一種基于級數(shù)反演的機(jī)載圓跡環(huán)掃SAR成像算法

廖 軼 周 松 邢孟道 保 錚

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

合成孔徑雷達(dá)(SAR)由于其全天時(shí)、全天候成像的能力，近年來已經(jīng)廣泛地投入到軍用和民用的實(shí)際運(yùn)用中[1-3]。傳統(tǒng)的SAR成像系統(tǒng)一般采用直線軌跡[4]，并出現(xiàn)了條帶、聚束、掃描等各種模式。相比于經(jīng)典的條帶模式，聚束模式的觀測區(qū)域較小，但是較長的觀測時(shí)間使其擁有相比于條帶更高的方位分辨率；掃描模式通過距離向上的掃描觀測增加了測繪帶寬度，但卻因此犧牲了方位向的分辨率。近來曲線軌跡SAR系統(tǒng)越來越受到關(guān)注。20世紀(jì)90年代，文獻(xiàn)[5]提出了圓跡合成孔徑雷達(dá)(Circular SAR, CSAR)的概念，此后逐漸成為雷達(dá)成像領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。但是通常意義下的CSAR都只是針對某一特定局部區(qū)域進(jìn)行觀測，這從某種意義上來看類似于曲線軌跡的聚束模式，并且由于其飛行軌跡的特殊性而獲得較高的分辨率或3維高程信息[6-8]。

近年來一種新的廣域觀測圓跡環(huán)掃 SAR(Circular Scanning SAR, CSSAR)成像模式作為一個(gè)全新的研究熱點(diǎn)逐漸受到了更多的關(guān)注[9]。在這種工作模式下，飛行平臺在一個(gè)固定的高度處作圓軌跡巡航運(yùn)動，天線方向固定朝背離圓心方向，因而形成了一個(gè)環(huán)形的成像區(qū)域，在某種意義上類似于圓跡正側(cè)視條帶模式，這種模式由于提高了其方位向上的掃描速度因而較之傳統(tǒng)的直線條帶模式擁有更大的成像區(qū)域，適合于進(jìn)行快速的廣域成像。

在SAR成像的處理過程中，回波信號2維頻譜的有效獲取對于設(shè)計(jì)快速頻域算法是至關(guān)重要的，由于 CSSAR圓弧飛行軌跡的特殊性，在其目標(biāo)的斜距方程中存在根號下三角函數(shù)的形式，如果直接使用 POSP(駐相點(diǎn)法)難以推導(dǎo)信號 2維頻譜的精確解析表達(dá)式。因而如何獲得信號的2維頻譜成為了CSSAR算法設(shè)計(jì)的一個(gè)難點(diǎn)。針對CSSAR成像，文獻(xiàn)[9]在其2維頻譜的推導(dǎo)過程中對斜距方程進(jìn)行了二階近似，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)成像算法，在平臺飛行高度較高，俯仰角較大，積累時(shí)間較短使得曲線影響可以忽略的情況下，該方法能夠獲得較好的成像結(jié)果；然而該方法采用的二階近似舍棄了高階斜距信息，因此在積累時(shí)間較長，分辨率要求較高的成像條件下，這種近似將引入較大的斜距近似誤差，若使用原有的算法所得的2維頻譜會產(chǎn)生較大的誤差，進(jìn)而導(dǎo)致目標(biāo)成像質(zhì)量下降，所以原有算法在使用中存在一定的局限性。

為了得到一種適用性更廣的成像算法，本文將基于級數(shù)反演法提出了一種CSSAR成像的新思路。級數(shù)反演法是利用多普勒頻率的展開式反演駐相點(diǎn)展開式系數(shù)，進(jìn)而獲得信號的 2維頻譜的一種方法[10-12]，該方法在推導(dǎo)過程中可以通過調(diào)整展開式的階數(shù)來有效控制2維頻譜表達(dá)式的精度。在獲得的2維頻譜的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)相應(yīng)的頻域算法。首先在2維頻域補(bǔ)償于場景中心相對應(yīng)的頻譜，再在距離多普勒域補(bǔ)償隨距離空變的相位差。

文中首先分析了圓跡運(yùn)動的幾何模型，探討了通過直接POSP求解所面臨的問題，然后將斜距方程近似到四階，再利用基于級數(shù)反演的方法推導(dǎo)得到信號的2維頻譜表達(dá)式。接著對2維頻譜進(jìn)行了分析并且給出了算法流程。最后，通過不同距離處的點(diǎn)目標(biāo)的仿真及結(jié)果對比，驗(yàn)證了所述算法的有效性。

2 圓跡環(huán)掃SAR的信號模型

圓跡環(huán)掃SAR的成像幾何如圖1所示。雷達(dá)平臺在高度為Hc的平面上以半徑ra做圓形軌跡運(yùn)動，平臺運(yùn)動的角速度為ω，平臺旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的方位向慢時(shí)間為η，則飛行平臺轉(zhuǎn)過的角度為θ,θ∈[0,2π)，雷達(dá)平臺運(yùn)動時(shí)，波束的指向始終與飛行速度方向垂直，波束的俯仰角為θr，當(dāng)雷達(dá)平臺旋轉(zhuǎn)飛行一周時(shí)，其波束照射的區(qū)域?qū)⑿纬梢設(shè)B為內(nèi)徑，OC為外徑的環(huán)形區(qū)域。設(shè)雷達(dá)平臺A的坐標(biāo)為(racosθ,rasinθ,Hc)，而以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為rp，方位角為θp的目標(biāo)點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為(rpcosθp,rpsinθp, 0)，雷達(dá)與目標(biāo)P之間的瞬時(shí)距離為R(η)，利用余弦定理，可以得到以下關(guān)系：

圖1 圓跡環(huán)掃SAR成像幾何模型

其中

假設(shè)發(fā)射雷達(dá)信號為線性調(diào)頻(LFM)信號，脈沖寬度為Tp，調(diào)頻率為γ，則點(diǎn)目標(biāo)P的回波可表示為

其中σp為散射系數(shù)，ar(·)和aa(·)分別為雷達(dá)(LFM)信號的距離向包絡(luò)和方位向包絡(luò)，c為光速，λ為中心頻率所對應(yīng)的波長。

此時(shí)，將式(5)所示的回波信號變換到距離頻域-方位時(shí)域，得

其中fc為載頻，fτ為距離向頻率，Ar(fτ)代表距離頻率包絡(luò)?，F(xiàn)在試用駐相點(diǎn)法求解信號2維頻譜，對式(6)作方位FFT，得

那么其傅里葉積分中的相位為

對θ(η)關(guān)于η求導(dǎo)得

令該導(dǎo)數(shù)為零，

由式(9)可見，在多普勒頻域的表達(dá)式中，分子和分母的根號下均存在三角函數(shù)形式的表示式，因此由式(9)推導(dǎo)η的表達(dá)式十分不易，從而給SAR回波信號的2維頻譜推導(dǎo)帶來了較大的困難。針對該問題，文獻(xiàn)[9]通過對斜距表達(dá)式作二階近似使其表達(dá)形式與傳統(tǒng)直線條帶式的斜距方程具有類似的形式，并以該二階近似斜距式為基礎(chǔ)給出了相應(yīng)的成像方法。在飛行高度較高，軌道半徑較小的情況下，飛行軌跡曲率的影響對于斜距的變化可以忽略，即飛行軌跡對于目標(biāo)點(diǎn)可以近似地認(rèn)為是直線。因此在這種情況下，文獻(xiàn)[9]的方法是適用的，但是對于某些低空運(yùn)動平臺如無人機(jī)，其圓弧飛行軌跡所引入的斜距變化信息對于頻譜的影響是不可忽略的，如果使用二階近似而忽略高次項(xiàng)將導(dǎo)致聚焦質(zhì)量的下降，因此需要找到一種新的適合于圓跡環(huán)掃SAR的頻譜推導(dǎo)方法。

3 基于MSR的2維頻譜推導(dǎo)

從以上的分析可以看出，CSSAR由于其斜距表示較為復(fù)雜，成像處理中不便于方位傅里葉變換中駐相點(diǎn)的求解及信號2維頻譜的推導(dǎo)，而文獻(xiàn)[9]的近似方法所引入的斜距誤差在積累時(shí)間較長，分辨率要求較高的情況下對聚焦的影響較大，不能滿足成像質(zhì)量的要求。因此以下我們利用級數(shù)反演的方法對信號回波進(jìn)行2維頻譜的推導(dǎo)，通過對POSP中多普勒頻譜的展開式系數(shù)反演得到駐相點(diǎn)方位時(shí)間的級數(shù)展開式系數(shù)，進(jìn)而得到精度較高的2維頻譜表達(dá)式。在推導(dǎo)過程中，我們可以通過調(diào)整展開式中的近似階數(shù)來控制2維頻譜表達(dá)式的精度，并以該頻譜為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)有效的CSSAR成像算法。

對于式(9)，令導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，多普勒頻率可以寫成如下形式：

利用級數(shù)反演法，我們可以得到方位時(shí)間由多普勒頻率展開式表達(dá)的形式，即駐相點(diǎn)的表示式，表示如下：

其中

由式(6)和式(12)，可以得到

其中Aa(fη)為信號多普勒譜的包絡(luò)，需要指出的是，由于斜距公式中含有三角函數(shù)的原因，展開式里奇次項(xiàng)均為0。對于式(14)的表達(dá)式，需要對其進(jìn)行展開并保留一定的階次，而階次的選取就關(guān)系到成像精度的問題。在這里我們將相位階次保持到四階，關(guān)于擴(kuò)展階次的選取原則，本文的第5節(jié)將對此進(jìn)一步做定量分析。結(jié)合式(12)，式(13)和式(14)，那么此時(shí)點(diǎn)目標(biāo)信號的2維頻譜的相位可以寫成

其中式(15)中的相位項(xiàng)表示如下：

在式(16)中，信號 2維頻譜的表達(dá)式保留到了多普勒頻率fη的四階項(xiàng)，式(16)等號右邊的第 3項(xiàng)包含斜距四次項(xiàng)系數(shù)k4，這是在二階近似的成像方法中忽略的高次項(xiàng)。在低空運(yùn)動平臺的成像過程中，其飛行曲線軌跡引入的距離變化信息將帶來明顯的高次相位信息，這時(shí)未補(bǔ)償?shù)男本嗨拇雾?xiàng)將會嚴(yán)重影響2維頻譜的精度，因此，在成像算法設(shè)計(jì)時(shí)，需要對斜距高階項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償。以下將根據(jù)獲取的SAR信號回波的 2維頻譜表達(dá)式，給出適用于CSSAR的成像算法。

下面利用所得到的 2維頻譜進(jìn)行成像算法推導(dǎo)。

4 成像算法分析

從之前的推導(dǎo)中可以看出，2維頻譜的表達(dá)式含有fτ,fη和R(η)等變量，鑒于回波信號2維頻譜中的距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合，不便于后續(xù)處理，因此將式(16)在距離頻率fτ=0 處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，整理后可以得到如下形式：

(1)方位調(diào)制項(xiàng)：式(17)中等號右邊的第2個(gè)相位項(xiàng)為方位調(diào)制項(xiàng)，即

該項(xiàng)包含方位調(diào)制，將在距離徙動校正和距離壓縮之后與構(gòu)造的方位匹配濾波函數(shù)相乘完成方位脈壓。

(2)距離徙動(Range Cell Migration, RCM)項(xiàng)：式(17)中等號右邊的第 3個(gè)相位項(xiàng)為距離徙動項(xiàng)，即

該項(xiàng)與多普勒頻率的fη有關(guān)，體現(xiàn)為距離向和方位向的耦合，需予以補(bǔ)償。通常情況下，在距離測繪帶不是很寬的CSSAR成像中，RCM項(xiàng)隨距離的變化可以忽略；在后續(xù)的處理中，可用場景中心處為參考，在 2維頻域構(gòu)造相應(yīng)的距離徙動校正(Range Cell Migration Correction, RCMC)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)距離徙動校正。

(3)二次距離脈壓(Secondary Range Compression,SRC)項(xiàng)：式(17)中等號右邊的第4個(gè)相位項(xiàng)為SRC項(xiàng)，即

該項(xiàng)體現(xiàn)了由距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合所引入的距離調(diào)頻率的改變。如果不考慮SRC項(xiàng)將影響距離向的聚焦，而SRC隨距離的變化往往可以忽略；因此可以以場景中心作為參考，在2維頻域構(gòu)造相應(yīng)的補(bǔ)償項(xiàng)，消除SRC項(xiàng)對成像的影響。

(4)距離調(diào)制項(xiàng)：式(17)中等號右邊的第5個(gè)相位項(xiàng)為距離調(diào)制項(xiàng)，即

(5)殘余相位項(xiàng)：式(17)中等號右邊的第6個(gè)相位項(xiàng)為殘余相位項(xiàng)，即

該項(xiàng)為展開后的殘余相位項(xiàng)，可在2維頻域?qū)ζ溥M(jìn)行補(bǔ)償。

根據(jù)以上的分析，并結(jié)合式(15)和式(16)的SAR回波信號的2維頻譜表達(dá)式，在2維頻域中補(bǔ)償與場景中心相對應(yīng)的頻譜，再在距離-多普勒域補(bǔ)償隨距離空變的相位項(xiàng)。

具體的算法流程如下：

(1)首先對式(5)的回波信號做2維FFT得到如式(15)所示2維頻譜。

(2)這時(shí)對距離徙動項(xiàng)φrcm(fη)，距離調(diào)制項(xiàng)φrg(fη)，殘余相位項(xiàng)φres(fη,fτ)和距離調(diào)制項(xiàng)φrg(fτ)進(jìn)行補(bǔ)償，乘以其相位的共軛，

(3)作距離IFFT將信號變換至距離多普勒域并乘以方位匹配濾波函數(shù)完成方位脈沖壓縮方位匹配濾波函數(shù)為

(4)最后對信號做方位IFFT就可以得到聚焦后的SAR圖像，完整的算法流程圖如圖2所示。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

在SAR成像中，對于斜距的近似誤差而言，忽略斜距中的高次項(xiàng)而引起的雙程最大相位誤差應(yīng)小于π/4。針對上述分析，斜距展開到了四次，以下我們分析近似擴(kuò)展階次的問題。

圖2 算法流程圖

選取一組典型參數(shù)，假設(shè)飛行平臺的參數(shù)為Hc=2 000 m,ra=4 000 m,rp=5 154.7 m ，飛行速度v=100 m/s，雷達(dá)波長λ=0.3 m，現(xiàn)在分別計(jì)算在一個(gè)合成孔徑時(shí)間內(nèi)目標(biāo)斜距二次的近似誤差和四次的近似誤差，如圖 3，圖 4所示，其中虛線所指示的是相位誤差為π/4的位置，實(shí)線表示的是合成孔徑積累時(shí)間內(nèi)由不同斜距階次近似所引入的相位誤差。另外由于奇次項(xiàng)為零，故這里不再考慮三次的近似誤差。從圖中可以看出，二次近似相位誤差在邊緣最大處為1.7左右，大于虛線所表示的π/4位置，進(jìn)而說明了由二階近似引入的近似誤差不能夠被忽略，否則將導(dǎo)致成像質(zhì)量的下降；而四次近似相位誤差的最大值約為 3×10-3，遠(yuǎn)小于π/4，故而在圖中不再畫出表示π/4的虛線，同時(shí)這也說明對斜距的四階近似已經(jīng)足夠滿足成像的要求，無需再提高近似階次。因此，對圓跡環(huán)掃SAR而言，式(15)所表示的頻譜表達(dá)式具有更廣的適用性。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，下面分別采用本文推導(dǎo)的方法與文獻(xiàn)[9]中所述的斜距二階近似條件下的成像算法進(jìn)行點(diǎn)目標(biāo)全孔徑成像仿真對比。仿真參數(shù)如表1所示，場景中有遠(yuǎn)、中、近3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)，點(diǎn)目標(biāo)的坐標(biāo)分別為Pn(0,4854.7,0),Pm(0,5154.7,0),Pf(0,5454.7,0)。

同樣針對場景中心點(diǎn)，運(yùn)用兩種算法對場景中心點(diǎn)Pm進(jìn)行成像并對結(jié)果作對比，如圖5，圖6所示。其中(a)為點(diǎn)目標(biāo)等高線圖，(b)為方位向脈沖響應(yīng)，(c)為距離向脈沖響應(yīng)。從圖中可以看出，由于圓跡飛行軌跡曲率的影響，斜距的二階次近似已經(jīng)無法表征足夠的相位變化信息，進(jìn)而造成點(diǎn)目標(biāo)的聚焦效果下降，難以滿足成像的要求。然而本文所提的算法通過級數(shù)反演將斜距近似到四階，其推導(dǎo)得到的 2維頻譜中能夠體現(xiàn)出更多的斜距變化信息，因而提高成像質(zhì)量，獲得更高的圖像精確度，使點(diǎn)目標(biāo)的聚焦效果滿足成像要求。圖7和圖8分別為使用本文所述方法得到的近距點(diǎn)和遠(yuǎn)距點(diǎn)的成像效果，從圖中可以看出，不僅是場景中心點(diǎn)，近距點(diǎn)和遠(yuǎn)距點(diǎn)也均得到了良好的聚焦，進(jìn)一步證明本文算法的有效性。

表1 雷達(dá)參數(shù)

表2為本文所提算法對遠(yuǎn)、中、近3個(gè)目標(biāo)的成像質(zhì)量參數(shù)評價(jià)結(jié)果。其中，理論的距離分辨率和方位分辨率分別為0.443 m和0.125 m，從表2可以看出，成像各項(xiàng)性能指標(biāo)均與理論值較為接近，取得了較好的成像結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

6 結(jié)束語

本文首先通過建立圓跡環(huán)掃 SAR成像信號模型，展示了 CSSAR的成像特點(diǎn)和難點(diǎn)，然后針對難點(diǎn)給出了點(diǎn)目標(biāo)的斜距方程和基于級數(shù)反演法的信號2維頻譜表達(dá)式，并通過近似相位誤差分析，解決了近似階數(shù)的選取問題；同時(shí)與二階近似的成像方法進(jìn)行了對比，論證了本文方法的優(yōu)越性；然后在2維頻譜的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相應(yīng)的成像算法。文章最后通過不同距離處的點(diǎn)目標(biāo)仿真對比，驗(yàn)證了所提算法的有效性。

圖3 斜距二階近似相位誤差

圖4 斜距四階近似相位誤差

圖5 采用對斜距二階近似的算法，中心點(diǎn)成像結(jié)果

圖6 采用本文方法，中心點(diǎn)成像結(jié)果

圖7 采用本文方法，近距點(diǎn)成像結(jié)果

圖8 采用本文方法，遠(yuǎn)距點(diǎn)成像結(jié)果

表2 本文成像算法成像質(zhì)量評價(jià)

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