關(guān)于MADM中屬性值規(guī)范化方法的探討

王桂芳，王應(yīng)明

（福州大學(xué) 公共管理學(xué)院，福州 350108）

0 引言

在多屬性決策問題中，多個(gè)屬性之間往往存在矛盾性和不可公度性。我們通常通過給不同的屬性賦予權(quán)重來解決屬性間的矛盾性；對(duì)于不可公度性，則需要對(duì)決策矩陣中的初始屬性值進(jìn)行規(guī)范化。屬性值的規(guī)范化的作用主要有三：一是單調(diào)化，使決策矩陣中各個(gè)性能越優(yōu)的方案變換后屬性值越大；二是非量綱化，排除量綱選用對(duì)決策或評(píng)價(jià)結(jié)果的影響，僅用數(shù)值的大小來反映屬性值的優(yōu)劣；三是歸一化，即把決策矩陣中的數(shù)據(jù)變換到[0,1]區(qū)間上[1]。

多屬性決策的求解主要涉及屬性值的規(guī)范化、屬性權(quán)重的確定，方案的綜合評(píng)價(jià)三個(gè)方面。本文主要探討的是屬性的規(guī)范化。在以往的研究中，相對(duì)于屬性權(quán)重的確定，規(guī)范化過程對(duì)多屬性決策結(jié)果的影響往往被低估了。本文將從四個(gè)方面探討規(guī)范化過程對(duì)決策結(jié)果的影響以及進(jìn)一步研究需要解決的問題，并將給出一種基于對(duì)數(shù)函數(shù)的規(guī)范化方法。

1 MADM的求解模型

設(shè)MADM問題的方案集為A={A1，A2，A3…An}，屬性集為 G={G1,G2,G3,..Gm}，W={w1,w2,w3…wm}為屬性的權(quán)重向量，其中方案Ai對(duì)應(yīng)屬性Gj的屬性值為Xij（i=1,2,…n;j=1,2,…m），屬性矩陣為X=(Xij)n×m。屬性矩陣經(jīng)過規(guī)范化后得到規(guī)范化矩陣R=(rij)m×n,進(jìn)而通過一定的集結(jié)方法對(duì)規(guī)范化矩陣處理后，可以得到方案Ai的綜合屬性值Zi。綜合屬性值Zi越大，則對(duì)應(yīng)的方案Ai越優(yōu)。本文意在探討規(guī)范化方法對(duì)決策結(jié)果的影響，故為了簡(jiǎn)化計(jì)算，所有算例中對(duì)方案綜合評(píng)價(jià)的方法選用簡(jiǎn)單且常用的WAA算子，即同時(shí)不考慮權(quán)重對(duì)決策結(jié)果的影響，故使各屬性的權(quán)重相等，所以方案Ai的綜合屬性值等價(jià)為

2 常用的屬性值規(guī)范化方法

文獻(xiàn)[2]總結(jié)了目前已有的規(guī)范化方法，其中被普遍接受和最常用的為三種，分別為極差變換法、線性變換法和向量變換法。

（1）極差變換法

經(jīng)極差變換法變換后各屬性具有相同的度量區(qū)間，即[0,1]，且最優(yōu)的屬性值均為1，最劣的屬性值均為0。

（2）線性變換法

線性變換法可使變換前后的屬性值成比例。為保證各屬性有相同的基點(diǎn)，必須①、③式同用，②、④式同用，則變換后的最優(yōu)值為1，最劣質(zhì)為0不能同時(shí)滿足。

（3）向量變換法

向量變換法使變換前后的屬性值成比例，但不能產(chǎn)生相同的度量尺度，變換后各屬性最大值一般不為1且不等，最小值一般不為0且不等。

3 規(guī)范化方法對(duì)決策結(jié)果的影響

3.1 不同規(guī)范化方法使同一種綜合評(píng)價(jià)方法的決策結(jié)果不同

同一種綜合評(píng)價(jià)方法，運(yùn)用不同的規(guī)范化方法得到的結(jié)果可能不同。我們認(rèn)為不同的綜合評(píng)價(jià)方法得到不同的決策結(jié)果是可以理解的，但同一種綜合評(píng)價(jià)方法得到不同的結(jié)果是不合理的。表1和表2給出了SWW算子下，運(yùn)用不同的規(guī)范化方法得到不同決策結(jié)果的例子[3]，其中四個(gè)屬性均為效益型。

表1 初始矩陣和極差變換法決策過程

表2 線性變換法和向量變換法決策過程

顯然，極差變換法得到的方案排序?yàn)?A1、A3、A2、A4、A5，而線性變換法為A1、A2、A3、A4、A5，向量變換法為A5、A3、A2、A1、A4。

3.2 規(guī)范化過程使運(yùn)用不同李克特量表的MADM問題得到的結(jié)果不同

對(duì)于定性屬性，取用不同的李克特量表（Likert scale）規(guī)范化后，決策結(jié)果可能不同。表3和表4可以說明這一影響，其中G1、G2為用李克特量表表示的定性屬性，且三個(gè)屬性均為效益型。

表3 李克特量表取值1-5的線性變換法決策過程

表4 李克特量表取值1-9的線性變換法決策過程

顯然，運(yùn)用取值為1-5的李克特量表時(shí)，方案的排列順序?yàn)锳3（A4）、A2、A1，而運(yùn)用取值為1～9的李克特量表時(shí)，方案排序?yàn)锳2、A3（A4）、A1。

3.3 規(guī)范化使屬性從不同角度描述后得到的決策結(jié)果不同

對(duì)于同一屬性，從不同角度（效益或成本）描述時(shí)，規(guī)范化后得到的決策結(jié)果有時(shí)卻是不同的。如對(duì)機(jī)器的性能進(jìn)行描述時(shí)，我們可以說它生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率越高越好，也可以說不合格率越低越好，如表5、表6所示。

表5 G2用合格率描述時(shí)，線性變換法和向量變換法的決策過程

表6 G2用不合格率描述時(shí)，線性變換法和向量變換法的決策過程

可見G2從合格率的角度進(jìn)行描述時(shí)，線性變換法和向量變換法得到的方案排序結(jié)果都是A2、A1、A3。當(dāng)G2從合格率的角度進(jìn)行描述時(shí)，排序結(jié)果卻是A3、A2、A1。

3.4 規(guī)范化使增加或刪除方案后原方案的相對(duì)次序改變

當(dāng)增加或刪除某些方案后，規(guī)范化和綜合評(píng)價(jià)方法不變，得到的結(jié)果卻使原方案的相對(duì)排列次序發(fā)生變化。下面的表7是將表1中的方案集中刪除A4、A5后得到的決策結(jié)果。

表7 刪除表1中A4、A5后線性變換法的決策過程

在表1 中，A1、A2、A3線性變換法的相對(duì)排列順序?yàn)锳1、A2、A3，而刪除 A4、A5后的排列順序?yàn)?A3、A2、A1。可以驗(yàn)證極差變換法和向量變換法存在同樣的問題。

4 對(duì)規(guī)范化方法的相關(guān)探討

三種常用規(guī)范化方法都帶有直線型變化規(guī)律的假設(shè)，其實(shí)質(zhì)是假定被評(píng)價(jià)對(duì)象的屬性值在不同水平變化時(shí)對(duì)綜合水平的影響是一樣的。事實(shí)上，被評(píng)價(jià)對(duì)象會(huì)有各種各樣的屬性，這些屬性從不同側(cè)面反映被評(píng)價(jià)對(duì)象的不同特征，而這些特征往往具有非線性變化規(guī)律。文獻(xiàn)[8]提出一種基于獎(jiǎng)優(yōu)罰劣原則的規(guī)范化方法，這種方法使屬性值越接近平均值時(shí)規(guī)范化后的值變化速率越快，但它沒有指出這種方法適用的屬性種類。文獻(xiàn)[9]認(rèn)為當(dāng)屬性值越接近理想值時(shí)規(guī)范化后的值變化速率應(yīng)該越快，提出一種基于指數(shù)函數(shù)的規(guī)范化方法。文獻(xiàn)[10]基于與文獻(xiàn)[9]同樣的觀點(diǎn)提出一種基于k階拋物線的規(guī)范化方法。

本文從規(guī)范化的本意出發(fā)，認(rèn)為規(guī)范化方法對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生不合理影響的根本原因是，屬性值規(guī)范化后不能真實(shí)反映其對(duì)方案綜合評(píng)價(jià)目標(biāo)的相對(duì)影響。目前規(guī)范化方法的研究還存在不足，這也是以后的研究中要解決的問題，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

一是對(duì)規(guī)范化值的變化規(guī)律的探索是不全面的。當(dāng)對(duì)方案的綜合評(píng)價(jià)為定性評(píng)價(jià)，而屬性值為定量數(shù)值時(shí)，根據(jù)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際效用遞減規(guī)律，屬性值經(jīng)規(guī)范化后的值越大其變化速率應(yīng)該越小。例如，隨著工資水平的不斷提高，相同幅度的工資增長(zhǎng)給職工帶來的滿意效用是遞減的。目前的研究還沒有涉及這方面。

二是以往的研究都假定在同一個(gè)問題中，所有屬性對(duì)應(yīng)規(guī)范化后的值的變化規(guī)律是一樣的。規(guī)范化的實(shí)質(zhì)是用同一標(biāo)準(zhǔn)去衡量所有屬性值對(duì)評(píng)價(jià)目標(biāo)的相對(duì)影響。規(guī)范化后的值應(yīng)盡量反應(yīng)客觀真實(shí)，而不是純粹數(shù)據(jù)處理以得到便于比較的數(shù)據(jù)形式。以往的研究要么把所有的規(guī)范化方法看成是等效的，要么以綜合評(píng)價(jià)方法為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)同一問題中所有的屬性采取統(tǒng)一的規(guī)范化方法。顯然這是不合理的，因?yàn)橐环N規(guī)范化方法只能反應(yīng)一種屬性規(guī)范化值的變化規(guī)律，而多種屬性的規(guī)范化值的變化規(guī)律往往是不同的。本文認(rèn)為規(guī)范化方法的選取不應(yīng)以綜合評(píng)價(jià)方法為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)以屬性為標(biāo)準(zhǔn)，為每個(gè)屬性確定特定的規(guī)范化方法。

5 一種新的基于對(duì)數(shù)函數(shù)的規(guī)范化方法

基于上述規(guī)范化方法研究尚且存在的不足，本文嘗試給出一種能體現(xiàn)邊際效用遞減規(guī)律的規(guī)范化方法，即規(guī)范化后的值越大，其變化速率越小。這種方法是基于對(duì)數(shù)函數(shù)的，我們稱其為對(duì)數(shù)變換法。

對(duì)數(shù)變換法是在類似線性變換法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過兩步對(duì)初始屬性矩陣X=(Xij)n×m完成規(guī)范化。第一步是先對(duì)初始屬性矩陣進(jìn)行線性化變換得到過渡矩陣B=（bij）n×m,其中bij≥1；第二步則是以為底，對(duì)取對(duì)數(shù)，得到最終的規(guī)范化矩陣R=(rij)m×n，其中rij=logcj（bij），rij∈[0，1]。

下面分別給出對(duì)數(shù)變換法中效益型屬性和成本型屬性的變換公式：

對(duì)數(shù)變換法可以保證屬性值規(guī)范化后的值在0到1之間，且最大值都為1，最小值都為0。這種方法使各屬性的度量區(qū)間均為[0,1]，且能體現(xiàn)規(guī)范化值越大，變化速率越小的規(guī)律，適用于存在邊際效用遞減、邊際收益遞減或邊際報(bào)酬遞減等規(guī)律的屬性。

下面用實(shí)例來表述根據(jù)不同屬性的特性，使用不同的規(guī)范化方法對(duì)MADM問題求解的過程。如表5所示,被評(píng)價(jià)對(duì)象為A、B、C、D，經(jīng)分析，屬性G1的規(guī)范化適用本文提出的對(duì)數(shù)變換法，而G2、G3均適用文獻(xiàn)[10]中提出的方法（k取2），G4適用線性變換法。

表5 不同屬性使用不同的規(guī)范化方法的實(shí)例

6 總結(jié)

本文從四個(gè)方面探討了規(guī)范化方法對(duì)多屬性決策結(jié)果的影響，并指出目前研究存在的不足。顯然屬性規(guī)范化涉及的問題還很多，需要進(jìn)一步的研究來解釋和優(yōu)化，這需要結(jié)合與問題相關(guān)的多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域?qū)μ囟▽傩缘姆治鲅芯?。本文提出的?duì)數(shù)變換法豐富了多屬性決策中屬性值規(guī)范化的理論與方法。同時(shí)，希望本文能夠進(jìn)一步加深學(xué)術(shù)界對(duì)規(guī)范化方法研究的重視。

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