一個超混沌Lorenz系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集及應(yīng)用

胥紅星

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，鄭州 450046)

混沌是一種非常普遍的非線性現(xiàn)象，廣泛地存在于自然界中。自從Lorenz［1］發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼被提出，如 Rossler系統(tǒng)［2］、Chen 系統(tǒng)［3］、Lü 系統(tǒng)［4］、統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［5］、Chua 系統(tǒng)［6］等。在過去的幾十年里，混沌理論得到了深入的研究，并被廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域。

混沌系統(tǒng)是有界的，這在混沌的定性分析中發(fā)揮著重要作用。可以斷定在一個混沌的有界集合之外不會存在該系統(tǒng)其他的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復(fù)解和其他任何吸引子，這為從數(shù)學(xué)理論上嚴(yán)格證明混沌吸引子的存在性提供了進(jìn)一步的可能性。然而對于一個混沌的界的估計往往是很困難的，目前混沌系統(tǒng)所得到界的范圍絕大部分局限于數(shù)值模擬結(jié)果，從理論上是很有限的。對于著名的Lorenz系統(tǒng)，文獻(xiàn)［7-8］研究了其界所在的范圍，且解決了包含典型吸引子的情況。秦文新［9］給出Chen系統(tǒng)的一個界，但條件較強，且參數(shù)范圍沒有包括典型吸引子的參數(shù)。文獻(xiàn)［10-13］研究了其他一些混沌系統(tǒng)的有界性。對于著名的Lü系統(tǒng)，其混沌吸引子所在的范圍還沒有得到解決。與三維混沌系統(tǒng)相比，四維超混沌系統(tǒng)含有2個正Lyapunov指數(shù)，具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為，其界的研究將更為困難，目前僅有 Lorenz-Haken 系統(tǒng)［14］和 Lorenz-Stenflo系統(tǒng)［15］得以研究。本文考慮超混沌系統(tǒng)［16］:

1 超Lorenz混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集

記 X∈R4，X= (x1，x2，x3，x4)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，t0＞ 0 為初始時刻，X(t，t0，X0)表示滿足X( t0，t0，X0)=X0系統(tǒng)的解。

圖1 混沌系統(tǒng)的吸引

圖2 當(dāng)d∈［-2，-0.5］時系統(tǒng)(1)的分岔

圖3 當(dāng)d∈ [ -2，-0.5]時系統(tǒng)(1)的Lyapuno指數(shù)

定義1［10］若在 R4內(nèi)存在一個緊集 Ω，使得對于?X0∈R4，當(dāng) t→ + ∞ ，恒有

成立，則稱Ω為系統(tǒng)(1)的一個全局吸引集，即系統(tǒng)(1)是最終有界的。若對?X0∈Ω，當(dāng)t≥t0時，恒有 X( t ，t0，X0)?Ω，則稱 Ω 為系統(tǒng)(1)的一個正向不變集。

定義2［10］若有一個廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)V( X)，且存在α ＞0，L＞0，對于?X0∈R4，當(dāng) V( X0)＞L，V ( X( t))＞L時，存在指數(shù)估計式

則稱 Ω:= {X V( t)≤L，t≥t0}為系統(tǒng)(1)的一個全局指數(shù)吸引集。

定理1 設(shè) a＞1，b＞0，c＞0，d＜ -0.5，則

為系統(tǒng)(1)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集，其中

證明

令g( z)= ( 1 -b)z2+c( b -2)z+c2，下面估計g( z)在區(qū)間I=[0，c]上的最大值。

3)當(dāng) 0＜b＜1時，類似可得 maxg(z)=g(0)=c2，而當(dāng)b=1和b=2時，易證maxg( z)=c2。

對系統(tǒng)(1)的第2、3個方程選取廣義正定徑向無界的Lyapunov函數(shù):

沿著系統(tǒng)(1)的軌線有

根據(jù)式(2)可得:

利用比較定理對式(3)兩邊積分有

從而當(dāng)V( X0)＞L，V( X( t))＞L時，有全局指數(shù)估計式

對式(4)兩邊去上極限可得:

對系統(tǒng)(1)的第4個方程作徑向無界的正定Lyapunov函數(shù):

同樣利用比較定理對兩邊積分有

最后，對系統(tǒng)(1)的第1個方程作徑向無界的正定Lyapunov函數(shù):

類似可得

綜上可得，Ω為系統(tǒng)(1)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集。

2 在同步中的應(yīng)用

令系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為

令 e( t)= ( e1，e2，e3，e4)T=(x1-x，y1-y，z1-z，w1-w)T，則誤差系統(tǒng)為

其中 ui(t)，i=1，2，3，4 為反饋控制器。

定理2 設(shè)，選取如下控制器設(shè)計

證明選取廣義Lyapunov函數(shù)

其中ρ＞0，則V沿著系統(tǒng)(6)的軌線對時間t求導(dǎo)得:

其中

易得，當(dāng)

時，矩陣P正定。

如果M2、M3能夠得到，那么反饋控制量就可相應(yīng)的被確定。然而對于一般的混混系統(tǒng)很難得到M2，M3的精確值，通常在實際操作中可以通過數(shù)值模擬給出一個估計值，但數(shù)值模擬只能模擬有限的時間內(nèi)變量y、z的所在的范圍，嚴(yán)格講并不是變量y、z真正的界的范圍。本文中可以通過準(zhǔn)確計算得出y、z的界M2、M3。從而可以找到精確的反饋系數(shù)k。由定理1得

所以

式(7)表示式(6)的零解是指數(shù)穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)同步的。

3 數(shù)值模擬

為了驗證理論結(jié)果，用Matlab程序進(jìn)行數(shù)值仿真。在仿真過程中驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)初值為(1 ，1，1，1)和 ( -1，4，0，2.5 )，選取參數(shù) a=10，b=根據(jù)定理 2 可選擇 k=131，則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)是全局同步的。圖4表示在控制器1)下系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的同步效果，圖5表示在控制器2)下系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的同步效果。

圖4 反饋控制1)下的同步誤差

圖5 反饋控制2)下的同步誤差

4 結(jié)束語

本文借助于廣義Lyapunov函數(shù)理論，采用分區(qū)域的方法研究了一個超混沌系統(tǒng)在a＞1，b＞0，c＞0，d＜-0.5的全局指數(shù)吸引集，也即是混沌的解的范圍，包含了典型吸引子的情況。利用得到的界，設(shè)計了2個簡單的反饋控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)的同步。最后通過數(shù)值仿真驗證了設(shè)計控制器的可行性。

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