三次拋物線形渠道斷面收縮水深的簡化計(jì)算公式

王志云 滕 凱

（1.齊齊哈爾市水利工程質(zhì)量與安全監(jiān)督站，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

由于拋物線形斷面具有良好的水流條件及力學(xué)性能，因此在城市供排水及水利水電工程中，工程設(shè)計(jì)部門常根據(jù)輸水流量及地質(zhì)條件，將渠道斷面設(shè)計(jì)為半立方拋物線、二次拋物線或三次拋物線形式之一，因此相關(guān)拋物線形式的水力計(jì)算問題也逐漸引起了有關(guān)學(xué)者的重視[1～5]，其中關(guān)于半立方拋物線及二次拋物線形渠道斷面收縮水深的計(jì)算已有相關(guān)研究成果[6～9]，而三次拋物線形斷面渠道收縮水深的計(jì)算研究則相對較少。

文獻(xiàn)[10]針對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計(jì)算涉及高次方程的求解問題，棄用常規(guī)的計(jì)算過程繁復(fù)且成果精度不高的試算法及圖解法，從三次拋物線形斷面渠道收縮水深的基本方程入手，通過對初始迭代值的優(yōu)化擬合，獲得了可直接完成求解的近似計(jì)算公式，具有一定的實(shí)際意義。但因該公式需分別完成中間參數(shù)及初值計(jì)算，求解過程仍顯繁瑣。

為了進(jìn)一步簡化三次拋物線形斷面收縮水深的計(jì)算過程，本文采用優(yōu)化擬合的方法，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，獲得了一種表達(dá)式較為簡捷、計(jì)算精度較高的近似公式。

1 收縮水深的基本計(jì)算公式

收縮水深的基本方程為[11]：

式中：E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過水建筑物上游總水頭，m；hc為收縮斷面處的水深，m；Q為過水流量，m3/s；g為重力加速度，m/s2；φ為流速系數(shù)；Ac為三次拋物線形斷面面積，m2。

三次拋物線形斷面的曲線方程為：

其過水?dāng)嗝婷娣e為：

將式（3）、（4）代人式（1），并設(shè)：

經(jīng)整理即可獲得計(jì)算三次拋物線形斷面收縮水深的計(jì)算公式為：

2 近似計(jì)算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（6）為高次函數(shù)的超越方程，無法直接獲解。為避免利用式（6）的超越方程求解問題，現(xiàn)通過以下方法尋求其替代函數(shù)：

(1) 根據(jù)式（6）函數(shù)，展繪α～k關(guān)系曲線。

(2) 經(jīng)對α～k關(guān)系曲線的線形分析，初步擬定以下函數(shù)為備選替代函數(shù)。

式中：A、B、C、x、β分別為待定系數(shù)及指數(shù)。

(3) 在工程實(shí)用范圍內(nèi)[10]（即 0.01≤α≤0.5），采用優(yōu)化擬合的方法，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[12]即：

經(jīng)對式（7）～（10）逐次逼近擬合[13]可知，式（10）的標(biāo)準(zhǔn)剩余差S最小，其替代函數(shù)式為

2.2 精度分析及比較

為比較式（11）與式（6）的擬合精度，考慮在工程實(shí)用范圍內(nèi)（即 0.01≤α≤0.5， 2.59≤k≤100.38），取不同的iα值即可由式（6）分別計(jì)算出與之相對應(yīng)的ki，再將ki代入式（11）求得與之相對應(yīng)的αi′，并由下式完成式（11）替代式（6）的擬合相對誤差，結(jié)果見表1。

表1 式（11）替代式（6）誤差計(jì)算結(jié)果

由表1可見，在工程實(shí)用范圍內(nèi)。

用式（11）替代式（6）的最大擬合相對誤差：

式（11）具有較好的擬合替代精度。

表2 拋物線均勻流水深公式形式、最大相對誤差比較

通過對公式形式比較可見，本文公式較文獻(xiàn)[5]公式更加簡單，計(jì)算過程也更加簡捷。具體比較結(jié)果見表2所示。

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)[5]計(jì)算實(shí)例：已知閘前斷面總水頭E0=15m，通過流量Q =162 m3/s，流速系數(shù)φ=0.95，若采用三次拋物線形斷面渠道，其斷面曲線方程為

求閘后斷面收縮水深hc。

將已知參數(shù)代人式（5）可求得

將k =5.4306代人式（11）即可求得

本例收縮水深的精確解為hc=3.00m，本文公式計(jì)算成果的相對誤差為0。

4 結(jié) 語

通過優(yōu)化擬合的方法完成了對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計(jì)算公式的擬合，獲得了表達(dá)形式簡單、求解精度較高的計(jì)算公式，經(jīng)誤差分析及實(shí)例計(jì)算表明，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，本文公式的最大相對誤差為0.46% 。

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