變化。

在算法中，選定P0至Pn－1n個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)，已知節(jié)點(diǎn)Pn－1的位置變化，先以Pn－3，Pn－2，Pn－1這3個(gè)節(jié)點(diǎn)為一個(gè)單元，計(jì)算出參數(shù)t，以及Pn－2的位置變化，然后以循環(huán)的方式分別獲得Pn－3至P1點(diǎn)的位置變化。算法中，以3個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)為單元，t的值是與其所處單元中3個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置相關(guān)的，從而更加保證節(jié)點(diǎn)變化的平滑性。圖5顯示了多個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)運(yùn)用上述算法進(jìn)行變換后的效果。

圖4 tQ取不同值時(shí)骨架控點(diǎn)的變化

圖5 多節(jié)點(diǎn)骨架變換

1.3 多骨架點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的模型變形

為了使模型表面變形更具光滑性及連續(xù)性，在此引入具有勢(shì)函數(shù)的元球。

定義2 設(shè)模型空間R3上任意點(diǎn)v＝ （x，y，z），Deform（v）為變形映射，它把點(diǎn)v變換到v′，Δv為v點(diǎn)的偏移量。依據(jù)廣義元球約束變形原理，單個(gè)約束源Pi引起的變形函數(shù)可定義為

式中：r（v，Pi）——模型上任意點(diǎn)v到約束中心點(diǎn)Pi（約束源）的歐式距離，f（r，Ri）——定義于半徑為Ri的元球上的勢(shì)函數(shù)。目前采用的勢(shì)函數(shù)基本有4種：Borrel的冪函數(shù)、Nishimura的分段二項(xiàng)式、Murakami的四次多項(xiàng)式、Wyvill的六次多項(xiàng)式［17］。本文采用了變形效果較好的Wyvill的六次多項(xiàng)式作為勢(shì)函數(shù)

從函數(shù)f（r，Ri）中可以看出約束源Pi在約束半徑R下定義了一個(gè)局部區(qū)域，在r≤Ri的區(qū)域內(nèi)，多邊形模型網(wǎng)格點(diǎn)會(huì)受到約束源的影響，而對(duì)于這個(gè)局部區(qū)域外的點(diǎn)，則不會(huì)出現(xiàn)位置的變化。Wyvill的勢(shì)函數(shù)有效保證了變形效果的局部性與光順性。

在變形過(guò)程中，用戶所選的骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)，即為約束源Si，i＝0，1，2……n－1，約束半徑R則由關(guān)節(jié)點(diǎn)到其所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的最大歐氏距離來(lái)確定

假設(shè)Pi＝ （xi，yi，zi）為選中的骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)Si（約束源）所對(duì)應(yīng)的連通區(qū)域上點(diǎn)，d（dx，dy，dz）是約束源S的偏移量 （可由用戶交互式拖拽操作完成），Displacement（p）是平移變形映射，則有以下計(jì)算公式

這樣，在牽動(dòng)最后一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)移動(dòng)后，就會(huì)得到與之相連的多個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)的以及其周圍面片相應(yīng)的動(dòng)畫(huà)變形。

骨架節(jié)點(diǎn)約束的區(qū)域變形算法描述如下：

typedef struct SubConnectPointSet//連通子集定義

｛ VNode＊＊connective＿VNode；

struct SubConnectPointSet＊next；

｝SubConnectPointSet；

typedef struct VNode //模型頂點(diǎn)定義

｛ float x，y，z；//模型頂點(diǎn)的空間坐標(biāo)值

void＊belongtoSCPS；//該頂點(diǎn)所屬的子連通點(diǎn)集

｝VNode；

typedef struct SkeletonJoint//骨架節(jié)點(diǎn)定義

｛float x，y，z；//骨架節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)

SubConnectPointSet＊belongtoSCPS；//該節(jié)點(diǎn)所屬的子連通點(diǎn)集。

｝SkeletonJoint；

算法步驟：

（1）交互式確定骨架節(jié)點(diǎn)，獲取約束源的坐標(biāo)SkeletonJoint＊S；

（2）遍歷骨架點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域 （S－＞belongtoSCPS－＞connective＿VNode），計(jì)算區(qū)域中各頂點(diǎn)VNode＊vi距約束源S的歐式距離r：r（vi，S）；

（3）獲得約束區(qū)域的最大歐氏距離作為約束半徑R：R＝Max（r（vi，S））；

（4）計(jì)算對(duì)應(yīng)區(qū)域上頂點(diǎn)VNode＊vi的勢(shì)函數(shù)：f（r，；

（5）交互式拖拽骨架點(diǎn)S進(jìn)行空間平移d（dx，dy，dz），進(jìn)行相應(yīng)區(qū)域頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)換，生成新的空間坐標(biāo)：Displacement（vi）＝vi＋d＊f（r，R）。

圖6是針對(duì)同一個(gè)長(zhǎng)方體模型進(jìn)行骨架驅(qū)動(dòng)變形的結(jié)果。圖6（a）為提取的長(zhǎng)方體的骨架；圖6（b）、圖6（c）為通過(guò)對(duì)骨架進(jìn)行交互式變形，獲取各骨架點(diǎn)的空間位移。圖6（d）為骨架空間位移后獲取的變形效果。圖7則顯示了對(duì)鞋模型進(jìn)行骨架驅(qū)動(dòng)變形的效果。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們?cè)诒简vⅣ2.8GHz，1G內(nèi)存的PC機(jī)上，以MFC和OpenGL圖形庫(kù)為基礎(chǔ)，使用VC＋＋6.0作為開(kāi)發(fā)環(huán)境，進(jìn)行了本算法的驗(yàn)證。

本算法中測(cè)地線距離是利用Dijkstra最短路徑近似得到，它的時(shí)間復(fù)雜度為O（NlogN），N代表模型頂點(diǎn)總個(gè)數(shù)。構(gòu)建骨架關(guān)節(jié)點(diǎn) （即子連通點(diǎn)集），所需消耗O（N）的時(shí)間復(fù)雜度。對(duì)于各個(gè)骨架點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模型子區(qū)域以及其勢(shì)函數(shù)與偏移量的計(jì)算為O（M），M（M＜N）為各子區(qū)域所對(duì)應(yīng)的模型頂點(diǎn)的平均數(shù)。因此，算法總的時(shí)間復(fù)雜度為O（NlogN）。表1為本算法的實(shí)驗(yàn)性能分析。

表1 算法運(yùn)行特性分析

如表2所示，我們使用測(cè)地線距離對(duì)模型進(jìn)行分割并提取骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)。然后，使用交互方式確定需要變形區(qū)域的多個(gè)約束關(guān)節(jié)點(diǎn)，采用拖拽末端骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)的直觀方式實(shí)現(xiàn)局部區(qū)域的變形。表2中 （1）行所示為棱柱模型的變形，我們把棱柱模型分6區(qū)間提取Reeb圖骨架，然后選取棱柱上部4個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)，對(duì)棱柱進(jìn)行變形，在此結(jié)果的基礎(chǔ)上我們繼續(xù)在上部選取3個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)、在下部選取4個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行多骨架節(jié)點(diǎn)驅(qū)動(dòng)變形，得到了中間和右邊的變形結(jié)果。

在表2中（2）行，展示了對(duì)海豚模型提取骨架后，選取頭部4個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)進(jìn)行變形的效果；在表2中 （3）行，對(duì)月亮模型提取骨架并選取其面部鼻梁處的4個(gè)骨架節(jié)點(diǎn)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，得到了月亮模型面部的平滑變形。表2中 （4）為將貓模型提取骨架后分別對(duì)去上肢和雙腿進(jìn)行變形的結(jié)果。

?

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于Bézier曲線的擬合的方法提出了多骨架點(diǎn)驅(qū)動(dòng)的交互式局部變形方法。我們通過(guò)多分辨率Reeb圖骨架的提取方法，可以對(duì)所有模型進(jìn)行骨架提取，并且確定了骨關(guān)節(jié)點(diǎn)與骨架所對(duì)應(yīng)的局部約束區(qū)域，通過(guò)交互式拖動(dòng)實(shí)現(xiàn)基于多骨架點(diǎn)的局部變形。有效地保持了模型的局部特征，確保了模型動(dòng)畫(huà)的直觀性、高效性。且在提取骨架時(shí)所需分層數(shù)目和需要驅(qū)動(dòng)的骨架節(jié)點(diǎn)的數(shù)目都可以交互式的靈活確定，使得使用十分方便簡(jiǎn)單。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，該算法計(jì)算量小，易于控制。此方法可通用在計(jì)算機(jī)造型、動(dòng)畫(huà)、游戲以及電影特效中。

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