基于奇異譜分析的匯率預(yù)測(cè)研究

張 一，惠曉峰

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

對(duì)匯率預(yù)測(cè)的研究多年來(lái)一直是國(guó)際金融界的一個(gè)重要課題。自Messe和Rogoff[1]于1983年建立了簡(jiǎn)單的隨機(jī)游走模型并證實(shí)其預(yù)測(cè)效果優(yōu)于其它模型后，關(guān)于匯率預(yù)測(cè)的研究方法不斷涌現(xiàn)。堅(jiān)持有效市場(chǎng)假說(shuō)的學(xué)者們認(rèn)為匯率是由獨(dú)立的、隨機(jī)的變量產(chǎn)生的白噪聲信號(hào)，即匯率不可預(yù)測(cè)。堅(jiān)持匯率決定理論的學(xué)者們則主要從基于基礎(chǔ)變量預(yù)測(cè)法和技術(shù)預(yù)測(cè)法兩個(gè)方向進(jìn)行研究?；A(chǔ)變量法主要考慮的變量是價(jià)格水平、利率基準(zhǔn)、貨幣供應(yīng)量、國(guó)民收入、外匯儲(chǔ)備等因素并形成了不同的理論，如購(gòu)買(mǎi)力平價(jià)理論[2～4]、利率平價(jià)理論[5]、國(guó)際收支理論等。由于經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)變量在短時(shí)期內(nèi)變化很小，所以在解釋匯率短期波動(dòng)上并沒(méi)有取得很好的效果。技術(shù)預(yù)測(cè)法則從時(shí)間序列數(shù)據(jù)本身出發(fā)，通過(guò)歷史數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，如ARMA模型，ARIMA模型，ARCH模型，GARCH模型等。這些模型主要是用過(guò)去變化和過(guò)去方差來(lái)預(yù)測(cè)將來(lái)的變化，可有效地排除資產(chǎn)收益率中的過(guò)度峰值，并取得了較好的預(yù)測(cè)效果。

近年來(lái)，非線性動(dòng)力學(xué)的快速發(fā)展為資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)測(cè)提供了新的研究方法。這種方法主要是通過(guò)時(shí)間延遲和相空間重構(gòu)技術(shù)，將所觀測(cè)到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)還原成代表其動(dòng)力學(xué)特征的高維相空間，并將其看做是由其動(dòng)力系統(tǒng)的吸引子產(chǎn)生的相空間軌跡的一部分[6～8]。由于金融市場(chǎng)具有非線性、不連續(xù)等內(nèi)在特征，使得該方法在這一領(lǐng)域取得了很好的應(yīng)用效果。

奇異譜分析（SSA）是近年來(lái)興起的一種研究非線性時(shí)間序列數(shù)據(jù)的強(qiáng)大的方法。它根據(jù)所觀測(cè)到的時(shí)間序列構(gòu)造出軌跡矩陣，并對(duì)軌跡矩陣進(jìn)行分解、重構(gòu)，從而提取出代表原時(shí)間序列不同成分的信號(hào)，如長(zhǎng)期趨勢(shì)信號(hào)、周期信號(hào)、噪聲信號(hào)等，從而對(duì)時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并可進(jìn)一步預(yù)測(cè)。奇異譜分析目前較多地應(yīng)用在氣象學(xué)和地質(zhì)學(xué)的研究中，并有少量學(xué)者將其引入到社會(huì)問(wèn)題研究中。由于這種方法不需要對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)，是一種非參數(shù)估計(jì)法并且不需要各種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，不存在模型設(shè)計(jì)和過(guò)度擬合等問(wèn)題，所以同樣適合于金融時(shí)間序列的分析。

1 方法介紹

1.1 奇異譜分析方法

奇異譜分析（SSA）方法最早由colebrook[9]于1978年首先在海洋學(xué)研究中提出并使用。Fracrich[10]用一維時(shí)間序列在延遲相空間中做EOF展開(kāi)，再通過(guò)顯著性檢驗(yàn)研究確定有意義的特征成分的個(gè)數(shù)，據(jù)此估計(jì)氣候吸引子的維數(shù)。這個(gè)工作被認(rèn)為是SSA在氣象學(xué)中的最早應(yīng)用。Hassani[11]將這種方法引入到社會(huì)問(wèn)題研究中來(lái)，并用其預(yù)測(cè)了美國(guó)交通事故的月時(shí)間序列數(shù)據(jù)。N.Golyandina[12]給出了奇異譜分析的擴(kuò)展形式-多通道奇異譜分析的算法，并由Hossein Hassani[13]用來(lái)對(duì)英鎊/美元匯率進(jìn)行了分析預(yù)測(cè)，取得了較好的效果。目前，國(guó)內(nèi)應(yīng)用這一方法研究金融領(lǐng)域問(wèn)題的文獻(xiàn)并不多，主要有徐海云[14]對(duì)我國(guó)貨幣供應(yīng)量進(jìn)行了分析，呂紅[15]用其對(duì)上證指數(shù)預(yù)測(cè)等。更多關(guān)于奇異譜分析方法的介紹可參考文獻(xiàn)[16～20]。

奇異譜分析的基本思想是，將所觀測(cè)到的一維時(shí)間序列數(shù)據(jù)YT=(y1,…,yT)轉(zhuǎn)化為其軌跡矩陣：

其中，L為選取的窗口長(zhǎng)度，K=T-L+1，計(jì)算XXT并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解（SVD），從而得到其L個(gè)特征值λ1≥λ2≥…≥λL≥0及其相應(yīng)的特征向量將每一個(gè)特征值所代表的信號(hào)進(jìn)行分析組合，重構(gòu)出新的時(shí)間序列。奇異譜分析過(guò)程可分成嵌入、SVD分解、分組、重構(gòu)四個(gè)步驟，下面詳細(xì)介紹具體算法。

1.2 算法

1.2.1 嵌入

選擇適當(dāng)?shù)拇翱陂L(zhǎng)度L（2≤L≤T），將所觀測(cè)到的一維金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為多維序列X1,…,XK，，得到軌跡矩陣。這里L(fēng)的選取不宜超過(guò)整個(gè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的1/3，如可根據(jù)事先經(jīng)驗(yàn)大致確定數(shù)據(jù)的周期特征，則L的選取最好為周期的整數(shù)倍。

1.2.2 SVD分解

計(jì)算XXT并求得其L個(gè)特征值λ1≥λ2≥…≥λL≥0，U1,…,UL為其所對(duì)應(yīng)的正交特征向量，另d=max(i,λi＞0)=R(A)，則

1.2.3 分組

將（2）式中的Xi分成幾個(gè)不同的組并將每組內(nèi)所包含的矩陣相加，另{i1,…ip}為第I組所包含的矩陣，則XI的貢獻(xiàn)率為

1.2.4 重構(gòu)

將矩陣XI轉(zhuǎn)換成其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，每一組數(shù)據(jù)代表原序列的某一運(yùn)動(dòng)特征，如長(zhǎng)期趨勢(shì)，季節(jié)性趨勢(shì)，噪聲信號(hào)等。設(shè)zij為矩陣Z所對(duì)應(yīng)的元素，則第k個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)為滿足i+j=k+2的所有z的平均值，ΗZ為新獲得的時(shí)間序列的軌跡矩陣。以此來(lái)求式（4）中的每一個(gè)矩陣，則可得

原序列YT=(y1,…,yT)可表示成

1.3 預(yù)測(cè)

線性遞歸過(guò)程是將序列某一點(diǎn)的數(shù)據(jù)用其前d個(gè)數(shù)據(jù)的線性組合來(lái)計(jì)算

用線性遞歸模型對(duì)（5）式中的重構(gòu)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，并進(jìn)一步將預(yù)測(cè)結(jié)果與隨機(jī)游走模型進(jìn)行比較

RMSE為均方根誤差，N為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

若RMSE≈0或是很小，說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果相當(dāng)精確；

若RMSE＜1，說(shuō)明該方法預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于隨機(jī)游走模型；

若RMSE＞1，說(shuō)明該方法預(yù)測(cè)結(jié)果比隨機(jī)游走模型差。

同時(shí)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)DM結(jié)果為負(fù)，且絕對(duì)值越大，表明預(yù)測(cè)結(jié)果越是顯著地優(yōu)于隨機(jī)游走模型。

2 實(shí)證結(jié)果

2.1 數(shù)據(jù)分析結(jié)果

2.1.1 數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理

本文選取歐元兌美元匯率作為研究對(duì)象，樣本區(qū)間為2000年1月1日至2007年12月1日，共1505個(gè)觀察值。在進(jìn)行具體分析前，先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：yt→yt/||Yt||t=1,…,T，其中結(jié)果如圖1所示。

圖1 歐元/美元時(shí)間序列數(shù)據(jù)

2.1.2 趨勢(shì)分析

選取窗口長(zhǎng)度L=30對(duì)序列進(jìn)行分析重構(gòu)，并提取第一個(gè)特征值為代表數(shù)據(jù)長(zhǎng)期趨勢(shì)的主要成分，結(jié)果如圖2所示。

圖2 序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)成分

對(duì)特征值1所代表的成分進(jìn)行對(duì)角線平均，得到重構(gòu)后的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。特征值2～30為噪聲信號(hào)，分析結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 主成分信號(hào)

圖4 噪聲信號(hào)

2.2 預(yù)測(cè)結(jié)果比較

用圖3所示的新獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)方法為（7）式所示的線性遞歸過(guò)程，向后預(yù)測(cè)40個(gè)數(shù)據(jù)，并與真實(shí)數(shù)據(jù)比較，進(jìn)一步根據(jù)（8）式求得根均方誤差，并計(jì)算（9）式中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如表1所示。

表1 預(yù)測(cè)結(jié)果

由表1預(yù)測(cè)結(jié)果可見(jiàn)，在預(yù)測(cè)短期匯率時(shí)，SSA分析方法優(yōu)于隨機(jī)游走模型，但隨著預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的增多，結(jié)果逐漸變得不顯著。

3 結(jié)論

本文對(duì)奇異譜分析方法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹并用其對(duì)匯率預(yù)測(cè)問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。結(jié)果表明，在進(jìn)行短期匯率預(yù)測(cè)時(shí)，用該方法得到的預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于隨機(jī)游走模型，預(yù)測(cè)精度比較理想。奇異譜分析是一種比較新的且功能強(qiáng)大的處理時(shí)間序列的分析方法，可用于提取時(shí)間序列的主要成分、降噪、預(yù)測(cè)等很多方面。所以可將其進(jìn)一步應(yīng)用于其他的經(jīng)濟(jì)及金融時(shí)間序列分析問(wèn)題中。同時(shí)，其擴(kuò)展形式多通道奇異譜分析（MSSA）、復(fù)雜奇異譜分析（CSSA）也是可以進(jìn)一步深入研究的方向。

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