由一道題的錯解牽出對質點組動能的理解

金愛兵 董菲菲

（江蘇省盱眙中學，江蘇 淮安 211700； 江蘇盱眙縣馬壩初級中學，江蘇 淮安 211752）

質點組在不同參考系中的動能將會有不同的數值.而在高中物理中，利用系統動能定理或系統機械能守恒列方程時都要表示出質點組的動能.如果沒有把質心動能和質點組動能分清楚，學生在以質心為研究對象列方程可能會出現錯誤.本文根據學生對一道練習題的錯誤解答和修正來加深對質心動能和質點組動能的理解.

1 提出問題

例題.質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為m和2 m的小球A和B，不考慮小球的形狀.支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖1所示.開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，求小球A在下落過程中的最大速度？

解法1：以小球A、B和支架組成的系統機械能守恒，設連接B球的桿向左偏離豎直方向θ角，此時小球A的速度為v，有

圖1

由于單個小球機械能不守恒，系統機械能守恒，于是學生提出了創(chuàng)新解法，將兩個球看成是一個球集中在某一點，也就是運用質心的知識.

此時另一個學生提出，解法2中方程左邊用的是質心勢能的減少量，方程右邊應該用質心的動能增加量，然后根據質心和小球A都繞O點旋轉有相同角速度，找出質心的速度與小球A的速度關系，提出了另一種表達式.

解法3與解法1和解法2的結果不同，問題出在什么地方？

解法2和解法3方程的左邊都是質心勢能的減少量，方程的右邊卻不一樣，解法2是質點組的總動能，解法3是系統質心的動能，質點組的動能一定等于系統質心的動能嗎？

2 分析問題

設質點組中第i個質點在S和S′系中的速度分別為vi和vi′，S′系相對S系的平動速度為u，按照伽利略速度變換有vi＝vi′＋u.

質點在參照系S中的動能為Ek，則

u是S′系相對S系的速度，也就是質心在S系中的速度vc，

結論：質點組在某參照系中的動能等于質點組在質心系中的動能加上隨質心整體平動的動能.（表述1）

3 解決問題

將解法3重新修正：

以A球為例，如圖2所示，由數學知識得

圖2

當質心運動到O點正下方時，A球的速度vA＝v，垂直O(jiān)A，B球的速度，垂直O(jiān)B，質心的速度垂直O(jiān)C.將vA分解為v1沿AC方向和v2垂直AC方向，將vC分解為v3沿AC方向和v4垂直AC方向.

A、B兩球對O點的總動能為

解法3中的機械能守恒方程應更正為

4 拓展問題

將上述結論應用于兩個質點組成的質點系.

設兩質點相對于參考系S和平動質心參考系S′的速度分別為v1、v2、v1′、v2′，兩質點在參考系S 和平動質心參考系S′的相對速度相等為u，即

在質心參考系S′中，質點系的總動量為0，有

上述結論可表示為：兩個質點構成的質點組動能等于兩質點的相對動能加上質心平動的動能.（表述2）

上題可用表述2列方程：小球A和B的速度相互垂直，兩者的相對速度和相對動能為

機械能守恒方程為