準(zhǔn)晶材料中螺型位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉效應(yīng)

胡亞群，李建華

（湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湘潭411101）

0 引 言

準(zhǔn)晶材料的發(fā)現(xiàn)引起了晶體材料科學(xué)和數(shù)學(xué)上的巨大變革.大量的理論及實(shí)驗(yàn)表明具有復(fù)合結(jié)構(gòu)和獨(dú)特材料常數(shù)的準(zhǔn)晶材料是有廣闊前景的新型材料[1－3].準(zhǔn)晶材料的力學(xué)性能顯著的受到各種缺陷（如位錯(cuò)、裂紋、孔洞和夾雜等）的影響.近年來準(zhǔn)晶材料中的缺陷問題吸引了大量學(xué)者關(guān)注的目光.Wang[4]研究了一維準(zhǔn)晶的點(diǎn)陣及彈性行為.Peng和Fan[5]研究了一維準(zhǔn)晶中的裂紋問題.Edagawa[6]回顧了準(zhǔn)晶中線位錯(cuò)的典型特征.Li和 Fan[7]利用保角變換方法得到了一維六方準(zhǔn)晶中位錯(cuò)與兩條共線半無限裂紋的干涉解答.Liu和Guo[8]研究了一維六方準(zhǔn)晶的平面彈性問題.

眾所周知，材料生產(chǎn)和加工過程中有意加入或無意產(chǎn)生的夾雜都會(huì)顯著的影響材料的性能.在復(fù)合材料力學(xué)性能的研究中位錯(cuò)與夾雜的干涉效應(yīng)扮演著極為重要的角色.Dundurs和Mura[9]研究了刃型位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉效應(yīng).Smith[10]considered考慮了位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉問題并擴(kuò)展了他的理論來處理縱向剪切下位錯(cuò)與橢圓孔或剛性橢圓夾雜的干涉問題.Luo和Chen[11]研究了刃型位錯(cuò)和圓形涂層夾雜的干涉效應(yīng).Xiao和Chen[12]研究了存在界面層時(shí)位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉效應(yīng).但是，以上文獻(xiàn)涉及的材料均為晶體材料，而準(zhǔn)晶材料中位錯(cuò)與夾雜的干涉尚未有文獻(xiàn)報(bào)道.

本文研究了一維六方準(zhǔn)晶材料中螺型位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉效應(yīng).利用復(fù)變函數(shù)方法，得到了由復(fù)勢(shì)函數(shù)表示的邊界條件以及應(yīng)力場(chǎng)和位錯(cuò)力的解析表達(dá)式.并詳細(xì)討論了位錯(cuò)位置和材料差異對(duì)位錯(cuò)力及平衡位置的影響.

1 問題描述與一般處理

假設(shè)一維準(zhǔn)晶原子沿z軸準(zhǔn)周期排列而在xy平面內(nèi)周期排列.如果位錯(cuò)線平行于一維準(zhǔn)晶材料的準(zhǔn)周期軸，那么材料的幾何屬性將不隨準(zhǔn)周期方向變化.令準(zhǔn)晶材料的準(zhǔn)周期軸為z軸，可得[3]

S＋和S－。兩種材料界面為理想界面，下標(biāo)‘1’和‘2’分別表示S＋和S－中的量.

圖1 一維準(zhǔn)晶材料中一個(gè)螺型位錯(cuò)位于圓形夾雜附近

此問題的控制方程為

應(yīng)力σxzj，σyzj，Hxzj，Hyzj及面力Tj，Mj可由解析函數(shù)φj（z），ψj（z）表示如下

理想界面假設(shè)意味著界面上應(yīng)力和位移保持連續(xù)，因此邊界條件可表示為

將式（5）～（8）代入式（9），邊界條件可重新表示為

2 問題解答

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，均勻一維準(zhǔn)晶材料中位于坐標(biāo)原點(diǎn)的螺型位錯(cuò)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)為

將式（14）和（15）代入式（5）和（6）可得

如果一個(gè)burgers矢量為（0，0，bz，b⊥）的位錯(cuò)位于基體中任意點(diǎn)z0，則S－中的復(fù)勢(shì)函數(shù)可表示為

其中φ20（z），ψ20（z），在S－中全純．

為方便分析，根據(jù)Schwarz對(duì)稱原理引入以下解析函數(shù)

將式（19）和（20）代入式（10）～（13），邊界條件可表示為

其中φ1（t）和φ1＊（t）全純

求解由式（21）～（24）表示的邊值問題，并忽略表示剛體位移的常數(shù)，可得

3 位錯(cuò)力

研究位錯(cuò)和夾雜相互作用時(shí)，描述相互作用機(jī)理的物理量為作用于螺型位錯(cuò)的像力，即位錯(cuò)力.位錯(cuò)力是理解位錯(cuò)和夾雜相互作用機(jī)制的重要物理量.對(duì)于一維準(zhǔn)晶材料中的位錯(cuò)，根據(jù)推廣的Peach－Keohler公式，位錯(cuò)力可表示為

4 討 論

式（41）可退化為各種特殊實(shí)例，在此僅討論最常見的情況，即晶體材料中鑲嵌一個(gè)圓柱形準(zhǔn)晶夾雜.這種情況（41）退化為

5 結(jié) 論

利用復(fù)變函數(shù)方法解決了一維準(zhǔn)晶材料中位錯(cuò)與圓形夾雜的干涉問題.得出了由復(fù)勢(shì)函數(shù)表示的邊界條件，并得到了復(fù)勢(shì)函數(shù)和位錯(cuò)力的解析表達(dá)式.算例表明特定材料參數(shù)下準(zhǔn)晶夾雜附近存在位錯(cuò)的平衡位置，相位子場(chǎng)彈性常數(shù)和聲子場(chǎng)－相位子場(chǎng)耦合彈性常數(shù)均存在可以改變位錯(cuò)力方向的臨界值.

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