廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的新判定準(zhǔn)則

高慧敏， 陸 全， 徐 仲， 袁志杰

（1.西北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710072；2.合肥工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的新判定準(zhǔn)則

高慧敏1， 陸 全1， 徐 仲1， 袁志杰2

（1.西北工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710072；2.合肥工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣作為一類特殊矩陣，在數(shù)學(xué)、物理、控制論及經(jīng)濟學(xué)等許多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。文章利用α－對角占優(yōu)矩陣給出了判定廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的一組充分條件，推廣和改進了已有的相關(guān)結(jié)果，數(shù)值算例也說明了這些結(jié)論的有效性。

廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣；非奇異H－矩陣；α－對角占優(yōu)矩陣；不可約；非零元素鏈

0 引 言

廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣作為一類特殊的矩陣，在數(shù)學(xué)、物理、控制論及經(jīng)濟學(xué)等許多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。如何在實際應(yīng)用中方便地判別一個矩陣是否是廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，一直是人們關(guān)注的問題。近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者做了不少工作，提出了一些實用的判別條件［1－9］，本文在文獻［1］的基礎(chǔ)上，利用α－對角占優(yōu)矩陣給出了判定廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的一組充分條件，推廣了文獻［1］的主要結(jié)果，同時也改進了文獻［4－5］的主要結(jié)果，并用數(shù)值算例說明了結(jié)論的有效性。

用Cn×n表示n×n階復(fù)方陣集合，設(shè)

定義1 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，若｜aii｜≥Ri（A）（i∈N），則稱A為對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D0；若每個不等號都是嚴(yán)格的，則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D；如果存在正對角陣D使得AD∈D，則稱A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，即A為非奇異H－矩陣，記為A∈D＊。

定義2 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，如果存在α∈（0，1］，使得對?i∈N，有｜aii｜＞αRi＋（1－α）Si，則稱A為嚴(yán)格α－對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D（α）；如果存在正對角陣D，使得AD∈D（α），則稱A為廣義嚴(yán)格α－對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D＊（α）。

引理1 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，若存在N1∪N2＝N，α∈（0，1］，使?i∈N1，j∈N2有［2］：

且矩陣A滿足下列條件之一：

（1）（1）式為嚴(yán)格不等式。

（2）A不可約且（1）式中至少有一嚴(yán)格不等式成立。

（3）對?i∈I（A），存在非零元素鏈，，…，，使得k∈（N＼I（A））≠?，其中，

則A∈D＊。

引理2 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，則A∈D＊當(dāng)且僅當(dāng)［3］A∈D＊（α）。

1 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，若有

且存在j∈N2，使rj＞0，則A∈D＊。

由于存在j∈N2使rj＞0，由（2）式和（3）式知：

由（2）式、（3）式可得rj＞0，?j∈N2。另外（4）～（6）式右邊均非負(fù)，分別由（4）式、（6）式和（5）式、（6）式可得與（2）式、（3）式互逆的不等式，與定理1條件矛盾，所以~N2≠?。

由（1）式可得：

同理由（2）式可得：

所以對?i∈N1，j∈N2，（10）式成立，即B滿足引理1的條件（1），從而B為廣義對角占優(yōu)矩陣，故存在正對角陣D使得BD＝AXD是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，而XD仍為正對角陣，所以A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

定理2 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，A不可約，α∈（0，1］，若有：

和存在j∈N2使rj＞0，且（11）式、（12）式中至少有一嚴(yán)格不等式成立，則A∈D＊。

證明 類似定理1的證明，構(gòu)造相同的正對角陣X＝diag（x1，x2，…，xn），令B＝AX＝（bij）。若~N2＝｛i∈N：｜bii｜＞αRi（B）＋（1－α）Si（B）｝＝?，則（4）～（6）式同時成立。由于存在j∈N2使rj＞0，由（4）～（6）式知（7）式、（8）式對應(yīng)“≥”時成立。再由（11）式、（12）式可得rj≥0，?j∈N2，另外（4）～（6）式右邊均非負(fù)可得對應(yīng)（11）式、（12）式“≤”時成立，這與定理2條件中至少有一嚴(yán)格不等式成立矛盾，所以~N2≠?。由（11）式、（12）式可得，對應(yīng)（9）式、（10）式“≥”時成立，所以對?i∈N1，j∈N2均成立，再由定理2條件知（11）式、（12）式中至少有一個嚴(yán)格不等式成立。

由于A不可約，則B＝AX也不可約，由此可知B滿足引理1的條件（2），從而B為廣義對角占優(yōu)矩陣，所以A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

定理3 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，α∈（0，1］，若對?i∈N1，j∈N2，有（11）式、（12）式成立，且存在j∈N2使rj＞0，對任意i∈J，存在非零元素鏈，，…，，使k∈（N＼J）≠?，其中，J＝：（11）、（12）式 中 取 等 式 時 ｝｝∪：（11）式、（12）式中取等式時｝｝?N，則A∈D＊。

證明 構(gòu)造正對角陣X＝diag（x1，x2，…，xn），令B＝AX＝（bij），其中，

同定理2證明，由于A具有非零元素鏈，B＝AX也具有非零元素鏈，所以B滿足引理1的條件（3），從而B為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，故存在正對角陣D使得BD＝AXD為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，而XD仍為正對角陣，所以A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

2 數(shù)值算例

例1 考慮矩陣

易驗證對矩陣A文獻［1，4－5］的定理1失效，而矩陣A滿足本文定理1的條件。

事實上，對文獻［1］有N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，＝10.5，＝8.727 3，故＝｛1｝，＝｛2｝。

所以A不滿足文獻［1］定理1的條件（i）。

對于文獻［4］，有

其中，＝｜a21｜＋｜a23｜R3／｜a33｜＋｜a24｜R4／｜a44｜，所以A不滿足文獻［4］定理1的條件。

對于文獻［5］，取N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，

所以A不滿足文獻［5］定理1的條件。

而對于本文，取α＝0.8，則有N1＝｛1，2｝，N2＝｛3，4｝，δ1＝0.735 3，δ2＝0.978 3，＝10.891 5＝8.941 2，故＝｛1｝，＝｛2｝。β3＝ 2.727 3，β4＝ 4.090 9，r3＝6.000 1，r4＝22.090 8。

即A滿足本文定理1中條件，所以A∈D＊。

［1］丁碧文，劉建州.廣義對角占優(yōu)矩陣的判定［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，25（2）：377－380.

［2］孫玉祥.廣義對角占優(yōu)矩陣的充分條件［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，1997，19（3）：216－223.

［3］李繼成，張文修.H矩陣的判定［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，1999，21（3）：264－268.

［4］孫玉祥.非奇異 H矩陣的判定［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2000，17（4）：45－49.

［5］高益明.廣義對角占優(yōu)矩陣與M－矩陣的判定［J］.高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，1992，14（3）：233－239.

［6］Gao Y M，W ang X H.Criteria for generalized diagonally dominant matrices and M－matrices［J］.Linear Algebra App1，1992，169：257－268.

［7］王廣彬，洪振杰，朱漢鋒.非奇 H－矩陣的充分條件［J］.上海大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，9（4）：358－360，372.

［8］干泰彬，黃廷祝.非奇異 H－矩陣的實用充分條件［J］.計算數(shù)學(xué)，2004，26（1）：109－116.

［9］李 陽，宋岱才，路永潔.α－雙對角占優(yōu)與非奇異 H－矩陣的判定［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，28（12）：1624－1626.

A set of new criteria for generalized strictly diagonally dominant matrix

GAO Hui－min1， LU Quan1， XU Zhong1， YUAN Zhi－jie2

（1.Dept.of Applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2.School of Science，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Generalized strictly diagonally dominant matrix is a kind of special matrix which has important application in mathematics，physics，control theory，economics and many other fields.According to theα－diagonally dominant matrices，some sufficient conditions for generalized strictly diagonally dominant matrices are obtained，and some related results are improved.The effectiveness of the study is illustrated by numerical examples.

generalized strictly diagonally dominant matrix；nonsingular H－matrix；α－diagonally dominant matrix；irreducibility；non－zero elements chain

O151.21

A

1003－5060（2012）11－1565－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.029

2012－03－30；

2012－05－04

國家自然科學(xué)基金資助項目（10802068）

高慧敏（1986－），女，河南商丘人，西北工業(yè)大學(xué)碩士生；

陸 全（1957－），女，浙江吳興人，西北工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 閆杏麗）