一種模態(tài)弱響應(yīng)且模態(tài)密集的參數(shù)識別方法

賈天嬌 岳 林

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法已經(jīng)在航空航天、建筑、運輸、機械、能源等幾乎所有與結(jié)構(gòu)動態(tài)分析有關(guān)的領(lǐng)域中得到了廣泛而成功的應(yīng)用［1］，該類方法要求同時測得結(jié)構(gòu)上的激勵和響應(yīng)信號。而運行模態(tài)分析僅根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)進行結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)辨識，不需施加人工激勵，試驗簡便且不受結(jié)構(gòu)形狀和大小的限制，不影響結(jié)構(gòu)的正常工作，同時也避免了對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生損傷，安全性好。因此，運行模態(tài)分析比傳統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)分析方法更具有優(yōu)越性，更適合工程實際應(yīng)用中一些大型結(jié)構(gòu)（如橋梁、高層建筑以及海洋平臺等）或特殊系統(tǒng)（如運轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、運行中的飛行器等）的測試和分析。

運行模態(tài)系統(tǒng)參數(shù)識別的數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，含有大噪聲，為寬帶隨機激勵且輸出信號較弱，對于高柔度的飛機或橋梁以及輸油管線結(jié)構(gòu)，一般還存有密集模態(tài)。目前，在假設(shè)結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，運行模態(tài)辨識的方法很多，但對弱響應(yīng)輸出且固有頻率非常密集的結(jié)構(gòu)的識別效果往往不盡人意。2004年，LMS公司推出PolyMax法［2］，即多參 考 最 小 二 乘 復(fù) 頻 域 （least squares complex frequency，LSCF）法，該方法對小阻尼密集模態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)采用穩(wěn)定圖法進行多次識別，有較好的精度。此外，小波分析方法在非平穩(wěn)響應(yīng)參數(shù)識別方面，有很好的去除噪聲、獲取系統(tǒng)主要模態(tài)頻率的效果，對短樣本、大噪聲和密頻數(shù)據(jù)的模態(tài)識別效果良好［3－6］。實際測量過程中獲得的響應(yīng)信號的各階特征能量往往相差懸殊，在利用響應(yīng)信號的相關(guān)函數(shù)［7－8］進行振動結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別時，由于相關(guān)函數(shù)使大能量信號增強，小能量信號減弱［9］，已有的PolyMax法和小波模態(tài)辨識法，無法有效地對能量極小的弱響應(yīng)模態(tài)特征進行辨識。為了解決此問題，本文先通過傳遞率的計算來突出弱響應(yīng)信號的頻率特征，然后針對大噪聲、密頻的特點再采用小波模態(tài)辨識法識別模態(tài)頻率和阻尼比。

1 聯(lián)合方法的理論

1.1 傳遞率的概念

當(dāng)激勵力為近似平穩(wěn)白噪聲時，系統(tǒng)的激勵力為f（t），設(shè)每個測點i輸出的響應(yīng)信號為xi（t），i＝1，2，…，n。對一個測點j，系統(tǒng)頻響函數(shù)的H1估計為

式中，F(xiàn)（ω）、Xj（ω）分別為激勵力f（t）和輸出xi（t）的傅里葉變換；GFF（ω）為激勵力f（t）的自功率譜密度；GXF（ω）為輸出xi（t）和激勵力f（t）的互功率譜密度。

對兩個測點j和p（j≠p），系統(tǒng)的傳遞率定義為

式中，Gpp（ω）為測點p響應(yīng)的自功率譜密度；Gpj（ω）為測點p和測點j響應(yīng)的互功率譜密度。

比較式（1）與式（2），可知傳遞率與頻響函數(shù)的H1估計非常相似［10］，對傳遞率作傅里葉逆變換后，就可進行模態(tài)參數(shù)識別。一般情況下，應(yīng)選取響應(yīng)較大的測點為參考點，計算其他測點與該參考測點的傳遞率。

式（2）中，傳遞率以參考點p的自功率譜密度Gpp（ω）作為分母，當(dāng)參考點p的特征頻率ωr（r＝1，2，…，N，系統(tǒng)共有N階固有頻率）的能量越大時，自譜Gpp（ωr）的值也越大，而1/Gpp（ωr）的值越小，相對應(yīng)的aj（ωr）減小，即此處的大能量信號削弱。同理，特征頻率ωr的能量越小，aj（ωr）越大，即小能量信號更加突出。例如，兩正弦信號x1和x2，取 采 樣 點 數(shù) 4096，采 樣 率 160Hz，x1＝100sin（40πt）＋0.1sin（60πt），x2＝ 80sin（40πt）＋sin（60πt），顯然，信號x1和x2各自的2階特征能量均相差懸殊，選信號x1作為參考，計算得到的信號x1和x2的互譜密度如圖1所示。信號x1和x2的傳遞率的幅頻特性如圖2所示。

圖1 信號x1和x2的互譜密度

圖2 信號x1和x2的傳遞率幅頻特性

由圖1、圖2可知，信號間的相關(guān)函數(shù)導(dǎo)致30Hz的小能量特征被削弱，難以辨識；而信號間的傳遞率計算導(dǎo)致的20Hz的大能量特征相互抵消，同時使得30Hz的弱小特征更加突出。因而，傳遞率法對弱小模態(tài)特征的辨識具有很大的優(yōu)勢。

1.2 聯(lián)合方法模態(tài)辨識原理

本文提出的聯(lián)合相關(guān)函數(shù)和傳遞率的小波模態(tài)辨識方法（簡稱聯(lián)合方法）的實現(xiàn)步驟如下：

（1）選擇參考點。每次分析，選擇一個輸出作為參考后，再取一個輸出，如（2）～（4）采用選定的兩組輸出信號進行系統(tǒng)模態(tài)辨識。

（2）計算相關(guān)函數(shù)和傳遞率。對大能量響應(yīng)模態(tài)的辨識先計算相關(guān)函數(shù)，對弱響應(yīng)模態(tài)的辨識則先計算傳遞率，使其更加突出后再用傅里葉逆變換求出傳遞率對應(yīng)的時域信號。

（3）連續(xù)小波變換。針對數(shù)據(jù)短樣本、大噪聲、密頻的特點，對相關(guān)函數(shù)和傳遞率對應(yīng)的時域信號分別進行連續(xù)小波變換。

（4）模態(tài)參數(shù)辨識。根據(jù)小波系數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系［11］，對用小波系數(shù)脊提取法分離出的單一頻率信號，通過小波骨架包絡(luò)線的自然對數(shù)的斜率和小波骨架相位的斜率，識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

（5）統(tǒng)計結(jié)果。重復(fù)（1）～（4），對所得模態(tài)辨識結(jié)果進行統(tǒng)計，得到完整的系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果。

聯(lián)合方法模態(tài)辨識思路如圖3所示。

圖3 聯(lián)合方法模態(tài)辨識流程圖

2 仿真實驗

為了驗證聯(lián)合方法的有效性，采用GARTEUR飛機模型數(shù)據(jù)建立隨機激勵的數(shù)值仿真模型。GARTEUR飛機模型是歐洲航空科技研究集團于20世紀(jì)90年代設(shè)計的具有真實飛機高柔度密集模態(tài)的飛機模型，該模型真實地模擬了實際飛機的動態(tài)特性［12］，第3～5階為密集模態(tài)，頻率依次為33.01Hz、33.66Hz和35.14Hz，阻尼比均為1%。

GARTEUR模型在運行狀態(tài)下，信號采樣率為256Hz，采樣點數(shù)為15360，共7個通道，其中通道2～7為不同測點的輸出。各輸出通道響應(yīng)信號0～40Hz的傅里葉譜如圖4所示。由圖4可知，系統(tǒng)的第1階特征的能量極大。圖5所示為輸出通道6的15～40Hz的響應(yīng)信號傅里葉譜。由圖5可知，第2階及30～40Hz的3階密集特征的能量極小、淹沒在噪聲中。因此，系統(tǒng)各階特征的能量相差懸殊，要得到完整而精確的辨識結(jié)果有較大的難度。

圖4 各輸出通道響應(yīng)信號的傅里葉譜（0～40Hz）

圖5 通道6響應(yīng)信號的傅里葉譜（15～40Hz）

下面將通道2作為參考，以通道6為例，具體說明本文提出的聯(lián)合方法的模態(tài)辨識過程。首先，分別計算通道2和通道6間的互相關(guān)和傳遞率?；ハ嚓P(guān)的傅里葉譜即互譜如圖6所示，從其上僅能觀察到能量極大的第1階特征。而在圖7所示的傳遞率幅頻特性中，第1階的大能量特征相互抵消，同時，第2階及第3～5階弱小特征都得到清晰地展現(xiàn)，使得此4階模態(tài)易于辨識。顯然，對于具有弱小特征的系統(tǒng)響應(yīng)，使用響應(yīng)信號的傳遞率，可增強信號，保證其可辨識性。

圖6 通道2和通道6間的互譜

圖7 通道2和通道6間傳遞率的幅頻特性

其次，對互相關(guān)和傳遞率傅里葉逆變換信號分別進行連續(xù)小波變換，連續(xù)小波變換后的小波時頻圖及小波骨架如圖8、圖9所示。

圖8 互相關(guān)的時頻圖及小波骨架

圖9 傳遞率傅里葉逆變換信號的時頻圖及小波骨架

然后，由小波系數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。圖10所示為第1階特征至第4階弱小特征的小波模態(tài)識別的小波系數(shù)幅值擬合圖和相位擬合圖。

圖10 GARTEUR模型的5階模態(tài)識別的小波系數(shù)幅值擬合圖和相位擬合圖

為了對本文方法的仿真結(jié)果進行驗證，采用LMS國際公司推出的 MACEC（modal analysis on civil engineering construction）系統(tǒng)識別商業(yè)軟件［13］（3.1版本）進行識別，選擇多參考最小二乘復(fù)頻域法（pLSCF）的運行模態(tài)分析結(jié)果作為參考。pLSCF算法理論的總體思路與時域的最小二乘復(fù)指數(shù)法（LSCE）很相似，用于運行模態(tài)分析時，是以自譜、互譜矩陣為基礎(chǔ)的。分析過程中，pLSCF法的自譜、互譜采用相關(guān)圖法計算，即由相關(guān)函數(shù)間接求得，圖11a所示為以通道2為參考，與通道6間的互譜，第1階特征明顯且其余4階弱小特征無法觀察到，同本文計算的互譜圖6辨識效果一致；選擇GARTEUR數(shù)據(jù)的6個輸出通道為參考通道，相關(guān)函數(shù)計算時延為1024，最后計算的穩(wěn)態(tài)結(jié)果如圖11b所示，圖11c所示為穩(wěn)態(tài)圖的局部效果圖，從圖中可以更清楚地觀察30～40Hz間的3階密集模態(tài)識別結(jié)果，其中⊕表示頻率、阻尼和模態(tài)3種參數(shù)全部穩(wěn)定，辨識結(jié)果可靠。

圖11 基于最小二乘復(fù)頻域法（pLSCF）計算的互譜和穩(wěn)態(tài)圖

表1所示為聯(lián)合方法模態(tài)辨識統(tǒng)計結(jié)果與pLSCF法辨識結(jié)果對比。

由表1可知，PolyMax法在一般情況下的效果良好，但針對本文“響應(yīng)信號數(shù)據(jù)樣本較短、模態(tài)密集以及弱響應(yīng)信號淹沒在大噪聲中”的情況，此方法的識別效果并不令人滿意，因盡管其模態(tài)頻率辨識精度較高，但其阻尼比的辨識結(jié)果卻非常不理想。相比而言，本文提出的聯(lián)合方法盡管模態(tài)頻率辨識相對誤差要比PolyMax法稍大，但總體來說其模態(tài)頻率辨識精度還是較好的；另外，聯(lián)合方法不僅極大地提高了阻尼比的辨識精度，而且還明顯地改善了30～40Hz間的3階模態(tài)密集的弱響應(yīng)的模態(tài)識別效果。

表1 GARTEUR模型在兩種不同方法下的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

3 結(jié)論

（1）響應(yīng)信號間的相關(guān)函數(shù)會導(dǎo)致大能量信號的增強，但與此同時會導(dǎo)致小能量信號的削弱。因而，相關(guān)函數(shù)法模態(tài)參數(shù)識別適合于大能量信號的模態(tài)特征辨識，對弱響應(yīng)模態(tài)的辨識難以奏效。

（2）響應(yīng)信號間的傳遞率計算導(dǎo)致大能量信號相互抵消，同時使小能量信號更加突出。因而，傳遞率法模態(tài)參數(shù)識別無法辨識大能量信號的模態(tài)特征，但對密頻、噪聲淹沒情況下的弱響應(yīng)模態(tài)的辨識具有很大的優(yōu)勢。

（3）小波模態(tài)參數(shù)識別方法對短樣本、大噪聲、密頻數(shù)據(jù)的模態(tài)識別效果良好。

（4）基于傳遞率和相關(guān)函數(shù)的小波模態(tài)參數(shù)識別方法即聯(lián)合方法，僅通過輸出的響應(yīng)信號就可完整準(zhǔn)確地辨識出大噪聲下具有弱響應(yīng)、密集模態(tài)特征系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

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