永磁球形電機(jī)定子繞組的永磁體模型及磁場(chǎng)分析

李 斌，劉 超，李洪鳳，李桂丹

(天津大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津300072)

傳統(tǒng)的多自由度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)利用多臺(tái)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，存在體積大、有齒輪間隙和機(jī)械奇點(diǎn)等問(wèn)題．球形電機(jī)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子 3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，在機(jī)器人、納米工作平臺(tái)等高精度控制系統(tǒng)中具有廣泛的應(yīng)用前景，而永磁球形電機(jī)還具有體積較小、轉(zhuǎn)矩密度較高等特點(diǎn)，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注[1-3]．

在永磁球形電機(jī)中，定子繞組一般采用圓柱形多層空心線圈，可以利用洛倫茲力法進(jìn)行磁力分析，進(jìn)而獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)矩特性[4-5]．然而，這需要對(duì)電流密度和磁通密度的矢量積在整個(gè)定子繞組體內(nèi)進(jìn)行體積分運(yùn)算．和洛倫茲力法相比，張量法只需要進(jìn)行面積分計(jì)算，計(jì)算量較小且結(jié)果較為準(zhǔn)確[6-8]．由于永磁球形電機(jī)的定子繞組無(wú)鐵心，磁路不飽和，空間磁場(chǎng)是轉(zhuǎn)子永磁磁極和定子繞組產(chǎn)生磁場(chǎng)的疊加，因此在張量法中，定子繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)不能忽略．

為了獲得定子繞組磁場(chǎng)的空間分布，可以直接利用比奧-薩法爾定理[9]，這種方法同樣需要進(jìn)行多重積分運(yùn)算，計(jì)算量較大．文獻(xiàn)[10]將多層線圈等效為單層線圈以提高分析速度，這種方法在定子繞組層數(shù)較多時(shí)誤差較大．本文在永磁體電流模型基礎(chǔ)上，將定子繞組等效為圓柱形永磁體，間接獲得定子繞組的磁場(chǎng)．這種方法的關(guān)鍵在于提高永磁體磁場(chǎng)分析的快速性和準(zhǔn)確性．

現(xiàn)有的磁場(chǎng)分析方法主要包括解析法[11]、有限元法[12]．與它們相比，等效磁網(wǎng)絡(luò)(magnetic equivalent circuit，MEC)法具有較高的分析精度、較小的計(jì)算負(fù)荷，逐漸成為電機(jī)分析和設(shè)計(jì)的有利工具[13-14]．筆者在多層繞組的等效永磁體模型基礎(chǔ)上，根據(jù)磁場(chǎng)分布特點(diǎn)，將磁路進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將不同磁場(chǎng)邊界條件表達(dá)為磁阻單元對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)或支路的狀態(tài)，最終建立了永磁球形電機(jī)定子繞組的 MEC模型，再利用平均磁能法求得了繞組磁通密度在空間的分布．通過(guò)與有限元方法對(duì)比，證明利用 MEC法具有較高的計(jì)算精度．

1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)及運(yùn)行原理

圖 1為永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)示意．在球形轉(zhuǎn)子沿赤道兩側(cè)均勻粘貼永磁體，永磁體內(nèi)側(cè)為轉(zhuǎn)子鐵軛.每塊永磁體為球面錐體結(jié)構(gòu)，永磁體采用平行充磁方式，充磁方向?yàn)橛来朋w中心的法線方向，NS極交替排列．三層定子繞組沿不同緯度固定在定子上，可獨(dú)立控制每個(gè)繞組的通斷電．當(dāng)同一緯度的繞組通電時(shí)，在電磁轉(zhuǎn)矩的作用下轉(zhuǎn)子球繞軸作自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)同一經(jīng)度的繞組通電時(shí)，轉(zhuǎn)子作俯仰和偏航運(yùn)動(dòng)．因此通過(guò)改變定子繞組的通電策略，可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)的 3自由度運(yùn)動(dòng)．

圖1 永磁球形電機(jī)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structure of PM spherical motor

2 定子繞組的永磁體模型

永磁球形電機(jī)的定子繞組采用空心圓柱結(jié)構(gòu)，其剖面如圖 2(a)所示，磁場(chǎng)空間分布如圖 2(b)所示．定子繞組的電流密度可表示為

式中：ai和 ao分別為繞組內(nèi)、外徑；l為繞組高度；NI為繞組的安匝數(shù)．

圖2 定子繞組Fig.2 Stator coil

另一方面，永磁體磁化后的特性滿足

式中：B為磁通密度；H 為磁感應(yīng)強(qiáng)度；Mr為剩余磁化強(qiáng)度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率.

對(duì)式(3)左、右兩端取旋度，并考慮到永磁體內(nèi)無(wú)宏觀電流，則

根據(jù)麥克斯韋方程，式(4)右端具有電流密度的量綱，可用體電流密度來(lái)表示，即

式(5)建立了永磁體的體電流模型，用電流描述永磁體的勵(lì)磁作用[15]．顯然，若知道體電流分布，也可獲得等效的永磁體．

為了保證等效永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)空間分布與定子繞組一致，等效永磁體仍為圓柱形，其外徑和高度與繞組相同，沿 z軸方向磁化．磁化強(qiáng)度可表示為坐標(biāo)r的函數(shù)，其旋度可表示為

根據(jù)式(1)～式(6)，可得等效永磁體的磁化強(qiáng)度

由式(1)可得永磁體矯頑力 Hc和剩余磁化強(qiáng)度Mr,z的關(guān)系為

3 定子磁場(chǎng)的等效磁網(wǎng)絡(luò)法分析

3.1 等效磁網(wǎng)絡(luò)模型

由于定子繞組的磁場(chǎng)在空間呈對(duì)稱分布，則過(guò)等效永磁體中軸線作一切片，整個(gè)空間的磁場(chǎng)可由此切片的磁場(chǎng)擴(kuò)展得到．

設(shè)切片角度為αe，在柱坐標(biāo)系下沿z方向和r方向進(jìn)行網(wǎng)格剖分，則每一磁阻單元可用參數(shù) ri,in、ri,out、li和 αe表示，如圖 3(a)所示，其三維等效磁阻網(wǎng)絡(luò)如圖 3(b)所示．其中，3個(gè)方向的支路分別與磁場(chǎng)的3個(gè)分量Φr、Φz(mì)和Φθ對(duì)應(yīng)，u表示標(biāo)量磁勢(shì)，下標(biāo)為各節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)，其中e為單元的中心節(jié)點(diǎn)，R和F分別表示磁阻、磁動(dòng)勢(shì)，其下標(biāo)表示相應(yīng)支路．每個(gè)磁阻單元通過(guò)邊界上的節(jié)點(diǎn)與鄰單元相互連接，構(gòu)成整個(gè)分析模型的等效磁網(wǎng)絡(luò)．

圖3 三維磁阻單元Fig.3 3D reluctance element

將磁網(wǎng)絡(luò)與電網(wǎng)絡(luò)相比較，可以得到不同磁場(chǎng)邊界處等效磁網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)或支路的狀態(tài)：

(1) 由于磁場(chǎng)中沒(méi)有θ方向的分量，則磁阻網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)的支路應(yīng)為斷路；

(2) 在磁場(chǎng)的中性面上(繞組高度一半處的 r-θ切面)，磁勢(shì)處處相等，因此中性面上的單元節(jié)點(diǎn)短路；

(3) 在軸線處，磁場(chǎng)滿足平行邊界條件，Br＝0，則邊界處的磁阻單元中相應(yīng)的支路為斷路；

(4) 空氣域的最外層，磁場(chǎng)滿足平行邊界條件，Br＝Bz＝0，相應(yīng)支路斷路．

根據(jù)以上分析，可以建立1/2個(gè)等效永磁體切片及相應(yīng)空氣域的磁網(wǎng)絡(luò)，如圖 4所示，磁阻單元及磁網(wǎng)絡(luò)均退化為二維結(jié)構(gòu)．

圖4 磁網(wǎng)絡(luò)模型Fig.4 MEC model

圖 4中，深色部分為矯頑力為恒定值的永磁部分，淺色部分為矯頑力變化的永磁部分，其余部分為空氣域．每個(gè)單元的邊界如虛線所示，通過(guò)邊界上節(jié)點(diǎn)相互連接，實(shí)心圓點(diǎn)為單元節(jié)點(diǎn)，實(shí)心三角形為退化的單元節(jié)點(diǎn)，其與中心節(jié)點(diǎn)間的支路為斷路，實(shí)心正方形為相互短接的單元節(jié)點(diǎn)，其磁勢(shì)設(shè)為 0．在距離永磁體近的地方采用精細(xì)剖分，遠(yuǎn)的地方則剖分粗疏．

3.2 磁網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計(jì)算

永磁體和空氣域采用相同的剖分方法，其等效磁網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)計(jì)算方法相同，差別僅在于材料參數(shù)的不同．

3.2.1 磁阻

單元的磁阻取決于單元的幾何形狀、磁導(dǎo)率及磁場(chǎng)的方向．圖 5(a)描述了磁通分量Φr穿過(guò)磁阻單元的情況，磁阻單元可以看成厚度為 dr的薄片串聯(lián)而成，因此可表示為

式中：li為磁阻單元的高；μ 為單元的磁導(dǎo)率．在空氣域中μ＝μ0，μ0為空氣的磁導(dǎo)率；在永磁體中μ＝μ0,μr，μr為永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率．

圖 5(b)描述了磁通分量Φz(mì)穿過(guò)磁阻單元的情況，磁阻單元可以看成厚度為dz的薄片串聯(lián)而成，可表示為

式中 zi,1和 zi,2均表示磁阻單元在 z方向的坐標(biāo)，滿足zi,2?zi,1=li．

圖5 單元內(nèi)的磁通Fig.5 Fluxes in element

3.2.2 永磁體磁動(dòng)勢(shì)

永磁體部分是有源網(wǎng)絡(luò)．對(duì)于永磁體的每一個(gè)剖分單元，其等效磁動(dòng)勢(shì)源可表示為

如圖3(b)所示的磁阻網(wǎng)絡(luò)單元中，z方向的2個(gè)磁動(dòng)勢(shì)源可表示為

3.3 磁通密度求解

圖3(b)中所示的第i個(gè)磁阻單元中，每一支路的磁通與節(jié)點(diǎn)標(biāo)量磁勢(shì)、磁動(dòng)勢(shì)源和支路磁阻的關(guān)系可表示為

式中 G為磁導(dǎo)納．

根據(jù)磁通連續(xù)條件，流進(jìn)節(jié)點(diǎn)的磁通與流出節(jié)點(diǎn)磁通相等，即

對(duì)于所有的節(jié)點(diǎn)，由式(13)和式(14)可得系統(tǒng)矩陣，即

式中：G為磁導(dǎo)納矩陣；U為節(jié)點(diǎn)標(biāo)量磁勢(shì)矩陣；F為驅(qū)動(dòng)矩陣．

假設(shè)磁場(chǎng)在磁阻單元內(nèi)部保持恒定，磁阻單元儲(chǔ)存的磁能可表示為3個(gè)磁場(chǎng)分量的能量和．空氣的磁導(dǎo)率為常數(shù)，磁阻單元中每個(gè)分量的磁能[13]可表示為

式中：Vi為剖分單元的體積；Bi,j為剖分單元的磁通密度．

如圖 3(b)所示，每個(gè)磁場(chǎng)分量包括中心節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的 2個(gè)支路，磁能和支路磁通、磁阻的關(guān)系還可表示為

式中 Φi,j,1和Φi,j,2為同一個(gè)方向上的磁場(chǎng)分量在中心節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)支路上磁通量．

由式(16)和式(17)可得節(jié)點(diǎn)的磁通密度為

由式(18)可知，由單元磁能得到的是磁通密度的幅值，根據(jù)磁通的極性可以進(jìn)一步判斷出磁通密度的極性．

4 定子磁場(chǎng)分布研究

多層定子繞組的參數(shù)如表 1所示．利用等效永磁體模型及 MEC法可以求得空間各點(diǎn)的磁通密度．為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性，同時(shí)利用有限元方法研究了磁場(chǎng)分布．

表1 定子繞組參數(shù)Tab.1 Parameters of stator coil

圖 6為鄰近繞組處的磁通密度分布．圖 6(a)為z＝10.5,mm處，磁通密度B沿半徑r的變化規(guī)律．圖6(b)為r＝5.25,mm處，磁通密度B沿高度H的變化規(guī)律．

圖 7描述了遠(yuǎn)離繞組處的磁通密度分布．圖7(a)為 z＝20.5,mm處，磁通密度B沿半徑 r的變化規(guī)律；圖7(b)為r＝10.25,mm處，磁通密度B沿高度H的變化規(guī)律．

圖6 鄰近定子繞組處的磁通密度分布Fig.6 Magnetic flux density distribution near stator coil

圖7 遠(yuǎn)離定子繞組處的磁通密度分布Fig.7 Magnetic flux density distribution far from stator coil

另外，圖6和圖7中給出了磁場(chǎng)的有限元分析結(jié)果．可以看出，利用等效永磁體和 MEC法獲得的磁通密度空間分布和FEM法的計(jì)算結(jié)果具有非常好的一致性．其中，圖6中Br、Bz相對(duì)誤差分別為6.72%、3.55%和 5.81%、4.39%．圖 7中 Br、Bz相對(duì)誤差分別為6.72%、3.55%和6.07%、4.63%．

相對(duì)誤差定義為

式中：BMEC和BFEM分別為MEC法與FEM所求的磁通密度；算子||x||為函數(shù)的1范數(shù)[16]．

從圖6和圖7中可以看出，定子繞組的遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)的磁場(chǎng)分布差異較大．磁場(chǎng)在空間的衰減較快，而且分布規(guī)律也不盡相同，遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)磁通密度的曲線相對(duì)更平滑．需要注意的是，在利用張量法分析轉(zhuǎn)矩特性時(shí)，積分路徑的選擇對(duì)分析精度影響較大，應(yīng)選擇包圍定子繞組的外層單元的中心節(jié)點(diǎn)形成的閉合面[8]．

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種間接分析 3自由度永磁球形電機(jī)定子繞組磁場(chǎng)的方法．根據(jù)永磁體的體電流模型，將多層定子繞組等效為磁化強(qiáng)度變化的圓柱形永磁體，將永磁體及相應(yīng)空氣域在柱坐標(biāo)系下進(jìn)行剖分，分析了不同磁場(chǎng)邊界條件的表達(dá)形式，建立了二維等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，利用平均磁能法獲得了磁場(chǎng)的空間分布．通過(guò)與有限元方法比較近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)的磁通密度，證明本文所提方法具有較好的精度．

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