二級倒立擺系統的模糊控制

焦靈俠，任海波，郭 敏

（1.西安工業(yè)大學北方信息工程學院 陜西 西安 710032；2.西北機電工程研究所 陜西 咸陽 712099；3.榆林學院 能源工程學院，陜西 榆林 719000）

倒立擺是一種典型的高階非線性、多變量、強耦合、絕對不穩(wěn)定的實驗裝置，它具有結構簡單、成本低廉、易于調整等特點，作為這樣一個被控對象，只有有效的控制策略才能夠使其穩(wěn)定，同時它也是檢驗各種控制理論的實驗平臺。倒立擺系統涉及控制理論、計算機控制、機器人技術等多個領域，并且結合了多種技術，因此可以看作是典型的被控對象供科研人員研究。倒立擺系統被廣泛應用于雙足機器人行走及火箭穩(wěn)定發(fā)射及飛行方面，對于多級倒立擺和復雜結構的倒立擺進行控制更是近年來各科學領域不斷研究，創(chuàng)新的問題之一，所以對于倒立擺系統的研究具有深遠的意義[1]。

1 二級倒立擺系統數學模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認為擺桿為剛體。二級倒立擺示意圖如圖1所示。

利用拉格朗日方程推導運動學方程：

拉格朗日方程為：L（q，q˙）=T（q，q˙）-V（q，q˙）

其中L為拉格朗日算子，q為系統的廣義坐標，T為系統的動能，V為系統的勢能，i=1，2，3…n，fi為系統在第i個廣義坐標上的外力。系統的廣義坐標有3個，分別為x，θ1，θ2。系統的動能：

圖1 二級倒立擺示意圖Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

表1 倒立擺參數定義Tab.1 Parameter defines of the inverted pendulum

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分別為小車的動能， 擺桿 1 的動能，擺桿2的動能和質量塊的動能。

系統的動能為：

系統的勢能為：

系統在θ1，θ2廣義坐標下沒有外力作用，所以有：

將其在平衡位置附近進行泰勒級數展開，并線性化，有：

帶入參數值，系統的狀態(tài)方程為：

2 二級倒立擺的模糊控制

二級倒立擺的模糊控制[2]采用的控制思想是將多輸入/單輸出的模糊控制器，分解成一個較簡單的多輸入/單輸出的模糊控制器。通過對模型的仿真，得到最合適的模糊控制參數，量化因子和比例因子ke、kec、ku。在仿真的基礎上，設計實時控制程序，在實際的倒立擺實驗平臺上進行實時控制研究。

2.1 模糊控制器的設計

1）確定輸入變量和輸出變量

綜合誤差（小車的位移、上擺的擺角、下擺的擺角）E和綜合誤差變化率（小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度）EC作為輸入變量，電機的控制力u作為輸出變量[3]。

利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反饋矩陣 K：

綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

2）E、EC、u 隸屬度函數的設計

圖2 E和EC隸屬度函數曲線Fig.2 Membership function curves of E and EC

圖3 u的隸屬度函數曲線Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小運算規(guī)則。

4）模糊控制規(guī)則

根據輸入/輸出論域上的模糊語言變量劃分NB（負大），NM（負中），NS（負?。?，ZO（零），PS（正?。琍M（正中），PB（正大），設計模糊推理規(guī)則如表2所示。

表2 模糊控制規(guī)則Tab.2 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

2.2 二級倒立擺系統的實時控制

經過多次仿真，選定了合適的模糊控制器的參數[4-6]，得到了比較理想的曲線，當ke=1.5、kec=1.5、ku=6時控制效果較好，二級倒立擺系統能夠得到較好的穩(wěn)定，小車在0.1 cm位置附近來回振動，下擺擺桿在平衡位置附近擺動，上擺桿在平衡位置小幅度擺動。

根據仿真結果，在實際的倒立擺實驗裝置上進行實時控制，設計的二級倒立擺實時控制程序如圖4所示。

實時控制曲線如圖7所示。

圖4 二級倒立擺的實時控制程序Fig.4 Real-time control program of two-stage pendulum

圖5 二級倒立擺內部結構Fig.5 Internal structure of two-stage pendulum

圖6 實時控制內部結構Fig.6 Internal structure of real-time control

圖7 二級倒立擺系統實時控制曲線Fig.7 Real-time control curve of two-stage pendulum

3 結 論

從二級倒立擺的實時控制曲線上可以看出，小車位移偏離平衡位置的最大距離小于5 cm，上擺角的振動幅值在0.04 rad范圍內，下擺角振動幅值在0.08 rad以內，控制的效果比較理想，系統穩(wěn)定的響應時間在5 s之內。實時控制結果證明模糊控制控制二級倒立擺系統具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性。

[1]張葛祥，李眾立，畢效輝.倒立擺和自動控制技術研究[J].西南工學院學報，2001，16（3）：12-16.

ZHANG Ge-xiang，LI Zhung-li，BI Xiao-hui.Inverted pendulum and automatic control technology [J].Southwest Institute Sinica，2001，16 （3） ：12-16.

[2]曹承志，王楠.智能技術[M].北京：淸華大學出版社，2004.

[3]吳壽章.最優(yōu)控制理論與應用[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[4]聞新，周露，李東江，等.MATLAB模糊邏輯工具箱的分析與應用[M].北京：科學出版社，2001.

[5]李巖，姚旭東.二級倒立擺控制系統分析[J].沈陽工業(yè)學院學報，1999，18（2）：86-92.

LI Yan，YAO Xudong.Analysis of double inverted pendulum control system[J].Shenyang Polytechnic University，1999，18（2）：86-92

[6]張龍.直線二級倒立擺的穩(wěn)定控制研究[D].西安：西安建筑科技大學，2008.