U－I圖像中交點(diǎn)意義的解釋

杭慶祥

（江寧高級(jí)中學(xué)，江蘇 南京 211100）

在研究恒定電流電路時(shí)，U－I圖像既是電流與電壓變化關(guān)系一種形象直觀的表達(dá)方式，更可以成為我們研究、解決問題的方法和手段，特別對(duì)一些非線性變化的問題（如本文的問題2），利用圖像及其交點(diǎn)的意義是解決問題的唯一方法，但對(duì)交點(diǎn)意義的詮釋仿佛有著只能意會(huì)，難以言傳的困難，是教學(xué)一大難點(diǎn).本文努力對(duì)U－I圖像中交點(diǎn)意義做出解釋.

1 “舍近求遠(yuǎn)”的做法及其原因

例1.如圖1所示的U－I圖像中，直線I為某電源的路端電壓與電流的關(guān)系，直線Ⅱ?yàn)槟骋浑娮鑂的伏安特性曲線，用該電源直接與電阻R連接成閉合電路，電源的輸出功率為多少？

解法1：絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)這樣求解.

由曲線Ⅰ得電源電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻分別為E＝3.0V，r＝1.5Ω.由曲線Ⅱ得R＝1.5Ω.當(dāng)電阻R接在電源兩端時(shí)，由歐姆定律，可求得U＝1.5V，I＝1.0A.則電源的輸出功率為P＝UI＝1.5W.

解法2：少數(shù)學(xué)生會(huì)直接從圖上讀出R兩端的電壓和通過的電流U＝1.5V，I＝1.0A.電源的輸出功率為P＝UI＝1.5W.

當(dāng)我們直接用第2種解法時(shí)，學(xué)生都會(huì)問：當(dāng)電阻R接在電源兩端時(shí)，為什么它兩端的電壓和通過的電流剛好是圖中交點(diǎn)坐標(biāo)值？是一種巧合，還是一種必然？有時(shí)，老師也很茫然.

實(shí)際上，交點(diǎn)的意義我們可以這樣解釋：

曲線Ⅰ表示電源的路端電壓U隨電流I變化的關(guān)系，即 U＝E－Ir. （1）

曲線Ⅱ表示電阻R兩端電壓U′隨電流I′變化的關(guān)系，即 U′＝I′R. （2）

當(dāng)把R接在電源兩端時(shí)，U和U′，I和I′是同一的，那么，什么樣的電壓和電流既符合函數(shù)關(guān)系（1），又符合函數(shù)關(guān)系（2）？

在數(shù)學(xué)上就是聯(lián)解方程組：

學(xué)生也知道這個(gè)方程組的解就是圖像中兩條曲線的交點(diǎn).

所以，第1種解法實(shí)際上是求方程組解的過程細(xì)分，而絕非“舍近求遠(yuǎn)”.它物理圖景明晰，邏輯思維清楚，是一種本源的做法，在我們進(jìn)行基礎(chǔ)年級(jí)的教學(xué)時(shí)，首先應(yīng)幫助學(xué)生建立這樣一種明晰的物理圖景和思考順序，萬萬不可因?qū)W生解法不是最簡(jiǎn)潔而求全責(zé)備，而第2種解法必定要經(jīng)過第1種解法完全相同的思考，是在第1種方法基礎(chǔ)上的抽象.

圖1

2 循序漸進(jìn) 能力提升

在學(xué)生有了上面問題解決的基礎(chǔ)之后，我們?cè)龠M(jìn)行下面的練習(xí)，鞏固并深化學(xué)生對(duì)U－I圖像交點(diǎn)意義的認(rèn)識(shí).

例2.如圖2所示，圖甲為某學(xué)生測(cè)繪額定電壓為2.5V小燈泡的I－U圖線實(shí)驗(yàn)電路圖，圖乙為小燈泡的I－U圖線，把小燈泡連接在電動(dòng)勢(shì)為3V，內(nèi)阻為10Ω電源兩端，小燈泡消耗的功率為多少？

圖2

首先，由圖像乙可知，小燈泡的電阻是隨電流或電壓的變化而變化的，且電流和電壓的函數(shù)表達(dá)式不知，因此不能夠用上文中的第1種方法列方程求解，那么，如何求得小燈泡的電流和電壓？

其次，要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖像也是一種表示變化規(guī)律的方式，也即圖乙給出了小燈泡電流隨電壓變化的關(guān)系.

第三，給定電源的路端電壓隨電流的變化關(guān)系為U＝E－Ir，要求學(xué)生在圖丙中畫出此函數(shù)的圖像.

第四，小燈泡接在電源兩端時(shí)，小燈泡兩端電壓和電源路端電壓、通過小燈泡的電流和通過電源電流是相同的，是U－I圖像上的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn).

第五，問小燈泡接在電源兩端時(shí)，滿足兩個(gè)變化關(guān)系的電壓和電流的點(diǎn)在哪？

問題迎刃而解.特別要指出的是，有些教師在沒有進(jìn)行本文例1的討論時(shí)，就進(jìn)行例2的教學(xué)，不光是教學(xué)上的囫圇吞棗，更是對(duì)U－I圖像交點(diǎn)數(shù)學(xué)、物理意義的不理解.同時(shí)，在解釋U－I圖像交點(diǎn)物理意義時(shí)，借助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)方程的認(rèn)識(shí)及對(duì)應(yīng)圖像交點(diǎn)意義是問題的關(guān)鍵，局限在原地思考是此問題百思不得其解的原因.