用向量數(shù)學(xué)工具分析經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的方法探討

周鳳珍

0 引言

在經(jīng)濟(jì)效應(yīng)分析中，某種商品價(jià)格的變化可能會(huì)產(chǎn)生兩方面的影響：一方面使該商品相對于其替代商品而言變得更貴或更便宜了，這會(huì)導(dǎo)致消費(fèi)者減少或增加對該商品的消費(fèi)量，而增加或減少對該商品替代品的消費(fèi)量；另一方面，使得消費(fèi)者的實(shí)際收入（或購買力）下降或上升，這也會(huì)導(dǎo)致該消費(fèi)者減少或增加對商品的消費(fèi)量。前一種影響即為價(jià)格變化的替代效應(yīng)，而后一種影響即為價(jià)格變化的收入效應(yīng)，總效應(yīng)=替代效應(yīng)+收入效應(yīng)。

西方經(jīng)濟(jì)學(xué)一般用圖解的方法分析收入效應(yīng)、替代效應(yīng)及總效應(yīng)，當(dāng)前經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中普遍采用的分析表達(dá)方法，本文稱為“一般分析方法”。

1 一般分析方法簡介

以圖1為例，介紹分析物品的替代效應(yīng)、收入效應(yīng)和總效應(yīng)的一般分析方法[1]。

圖1中的橫軸OX1和縱軸OX2分別表示商品1和商品2的數(shù)量，其中商品1是正常物品。在商品1價(jià)格變化之前，消費(fèi)者的預(yù)算線為AB，該預(yù)算線與無差異曲線U1相切于X點(diǎn)，X點(diǎn)是消費(fèi)者效用最大化的一個(gè)均衡點(diǎn)。在X均衡點(diǎn)上，相應(yīng)的商品1的需求量為OX10，現(xiàn)假定商品1的價(jià)格P1下降使預(yù)算線的位置由AB移至AB′。新的預(yù)算線AB′與另一條代表更高效用水平的無差異曲線U2相切于Z點(diǎn)，Z點(diǎn)是商品1的價(jià)格下降以后的消費(fèi)者的效用最大化的均衡點(diǎn)。在Z均衡點(diǎn)上，相應(yīng)的商品1的需求量為OX12，比較X、Z兩個(gè)均衡點(diǎn)，商品1的需求量的增加量為X10X12(=TE)，這便是商品1的價(jià)格P1下降所引起的總效應(yīng)。這個(gè)總效應(yīng)可以被分解為替代效應(yīng)和收入效應(yīng)兩個(gè)部分。

為了從總效應(yīng)中離析出替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，作一條平行于新預(yù)算線AB′且與無差異曲線U1相切的預(yù)算補(bǔ)償線FG，F(xiàn)G與U1相切于Y點(diǎn)（本文稱之為“輔助均衡點(diǎn)”），在Y點(diǎn)商品1的需求量為OX11，依據(jù)經(jīng)濟(jì)分析可知，X10X11（=SE）為替代效應(yīng)，X11X12(=IE)為收入效應(yīng)，X10X12=X10X11+X11X12，即TE=SE+IE。

由于低檔商品與正常商品的消費(fèi)量隨價(jià)格變動(dòng)的情況不同，分析低檔商品及低檔商品中的吉芬商品，在一般分析方法中一般是分別論述的，這里不再贅述，讀者可參考經(jīng)濟(jì)學(xué)教材，因?yàn)楸疚闹荚诮榻B新的分析方法。

一般分析方法中，確定收入效應(yīng)、替代效應(yīng)及總效應(yīng)的方向，是以價(jià)格變動(dòng)方向?yàn)閰⒄障档?，比如?jīng)濟(jì)學(xué)教材中總是這樣表達(dá)效應(yīng)的方向：與價(jià)格成“同方向”或“反方向”變動(dòng)，而價(jià)格可能上升也可能下降，所以“參照系”是變化的。由于“參照系”的變來變?nèi)?，常使初學(xué)者倍感糊涂。筆者嘗試商品的效應(yīng)分析中引入向量，不必區(qū)分正常品、低檔品等，按照統(tǒng)一的數(shù)理方法進(jìn)行分析即可。

圖1 正常物品替代效應(yīng)和收入效應(yīng)的一般圖解

2 向量分析法

前面已簡要介紹了關(guān)于替代效應(yīng)、收入效應(yīng)及總效應(yīng)一般分析方法。下面解釋向量分析法的原理。

假設(shè)一切條件同前面所述，在圖1中添加向量：從初始均衡點(diǎn)X指向新均衡點(diǎn)Z，作向量，為總效應(yīng)向量；從初始均衡點(diǎn)X指向輔助均衡點(diǎn)Y作向量，為替代效應(yīng)向量；從輔助均衡點(diǎn)Y指向新均衡點(diǎn)Z作向量，為收入效應(yīng)向量，得到圖2。

如圖2所示，替代效應(yīng)向量、收入效應(yīng)向量和總效應(yīng)向量三者的關(guān)系為：

圖2 替代效應(yīng)和收入效應(yīng)及總效應(yīng)的向量圖解

圖3 相關(guān)商品的替代效應(yīng)、收入效應(yīng)和總效應(yīng)向量圖解

由此可以看出，當(dāng)價(jià)格變化均衡點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，每個(gè)向量中都包含了商品1和商品2的效應(yīng)信息，根據(jù)向量的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可分解出其中包含的商品1和商品2的各種效應(yīng)量。假如分析更多商品，理論上說也同此理，因?yàn)橄蛄恐邪怂邢嚓P(guān)商品的效應(yīng)信息。

以上是向量法用于從圖形上看是正常商品的例子，如果用于分析低檔（非吉芬或吉芬）商品價(jià)格變動(dòng)產(chǎn)生的效應(yīng)也一樣，適用于任何類型商品及任意價(jià)格變動(dòng)的效應(yīng)分析，可以一以貫之。下面不妨再以吉芬商品為例說明如下。

假設(shè)商品1是吉芬商品，當(dāng)商品1價(jià)格P1下降時(shí)，作向量圖如圖4所示，商品1的總效應(yīng)向量、替代效應(yīng)向量及收入效應(yīng)向量分別是和，且這三個(gè)向量在X1軸方向的分向量分別是和代表P1下降商品1產(chǎn)生的總效應(yīng)向量、替代效應(yīng)向量和收入效應(yīng)向量，且，這些分向量的數(shù)量值分別是TE、SE和IE，TE=SE+IE。

可見，吉芬商品與正常品的效應(yīng)分析方法一樣，確定效應(yīng)量的數(shù)學(xué)過程一樣?？梢酝贫鴱V之，用于任何類別的商品效應(yīng)分析。

3 向量分析法的意義

通過前文的論述，在分析收入效應(yīng)、替代效應(yīng)及總效應(yīng)時(shí)，向量分析法與一般分析法相比，其意義可總結(jié)如下：

（1）延伸數(shù)理分析線路

圖4 吉芬品的效應(yīng)向量圖解

作出向量后，下一步還可以用解析幾何的方法處理效應(yīng)問題。如圖5所示。

通過前面的分析可知，向量分析法的實(shí)質(zhì)是依據(jù)三個(gè)均衡點(diǎn)X、Y、Z（始與終兩個(gè)均衡點(diǎn)及一個(gè)輔助均衡點(diǎn)）確定效應(yīng)向量關(guān)系的。前文假設(shè)條件不變，一個(gè)消費(fèi)者消費(fèi)商品1和商品2，以此建立坐標(biāo)系如圖5所示，設(shè)初始均衡點(diǎn)X（X10,X20）點(diǎn),商品1價(jià)格發(fā)生變化后,新的均衡點(diǎn)Z（X12，X22），為了分解出總效應(yīng)中的替代效應(yīng)量和收入效應(yīng)量，作補(bǔ)償預(yù)算線，得到輔助均衡點(diǎn)Y（X11，X21），依據(jù)向量指示的方向可以進(jìn)行解析計(jì)算，價(jià)格變化引起的商品1的總效應(yīng)量就是替代效應(yīng)IE=,收入效應(yīng)計(jì)算商品2的效應(yīng)亦同理。

（2）拓展分析范圍

現(xiàn)實(shí)中商品價(jià)格總是起伏不定地波動(dòng)著，當(dāng)要考察商品價(jià)格的多次變化引起的效應(yīng)時(shí)，用向量跟蹤表示更為方便。

圖5 替代效應(yīng)和收入效應(yīng)及總效應(yīng)的向量解析法圖解

如圖6所示，假設(shè)最初消費(fèi)均衡點(diǎn)在Z點(diǎn)，由于商品1價(jià)格P1上升，消費(fèi)均衡點(diǎn)由Z點(diǎn)變?yōu)閄點(diǎn)，然后P1又下降了，消費(fèi)均衡點(diǎn)由X點(diǎn)又變?yōu)閃點(diǎn)，那么從最初均衡點(diǎn)向最終均衡點(diǎn)作向量就是所有變化的總效應(yīng)向量，為P1上升階段的總效應(yīng)向量，為P1下降階段的總效應(yīng)向量，且，求解商品1各階段價(jià)格波動(dòng)效應(yīng)量的方法一樣，只需依據(jù)向量的性質(zhì)，作出各向量在X1軸方向的分向量即可。

圖6 商品價(jià)格任意變化時(shí)效應(yīng)向量圖解

所以，向量法可用于動(dòng)態(tài)或多個(gè)均衡點(diǎn)分析。

無論如何變化，總能作出一個(gè)閉合的向量圖，依向量箭頭方向看，兩條向量路線都是從初始均衡點(diǎn)出發(fā)，止于最終均衡點(diǎn)，其中一個(gè)路線是從初始均衡點(diǎn)直指最終均衡點(diǎn)，只有一個(gè)向量，這就是總向量，例如圖6中向量另一條路線從初始均衡點(diǎn)出發(fā)，順次經(jīng)過其他各均衡點(diǎn)，最后“到達(dá)”最終均衡點(diǎn)，例如圖6中向量要分析各種效應(yīng)量，只需分解各向量在目標(biāo)商品軸（如圖6中X1或X2軸）上的分向量即可得之，非常簡便。

把向量這個(gè)數(shù)學(xué)工具引進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)分析中，比較圖1和圖2，可以看出：在圖1中，效應(yīng)量TE、SE、IE只能靠經(jīng)濟(jì)分析確定其方向及數(shù)值，從數(shù)理意義上看似乎是“無源之水”，而在圖2中引入向量以后，就既有經(jīng)濟(jì)意義又有數(shù)理意義了，達(dá)到了經(jīng)濟(jì)意義與數(shù)理意義的完美統(tǒng)一。從數(shù)理意義上看，圖形底部標(biāo)出的向量及其數(shù)量值TE、SE、IE就有了“源頭”，從圖1的“無源之水”變成了圖2有來龍去脈的“有源之水”，在不失“經(jīng)濟(jì)成分”的同時(shí)，疏通了數(shù)理“脈絡(luò)”，從數(shù)理上解釋了總效應(yīng)向量、替代效應(yīng)向量、收入效應(yīng)向量以及總效應(yīng)TE、替代效應(yīng)SE、收入效應(yīng)IE的來自哪里，邏輯思路清晰。

把向量用于經(jīng)濟(jì)效應(yīng)分析，可以看出經(jīng)濟(jì)理論與數(shù)學(xué)向量工具的結(jié)合路線圖是這樣的：找出均衡點(diǎn)（依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論分析）→作向量（經(jīng)濟(jì)意義與數(shù)學(xué)工具相結(jié)合）→向量運(yùn)算（依據(jù)數(shù)學(xué)理論分析）→得出效應(yīng)量（還原出數(shù)學(xué)變量的經(jīng)濟(jì)意義）。概括地說，這個(gè)分析過程的路線圖就是：經(jīng)濟(jì)分析→數(shù)理分析→經(jīng)濟(jì)意義還原。

利用向量分析法，無論哪類商品也無論哪種經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，都可統(tǒng)一到數(shù)學(xué)意義的正負(fù)值上，清晰明了，邏輯嚴(yán)密，是具有普適性的經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理分析方法。

（3）直觀性強(qiáng)

效應(yīng)向量化之后，向量中“攜帶”了效應(yīng)的所有信息，通過向量的分解可以一一釋放出來。比如，前文中根據(jù)各向量方向與X1軸或X2的方向是同向或反向，就可以直觀地看出各效應(yīng)向量數(shù)值的正負(fù)及其間的疊加關(guān)系了。因此，只需在圖形上作出向量，不必再象一般分析方法中的圖1所示那樣，在圖形底部刻意標(biāo)示出來，通過向量的數(shù)學(xué)性質(zhì)就能直觀地判定效應(yīng)量的方向及其關(guān)系了。

用向量表示，各效應(yīng)量間的關(guān)系一目了然，向量圖上非常清晰地反映出其間的疊加關(guān)系（同向或反向），從而也就很容易判斷出每種效應(yīng)量值的正負(fù)。也就不必刻意記住西方經(jīng)濟(jì)學(xué)教材里的“同方向”或“反方向”判定表格，而且無論價(jià)格上升或下降，直接從起點(diǎn)（初始均衡點(diǎn)）向終點(diǎn)（新均衡點(diǎn)）作一個(gè)向量，就是總效應(yīng)向量，再把總向量分解為替代效應(yīng)向量和收入效應(yīng)兩個(gè)向量，三個(gè)向量中就包含了所有的效應(yīng)信息。然后運(yùn)用向量的數(shù)學(xué)性質(zhì)運(yùn)算，分解出所有想要的具體商品的效應(yīng)量。

以勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中工資率變化的效應(yīng)分析為例，如圖7所示。

假如隨著經(jīng)濟(jì)的增長，工資率提高了，工資率的提高不僅使個(gè)人的收入增加，同時(shí)也使余暇和勞動(dòng)時(shí)間的效用發(fā)生相應(yīng)的變化。工資率的變化同時(shí)帶來兩種效應(yīng)：收入效應(yīng)與替代效應(yīng)。主體的勞動(dòng)供給決策所受的影響也最終取決于這兩種效應(yīng)的相互關(guān)系。

在圖7中，U1，U2分別是不同效用水平的余暇—收入等效用線，且U2＞U1，橫軸OH軸為余暇時(shí)間，OH0為每天最大的余暇時(shí)間（24小時(shí)），縱軸為收入Y，Y0H0為工資率W1時(shí)的收入線，Y1H0為工資率W2時(shí)的收入線，收入線與橫軸夾角的正切值即為工資率，這里顯然W2＞W(wǎng)1。

圖7 工資率變化的收入效應(yīng)與替代效應(yīng)向量圖

在工資率W1時(shí)，主體效用最大化的點(diǎn)，即均衡點(diǎn)，為余暇—收入等效用線U1與收入線Y0H0的切點(diǎn)A點(diǎn)。在A點(diǎn)，收入為Ya，余暇時(shí)間為 Ha。由W1增長為 W2，主體將作出適時(shí)調(diào)整，調(diào)整后新的均衡點(diǎn)為余暇—收入等效用線U2與收入線Y1H0的切點(diǎn)B點(diǎn)，在B點(diǎn)，收入為Yb，余暇時(shí)間為Hb。

可見，通過向量圖可以非常清晰地看出各種效應(yīng)之間的關(guān)系。

[1] 高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)（微觀部分）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2004.

[2] 楊河清.勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2010.