基于卡爾曼濾波的DMC算法在CSTR中的應(yīng)用

羅 霄

(重慶大學 自動化學院，重慶 400044)

連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR)是聚合物生產(chǎn)過程中廣泛使用的生產(chǎn)設(shè)備，在染料、試劑、醫(yī)藥、食品以及合成材料等工業(yè)中占有重要地位。由于CSTR具有嚴重的非線性，常規(guī)控制方法難以取得令人滿意的效果。因此，對CSTR采用更為先進的控制技術(shù)成為工程應(yīng)用的研究熱點。

預(yù)測控制算法在工業(yè)生產(chǎn)中得到普遍認可，其中使用最廣泛的是動態(tài)矩陣控制(DMC)算法［1］。該算法采用工程上易于測取的有限長度階躍響應(yīng)序列作為預(yù)測模型，算法簡單，計算量小，動態(tài)控制用符合實際工業(yè)特點的帶約束二次優(yōu)化命題來描述，對模型要求低，控制綜合質(zhì)量好，在線計算方便。該算法能顯著提高非線性系統(tǒng)的控制質(zhì)量，適合控制CSTR。

但是DMC自身存在一定的局限性。首先，在整個預(yù)測時域內(nèi)，反饋校正是通過假設(shè)有1個固定的輸出干擾而得到的［2］。雖然這種方法能夠做到無靜差控制，并且容易實現(xiàn)，但是缺乏對不可測擾動動態(tài)特性的提前預(yù)估，抗不可測干擾效果較差［3］。文獻［4］指出，DMC的設(shè)定值跟蹤效果優(yōu)于PID控制，但在抑制不可測擾動方面不如PID控制。其次，DMC的多步預(yù)測和滾動優(yōu)化雖有克服建模誤差影響的能力，但對模型失配的魯棒性有一定局限性，仍需要較準確的模型［5］。

本文使用在穩(wěn)態(tài)工作點的線性化CSTR模型設(shè)計DMC控制器，在用Kalman濾波器估計出不可測擾動的大小后，采用前饋補償控制方法對其進行控制，有效地抑制了擾動對系統(tǒng)的影響，提高了控制品質(zhì)。本文方法具有較好的擴展性，可以很輕易地應(yīng)用到其他控制系統(tǒng)中，并且對抑制由于擾動引起的動、靜態(tài)偏差快速有效，具有較強的魯棒性和干擾抑制能力。

1 CSTR過程

CSTR是一類典型的化工反應(yīng)非線性過程，動態(tài)方程為［6］:

其中:CA和Tr分別是反應(yīng)物的濃度和溫度;Tc是冷卻劑溫度。根據(jù)文獻［6］，將式(1)無因式化后得到

其中:x1、x2分別表示無因式化后的反應(yīng)物濃度和溫度;u表示無因式化后的冷卻劑溫度。過程控制的目標是操作冷卻劑流量來調(diào)節(jié)反應(yīng)物溫度x2。

2 不可測擾動抑制方法設(shè)計

2.1 不可測擾動的建模與估計

DMC和卡爾曼濾波器采用式(2)表示的線性化離散化模型。取過程參數(shù)Da=0.072，φ=20，Bh=8，β=0.3，穩(wěn)態(tài)工作點=y0=1.33=(x10，x20)=(0.2，1.33)=u0=0.421，采樣時間0.6 s。將方程(2)在平衡點線性化、離散化，得:

其中:

容易得到式(3)對應(yīng)的離散卷積模型

其中，脈沖響應(yīng)系數(shù)h(i)是在k=0時刻系統(tǒng)輸入端加入幅值為1、寬度為0.6 s(采樣周期)的脈沖后，系統(tǒng)輸出的各采樣時刻的值?？赏ㄟ^

得到DMC的階躍響應(yīng)系數(shù)sk。

批次不同的化工物料的密度、濃度和比熱等屬性會存在不同。反應(yīng)物料的性質(zhì)變化會導致CSTR的反應(yīng)過程表現(xiàn)出變化的放熱特性［7］，而這種變化的特性是不可測的。此外，CSTR的線性化過程也導致式(2)和式(3)之間存在偏差。本研究引入輸入干擾d、輸出干擾p來代表各種因素對系統(tǒng)的影響，并將干擾視為附加的狀態(tài)變量增廣到系統(tǒng)中［2］，則帶有不可測干擾的CSTR模型為

其中 Gp決定狀態(tài)對輸出影響，通常取 Gp=I［2］。令

則帶有不可測干擾的CSTR模型為

考慮實際生產(chǎn)過程中的噪聲，使用如下的帶有過程噪聲w和觀測噪聲v的模型:

此處，對有噪聲和無噪聲模型采用了同樣的符號，但要注意區(qū)別。擴展狀態(tài)的估計可使用卡爾曼濾波得到:狀態(tài)濾波增益

被分解為過程模型狀態(tài)濾波增益K1(k+1)、輸入擾動濾波增益K2(k+1)和輸出擾動濾波增益K3(k+1)，每個周期的增益由下式得到:

其中Q和R分別為過程噪聲協(xié)方差陣和觀測噪聲協(xié)方差陣。利用卡爾曼濾波器在每個采樣周期估計出d和p的大小后進行前饋補償，消除干擾對系統(tǒng)的影響。

2.2 前饋控制器設(shè)計

2.2.1 具有前饋補償?shù)腄MC算法

一般情況下，文獻［8］中的第1種DMC算法不能保證穩(wěn)態(tài)誤差。本文設(shè)計的具有前饋補償?shù)腄MC算法正是基于這種DMC算法的，數(shù)學符號的意義請適當參考文獻［8］。

由疊加原理可知，操作變量和干擾對系統(tǒng)輸出的影響是相同的，因此可將估計出的值加到DMC算法的預(yù)測、校正環(huán)節(jié)，從而改變即時控制增量，實現(xiàn)干擾的抑制。具體推導過程如下:

在時刻k，未來P個時刻的模型輸出預(yù)測值為

P為預(yù)測時域，M為控制時域，其中

為假設(shè)當前和未來時刻控制作用不變時的輸出預(yù)測值，N為模型長度。采用前饋后，系統(tǒng)輸入為

其中:um(k)為操作變量產(chǎn)生的輸入;^d(k)為卡爾曼濾波器估計出的干擾值。由式(5)、(6)可得

其中:

式(8)、(9)分別為假設(shè)當前和未來時刻控制作用不變時操作變量和干擾產(chǎn)生的輸出預(yù)測值。

另記

其中:

ym(k)、yn(k)分別為操作變量和干擾產(chǎn)生的輸出，且:

用式(10)來校正未來的輸出預(yù)測。記:

由式(7)、(10)、(13)可得

其中:

分別表示假設(shè)當前和未來時刻控制作用不變時操作變量和干擾產(chǎn)生的輸出預(yù)測值經(jīng)過校正后的值。將式(15)寫成矢量形式有

其中:

將經(jīng)式(13)、(14)校正后的輸出預(yù)測值寫成矢量形式:

其中

A為動態(tài)矩陣，是由式(4)的階躍響應(yīng)系數(shù)sk組成的P×M陣。

采用性能指標

優(yōu)化Δu(k)，使J(k)取極小值的Δu(k)可以通過極值必要條件dJ(k)dΔu(k)=0求得，且由式(14)有

2.2.2 輸出干擾的前饋控制器設(shè)計

其中y'(k)為受到干擾p影響的輸出。由式(10)、(18)可知，減去后，輸出誤差變?yōu)?/p>

由式(13)、(14)、(19)可知，新的輸出誤差值ˉε(k)在反饋校正環(huán)節(jié)扣除了干擾對輸出的影響，從而構(gòu)成新的輸出預(yù)測值，達到克服干擾的目的。

3 仿真研究

根據(jù)線性化模型(3)設(shè)計DMC控制器，各參數(shù)為:模型長度N=50;優(yōu)化時域P=16;控制時域M=2;誤差權(quán)矩陣控制權(quán)矩陣0.01I2×2;誤差校正系數(shù)

Kalman濾波器相關(guān)參數(shù)為:過程噪聲協(xié)方差Q=2×10-3;觀測噪聲協(xié)方差R=2×10-3，初始協(xié)方差陣P0為4行4列的單位矩陣?？刂颇繕耸?x2=1.33。

圖2中曲線2為模型(2)的輸出響應(yīng)曲線，采用卡爾曼濾波器后未使用前饋補償，溫度x2受干擾影響后不能達到設(shè)定值1.33。將式(2)右邊乘以0.9作為系統(tǒng)的控制對象并采用前饋補償，輸出響應(yīng)曲線3完全達到預(yù)期控制目標，實現(xiàn)了無靜差控制?？梢?，具有前饋補償?shù)腄MC算法能克服不可測干擾和模型失配對系統(tǒng)的影響。

在實際生產(chǎn)中，不同生產(chǎn)階段采用不同的物料，不可測干擾會發(fā)生變化，如果干擾變化緩慢，同樣可以采用前饋補償對其進行抑制。

圖1 恒值不可測干擾

圖2 不可測恒值干擾抑制效果對比

圖4給出了原DMC算法和改進的DMC算法在系統(tǒng)存在非恒值不可測干擾時CSTR的輸出響應(yīng)。從圖中可看出，改進的DMC算法完全抑制了不可測干擾對系統(tǒng)的影響，實現(xiàn)了無靜差控制。由于化工系統(tǒng)復雜多變，因此對非恒值不可測干擾的抑制具有很強的實際意義。

圖3 非恒值不可測干擾

圖4 不可測非恒值干擾抑制效果對比

4 結(jié)束語

本文以CSTR的溫度跟蹤問題為研究對象，針對不可測干擾和模型失配對輸出影響規(guī)律未知的情況，以干擾模型為基礎(chǔ)，設(shè)計了一種基于卡爾曼濾波器的前饋補償DMC算法。由于卡爾曼濾波器和預(yù)測控制器都采用線性設(shè)計方法，因此該算法在線計算量少，滿足控制實時性的要求，同時有效克服了不可測干擾和模型失配對CSTR系統(tǒng)輸出的影響，改善了溫度跟蹤的精度，實現(xiàn)了無靜差控制。仿真結(jié)果表明，該方法具有較強的干擾抑制能力和魯棒性，能顯著提高DMC的控制性能。

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