一切從定義出發(fā)，再談勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度方向的變化率

王愛(ài)華

（江蘇省東海中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 東海 222300）

最近筆者閱讀了本刊2011年第8期沈老師撰寫的《關(guān)于向心加速度的物理意義及什么是描述速度方向變化快慢的物理量的思考》一文，發(fā)現(xiàn)許多看似簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題，都不能貿(mào)然做出結(jié)論.順著沈老師文章的指引，筆者又拜讀了本刊2011年第2期湯老師和龔老師的兩篇文章.正如沈老師所言，二者的結(jié)論截然相反.

縱觀3篇文章，湯老師認(rèn)為在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度不能反映速度方向變化的快慢，龔老師認(rèn)為向心加速度可以反映速度方向變化的快慢，而角速度不可以；沈老師認(rèn)為向心加速度不如角速度來(lái)得更準(zhǔn)確.

誰(shuí)都有些道理，誰(shuí)的道理又都不是那么強(qiáng)而有力.

研讀了這3篇文章，它們的共同點(diǎn)就是忽略了物理量的矢量特性.有的是把矢量與標(biāo)量混同（例如角速度ω與角速度的大小ω，前者是矢量，后者是標(biāo)量.在使用時(shí)，3位教師都沒(méi)有加以區(qū)別）；有的是沒(méi)有用科學(xué)的方法來(lái)表示矢量的方向（例如沈老師在二維笛卡爾坐標(biāo)系里，用速度與橫軸之間的夾角φ來(lái)表示速度方向，然而表示方向的量，本身卻是標(biāo)量）.

看來(lái)要把問(wèn)題說(shuō)得明白，只有從各物理量的定義出發(fā)，用矢量分析的方法才能弄清楚各物理量間的關(guān)系.

物理量分為標(biāo)量和矢量，標(biāo)量是只有大小沒(méi)有方向的物理量，而矢量是既有大小又有方向的物理量.標(biāo)量的變化量同樣是標(biāo)量，是沒(méi)有方向的；標(biāo)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為標(biāo)量的變化率，同樣沒(méi)有方向，也是標(biāo)量，其絕對(duì)值表示標(biāo)量的變化快慢.矢量的變化量仍然是矢量，是有方向的，從前一個(gè)矢量的箭頭指向后一個(gè)矢量的箭頭（符合矢量三角形法則）；矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為矢量的變化率，也是矢量，它的方向?yàn)樵噶渴付饲€的切線方向，且指向?qū)?yīng)t值增大的方向.矢量變化率的模是標(biāo)量，沒(méi)有方向，例如位移矢量的變化率是速度矢量，而速度的大小稱為速率，則是標(biāo)量，只有大小，沒(méi)有方向.

圖1

在圓周運(yùn)動(dòng)中（如圖1），位移矢量可以表示為

r＝Rn（R 為常量，n為徑向單位矢量函數(shù)）.

位移矢量的變化率（速度）為

v是標(biāo)量函數(shù)，τ是切向單位矢量函數(shù).

速度變化率（加速度）為

其中切向加速度為

徑向加速度（向心加速度）為

如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有切向加速度為

徑向加速度（向心加速度）為

an＝是恒定標(biāo)量，表示速度變化的快慢，量綱為［LT－2］，n為單位徑向單位矢量函數(shù).

在圓周運(yùn)動(dòng)中，角位移可以表示為

θ＝θk.（θ為標(biāo)量函數(shù)，k為z軸單位矢量）

角位移矢量的變化率（角速度）為

ω是一個(gè)方向恒定的矢函數(shù).

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，則有角速度ω＝ωk，是一個(gè)恒定的矢量，角速度的大?。ㄒ卜Q角頻率）ω是恒定標(biāo)量，量綱為［T－1］.

在圓周運(yùn)動(dòng)中，速度的方向?yàn)棣樱ㄇ芯€方向單位矢量函數(shù)），其變化率為

ω就是是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小，是一個(gè)恒定的標(biāo)量，可以表示勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度方向變化的快慢，量綱為［T－1］，n表示徑向單位矢量函數(shù).

綜上所述，在物體在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度變化率就是向心加速度，其大?。ㄒ嗉此俣茸兓目炻楹愣?biāo)量，量綱為［LT－2］，方向?yàn)椋璶（n為徑向單位矢量函數(shù)）.速度方向的變化率沒(méi)有專門物理量與之對(duì)應(yīng)，其大?。ㄒ嗉此俣确较蜃兓炻楹愣?biāo)量ω（角速度的大?。烤V為［T－1］，方向?yàn)椋璶（n為徑向單位矢量函數(shù)）.

原來(lái)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，速度方向的變化率ω2R（與速度變化率方向相同，量綱不同）的方向與向心加速度相同，都指向圓心，大?。ㄒ嗉此俣确较蜃兓目炻﹨s與角速度大小ω有關(guān).這個(gè)左右都沾邊的物理量，在物理學(xué)中沒(méi)有專門名稱（說(shuō)它是向心加速度，量綱不同；說(shuō)它是角速度，方向又不同），也沒(méi)有專門的動(dòng)力學(xué)量與之對(duì)應(yīng)（例如，向心加速度有向心力與之對(duì)應(yīng)）.正如沈老師所言，它是一個(gè)無(wú)實(shí)際價(jià)值的物理量，在一般的教學(xué)中，我們要盡量回避它.在避不開(kāi)時(shí)，我們又必須依據(jù)它的定義，沿著數(shù)學(xué)推導(dǎo)的路徑，徹底地弄清它.如果一味回避，或者從一些想當(dāng)然的結(jié)論出發(fā)，必然會(huì)使許多概念都含混不清.

1 湯家合.對(duì)向心加速度物理意義的探討.物理教師（教學(xué)研究版），2011（2）.

2 龔勁濤，魏標(biāo).加速度能表示速度方向變化快慢嗎？物理教師（教學(xué)研究版），2011（2）.

3 沈瑞清.關(guān)于向心加速度的物理意義及什么是描述速度方向變化快慢的物理量的思考.物理教師（教學(xué)研究版），2011（8）.