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    廣義Ito方程組的對稱和新的顯式解

    2012-07-13 07:19:10張穎元劉希強王崗偉
    關鍵詞:約化方程組廣義

    張穎元,劉希強,王崗偉

    (聊城大學數(shù)學科學學院,山東聊城252059)

    0 前言

    本文將利用修正的CK直接方法研究下述廣義Ito方程組[1]

    方程組(1)是著名的Ito可積模型的推廣,把它稱作GIto。利用Hirota雙線性方法,文獻[2]找到了GIto方程組中p=0時的3孤子解和4孤子解。隨后,文獻[3]對其可積性進行了研究,發(fā)現(xiàn)它們都具有潘勒韋意義下的可積性。在文獻[4]中,利用改進的雅克比橢圓函數(shù)法得到了方程組(1)的雙周期解。文獻[5-6]中,找到了方程組(1)的許多行波解。為了求解方程組非線性模型的精確解,已經(jīng)提出了許多解決的方法。如Backlund變換法和Darboux變換法[7],截斷潘勒韋分析方法[8],擴展的Riccati方程方法[9]等。本文首先利用修正的CK直接方法,建立了方程組(1)的新、舊解之間的關系,推廣了文獻[4]中相應的結(jié)果,導出了對稱群理論。其次,得到了方程組(1)的相似約化和一些新的顯示解。最后,給出了相應的結(jié)論。

    1 GIto方程組的新舊解之間的關系和對稱群

    假設方程組(1)具有下述形式的對稱群

    其中,αi、βi(i=1,2,3,4)、γ3、γ4、ξ和 τ 都是關于{x,t}的待定函數(shù),并且在變換{x,t,u,v,w,p}→ {ξ,τ,U,V,W,P}下要求 U(ξ,τ)、V(ξ,τ)、W(ξ,τ)、P(ξ,τ)也滿足方程組(1),即

    把式(2)代入方程組(1),并利用約束方程組(3)消去 Uτ、Vτ、Wτ、Pτ,令 U(ξ,τ)、V(ξ,τ)、W(ξ,τ)、P(ξ,τ)和它們的導數(shù)項的系數(shù)為0,得到下述超定方程組

    解上述方程組,得到

    其中,c1、c2、c3、c4和 c5是任意常數(shù)。

    根據(jù)上述過程,對于GIto系統(tǒng),有下述對稱群定理:

    定理1 如果 U=U(ξ,τ),V=V(ξ,τ),W=W(ξ,τ),P=P(ξ,τ)是方程組(1)的解,那么下列u、v、w和p也是方程組(1)的解,其中ξ和τ由式(4)決定。

    利用定理1,可以推廣相應的已知解,從而建立了Ito方程組的新舊解之間的關系。通過文獻[4]中的解,可以得到以下橢圓函數(shù)解

    其 中,a、b、c、a20、a30、a40、l 和 b32是 任 意 常 數(shù)和τ由式(4)決定。

    根據(jù)定理1,可以限制c1=1+εc1;c2= εc2;c3= εc3;c4= εc4;c5= εc5,其中,ε 是無窮小參數(shù),并且c1、c2、c3、c4和c5是任意常數(shù),則可以通過以上變換得到方程組(1)的李點對稱群。

    2 GIto方程組的相似約化和顯式解

    為了求出方程組(1)的相似約化和精確解,根據(jù)對稱可得下述對應的特征方程組

    選取下述情況討論:

    情況1 c1=1,c2=c3=c4=c5=0。解相應的特征組可得函數(shù)

    情況2 c1=c2=c4=0,c3=c5=1。解相應的特征方程組,則函數(shù)u、v、w和p可以表示為

    其中,ξ=t;q1是任意常數(shù)。函數(shù)u,v,w和p可滿足下述約化方程

    情況3 c1=c3=c4=c5=0,c2=1??傻孟率鱿嗨谱兞亢秃瘮?shù)

    把式(16)代入方程組(1),可得方程(1)的約化方程為

    情況4 c2=c5=1,c1=c3=c4=0??傻孟率霾蛔兞?ξ和函數(shù) u、v、w、p,

    把式(18)代入方程組(1),則方程組(1)的約化方程可以表示為

    其中,G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

    其中,λ、μ 是任意常數(shù);ai、bi、di和 ni(i=0,1,2)是待定函數(shù)。

    把式(20)和式(21)代入方程組(13),并按(G')的次數(shù)合并同類項,令(G')的各次方的系數(shù)為零G

    解代數(shù)方程組可得:當λ=0,μ=1時,

    因此,變系數(shù)約化方程組(13)的解為

    其中,C1、C2是任意常數(shù)更多形式的解見文獻[10]。

    根據(jù)式(23)和式(24)就可以得到變系數(shù)方程組(13)的解,再聯(lián)合式(12)可得GIto方程組的解。同時,根據(jù)定理1可以得到更廣泛的顯式解。

    為了求解方程(19),通過齊次平衡,假設方程組(19)具有下述形式的解

    其中,ai、bi、di和 ni(i=0,1,2,-1,-2)是待定常數(shù)。

    利用輔助方程

    其中k是參數(shù)。

    把式(25)和式(26)代入方程組(19),令φ(ξ)的系數(shù)為零,借助于maple軟件和吳消元法[11],求解關于 ai、bi、di和 ni(i=0,1,2,-1,-2)的超定方程組,可得下述結(jié)果

    從而可得

    其中,φ(ξ)滿足廣義Riccati方程并具有下述廣義解

    根據(jù)式(18),式(27)和式(28),可得到原方程組的顯式解。同時,將求得的解作為種子解再利用定理1,可以得到方程組(1)的更廣泛的顯式解。

    3 結(jié)論

    本文利用修正的CK直接方法得到了廣義Ito方程組的對稱群理論,建立了新、舊解之間的關系,根據(jù)定理1,推廣了文獻[4]中相應的結(jié)果。同時,根據(jù)對稱σ=0與原方程組的相容性,獲得了相應的約化方程,通過求解約化方程得到了一些新的顯式解。

    [1]李畫眉,林機,許友生.兩組新的廣義的Ito方程組的多種行波解[J].物理學報,2004,53(2):349-355.

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    [3]Ayse K K,Atalay K,Sergei S.Integrability of a Generalized Ito System:The Painlevé Test[J].J Phys Soc Jpn,2001,70(5):1165-1166.

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    [5]Fan E.A New Algebraic Method for Finding a Series of Travelling Wave Solution to a Coupled Ito System[J].J Phys Soc Jpn,2002,71(11):2663-2668.

    [6]Robert A,Van G.Solutions to a Novel Casimir Equation for the Ito System[J].Commun Theor Phys,2011,56:801-804.

    [7]Lee J H,Pashaev O K,Rogers C,et al.The Resonant Nonlinear Schr?dinger Equation in Cold Plasma Physics Application of B?cklund-Darboux Transformations and Superposition Principles[J].J Plasma Phys,2007,73:257-272.

    [8]Clarkson P A.Painleve Equations-nonlinear Special Founctions[J].Appl Math Comput,2003,153:127-140.

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    [10]李靈曉,李二強.6階KdV方程的精確解[J].河南科技大學學報:自然科學版,2011,32(4):83-86.

    [11]Wu W T.Algorithms and Computation[M].Berlin:Springer,1994.

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