四道高考推理題的兩種解法對(duì)比

羅振國(guó)

（福建省泉州市石獅第一中學(xué)，福建 泉州 362700）

近年來(lái)，新課程下的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一些創(chuàng)新推理試題，大部分考生對(duì)這些試題感到陌生難以下手，但是如果理解為“超綱”那就大錯(cuò)特錯(cuò)了.本文分別以?xún)煞N的解題方法針對(duì)性解析，來(lái)說(shuō)明物理思想方法的重要性.

有一些問(wèn)題你可能不會(huì)求解，但是你仍有可能對(duì)這些問(wèn)題的解是否合理進(jìn)行分析和判斷.例如從解的物理量單位，解隨某些已知量變化的趨勢(shì)，解在一種特殊條件下的結(jié)果等方面進(jìn)行分析，并與預(yù)期結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)論等進(jìn)行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

例1.（2008年北京卷第20題）如圖1所示.質(zhì)量M 為傾角為θ的滑塊A放于水平地面上，把質(zhì)量為m的滑塊B放在A的斜面上.忽略一切摩擦，有人求得B相對(duì)地面的加速度式中g(shù)為重力加速度.

圖1

對(duì)于上述解，某同學(xué)首先分析了等號(hào)右側(cè)量的單位，沒(méi)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.他進(jìn)一步利用特殊條件對(duì)該解做了如下4項(xiàng)分析和判斷，所得結(jié)論都是“解可能是對(duì)的”.但是，其中有一項(xiàng)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)你指出該項(xiàng).

（A）當(dāng)θ＝0°時(shí)，該解給出a＝0，這符合常識(shí)，說(shuō)明該解可能是對(duì)的.

（B）當(dāng)θ＝90°時(shí)，該解給出a＝g，這符合實(shí)驗(yàn)結(jié)論，說(shuō)明該解可能是對(duì)的.

（C）當(dāng)M?m時(shí)，該解給出a＝gsinθ，這符合預(yù)期的結(jié)果，說(shuō)明該解可能是對(duì)的.

解法1：（正規(guī)求解）

設(shè)M的加速度為aA，B相對(duì)于A速度為aB.

對(duì)于M受力分析如圖2所示，

圖2

圖3

對(duì)于m受力分析如圖3所示，

解法2：（技巧推理解法）

當(dāng)θ＝0°時(shí)，可以認(rèn)為滑塊B放在平面上，處于靜止?fàn)顟B(tài)，即a＝0，故（A）正確；當(dāng)θ＝90°時(shí)，可以認(rèn)為滑塊B放在豎直平面上下落，由于沒(méi)有擠壓，滑塊做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以a＝g也是符合實(shí)驗(yàn)結(jié)論，故（B）正確；當(dāng)M?m時(shí)，滑塊對(duì)斜面的力很小，可以認(rèn)為滑塊固定，轉(zhuǎn)化為滑塊在固定斜面上下滑，所以a＝gsinθ，這符合預(yù)期的結(jié)果，故（C）正確.當(dāng)m?M時(shí)，該解給出從上面的推理可以0≤a≤g，所以（D）選項(xiàng)不符合.故選（D）.

解題提示：解法1用到了慣性力的物理知識(shí)，在高中階段很多考生并不了解，更談不上解題方法了；但是對(duì)于解法2的極限推理卻是可以嘗試的.

例2.（2009年北京卷第20題）.圖4所示為一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面，其單位面積帶電荷量為σ.取環(huán)面中心O為原點(diǎn)，以垂直于環(huán)面的軸線(xiàn)為x軸.設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的的距離為x，P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E.下面給出E的4個(gè)表達(dá)式（式中k為靜電力常量），其中只有一個(gè)是合理的.你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E，但是你可以通過(guò)一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷.根據(jù)你的判斷，E的合理表達(dá)式應(yīng)為

圖4

解法1：（積分求解）

線(xiàn)積分：計(jì)算均勻帶電圓環(huán)線(xiàn)軸線(xiàn)上任一給定點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng).如圖5所示，該圓環(huán)半徑為R，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓環(huán)帶電荷量為q，P點(diǎn)與環(huán)心距離x.在環(huán)上任取線(xiàn)元dl，其電量為點(diǎn)與dq距離r，dq在P點(diǎn)所產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

圖5

方向如圖5所示.把場(chǎng)強(qiáng)分解為平行與環(huán)心軸的分量dE∥和垂直于環(huán)心軸的分量dE⊥，則由于對(duì)稱(chēng)性可知，垂直分量互相抵消，因而總的電場(chǎng)為平行分量總和：E＝∫dE∥＝∫dEcosθ，其中θ為dE與x軸的夾角.積分上式，有

面積分：計(jì)算均勻帶電圓環(huán)面上任一給定點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng).

如圖6所示，把圓環(huán)面分成許多半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)，其圓環(huán)的電荷量為

它在軸線(xiàn)x處的場(chǎng)強(qiáng)為

圖6

由于圓環(huán)面上所有的帶電的圓環(huán)在場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都沿同一方向，故帶電圓環(huán)面盤(pán)軸線(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)為

解法2：（技巧解題）

當(dāng)R1＝0時(shí)，對(duì)于（A）項(xiàng)而言E＝0，此時(shí)帶電圓環(huán)演變?yōu)閹щ妶A面，中心軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E＞0，故（A）項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)x＝0時(shí)，此時(shí)要求的場(chǎng)強(qiáng)為O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，由對(duì)稱(chēng)性可知EO＝0，對(duì)于（C）項(xiàng)而言，x＝0時(shí)E為一定值，故（C）項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)x→∞時(shí)E→0，而（D）項(xiàng)中E→4πκσ故（D）項(xiàng)錯(cuò)誤；所以正確選項(xiàng)只能為（B）.

解題提示：解法1用到了線(xiàn)積分和面積分等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，在高中階段很多考生并不了解，更談不上解題方法了；但是對(duì)解法2的技巧推理，由極大值和極小值的推理轉(zhuǎn)化為平時(shí)常見(jiàn)的模型卻是可取的，而且符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

例題3.（2010年福建卷第18題）物理學(xué)中有些問(wèn)題的結(jié)論不一定必須通過(guò)計(jì)算才能驗(yàn)證，有時(shí)只需要通過(guò)一定的分析就可以判斷結(jié)論是否正確.如圖7所示為兩個(gè)彼此平行且共軸的半徑分別為R1和R2的圓環(huán)，兩圓環(huán)上的電荷量均為q（q＞0），而且電荷均勻分布.兩圓環(huán)的圓心O1和O2相距為2a，聯(lián)線(xiàn)的中點(diǎn)為O，軸線(xiàn)上的A點(diǎn)在O點(diǎn)右側(cè)與O點(diǎn)相距為r（r＜a）.是分析判斷下列關(guān)于A點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度大小E的表達(dá)式（式中k為靜電力常量）正確的是

圖7

解法1：（正規(guī)求解）

由例題2中的帶電圓環(huán)在軸線(xiàn)上x(chóng)處的電場(chǎng)強(qiáng)度公式

可得R1圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

同理，R2圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

所以合場(chǎng)強(qiáng)大小為

解法2：（技巧解題）

當(dāng)r＝0時(shí)，點(diǎn)位于圓心O處，可以把O1、O2兩個(gè)帶電圓環(huán)均等效成兩個(gè)位于圓心處的點(diǎn)電荷，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加容易知道，此時(shí)總場(chǎng)強(qiáng)E＝0，將r＝0代入各選項(xiàng)，排除（A）、（B）選項(xiàng)；當(dāng)r＝a時(shí)，A 點(diǎn)位于圓心O2處，帶電圓環(huán)O2由于對(duì)稱(chēng)性在A點(diǎn)的電場(chǎng)為0，根據(jù)微元法可以求得此時(shí)的總場(chǎng)強(qiáng)為將r＝a代入（C）、（D）選項(xiàng)就可以排除（C）選項(xiàng).

解題提示：本題利用等效法、特殊值法和微元法綜合分析比較方便.

例4.（2011年福建卷第18題）如圖8，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)滑輪后，兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A和B.若滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與繩滑輪有一定大小，質(zhì)量為m且分布均勻，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪與軸之間的磨擦.設(shè)細(xì)繩對(duì)A和B的拉力大小分別為T(mén)1和T2，已知下列4個(gè)關(guān)于T1的表達(dá)式中有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的物理知識(shí)，通過(guò)一定的分析判斷正確的表達(dá)式是

圖8

解法1：（正規(guī)求解）

如圖9，設(shè) m1＞m2，則 A向下加速運(yùn)動(dòng)，B向上加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小相同，設(shè)為a.

根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)m1有

對(duì)m2有

圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受合力矩的代數(shù)和等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與角加速度β的乘積，即

圖9

所以正確選項(xiàng)為（C）.

解法2：（技巧解題）

令m＝0，則可以轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的連接體模型，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)m1有

解題提示：解法1需要用到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，這在競(jìng)賽中才有出現(xiàn)，用此法解題對(duì)考生要求過(guò)高；而解法2通過(guò)用假設(shè)法、特殊值法等，將一個(gè)比較復(fù)雜的、新情景下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成考生熟悉的物理問(wèn)題，建立物理模型（連結(jié)體模型），用定性的分析和定量的運(yùn)算來(lái)考查考生對(duì)物理思想和方法的應(yīng)用.

通過(guò)上面4道習(xí)題的解析，我們發(fā)現(xiàn)正規(guī)解題的方法需要用到一些超出高中階段要求的知識(shí)，這顯然不是高考命題者的本意.高考是為了甄別、選拔真正具有物理思想方法和能力水平的考生，命題者希望考生通過(guò)已學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行合理的推理，將一個(gè)比較復(fù)雜的、新情景下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成考生自己熟悉的物理問(wèn)題，建立物理模型，用定性的分析和定量的運(yùn)算來(lái)考查考生對(duì)物理思想和方法的應(yīng)用.