齒輪時變系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下的響應(yīng)分析

鮑春梅，呂士寶，張 麗

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

齒輪系統(tǒng)為一種最常用的傳動機(jī)構(gòu)。齒輪系統(tǒng)的振動直接影響機(jī)械系統(tǒng)的性能和工作可靠性。齒輪系統(tǒng)在工作過程中會受到各種隨機(jī)激勵因素的干擾，使得齒側(cè)間隙和嚙合剛度隨時間變化，此外齒輪系統(tǒng)在工作過程中還存在阻尼和外激勵等隨機(jī)因素，這些隨機(jī)因素對齒輪傳動的平穩(wěn)性、可靠性和壽命產(chǎn)生影響。近幾年來，國內(nèi)外學(xué)者對考慮齒側(cè)間隙、輪齒嚙合剛度變化等非線性因素的齒輪系統(tǒng)動力學(xué)問題進(jìn)行了深入研究。Kahraman和Singh［2］利用打靶法深入研究了齒輪系統(tǒng)周期解的分岔和混沌過渡等現(xiàn)象。盧劍偉等［4］對參數(shù)隨機(jī)擾動下齒輪非線性系統(tǒng)動態(tài)性能進(jìn)行了分析。本文分析齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度和阻尼等參數(shù)擾動對齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。

1 齒輪系統(tǒng)模型的建立

在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質(zhì)量法建立直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動力學(xué)模型，如圖1所示。該模型是一個二維平面振動模型，具有4個自由度，分別為主、被動齒輪繞旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動自由度和Y方向的平移自由度，表示為{yp，θp，yg，θg}T。其中 Rp、Rg為主、被動齒輪半徑;Tp、Tg為主、被齒輪轉(zhuǎn)動力矩;I1、I2分別為主、被動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量;cpy、cgy為主、被動齒輪平移振動阻尼系數(shù);kpy、kgy為主被動齒輪平移振動剛度系數(shù);e為齒輪的靜態(tài)傳遞誤差。根據(jù)牛頓第二定律，可得到圖1所示系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程

圖1 耦合動力學(xué)模型

齒輪間的嚙合力主要由時變嚙合剛度引起的彈性嚙合力(即齒輪傳動的動載荷和嚙合阻尼)引起的黏性嚙合力組成。設(shè)彈性嚙合力為Fk，黏性嚙合力為Fc

其中km、cm分別為齒輪副嚙合綜合剛度和綜合阻尼。

由方程(1)、(2)聯(lián)立即得系統(tǒng)的振動方程，將4自由度系統(tǒng)振動方程寫成矩陣形式為

其中:δ=yp+Rpθp-yg+Rgθg-e

2 模型的求解

利用Duhamel’s integration可得方程(3)的形式解為

其中:h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù);τ為時間積分變量。

對于任意激勵F，由Duhamel’s integration可得到

3 模型的分析

根據(jù)文獻(xiàn)［6］，量綱一化的齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動方程可以表示為

其中:x為量綱一化的齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差;ξ和k(t)分別為嚙合線方向上的阻尼比和時變剛度系數(shù)。若僅考慮由靜傳遞誤差引起的內(nèi)部激勵，則 F(t)=Fm+Fahω(ωeht+φe)，其中:Fm為量綱一平均荷載;Fah和φε分別為量綱一內(nèi)部激勵幅值和初始相位;f(x)為齒輪系統(tǒng)的間隙函數(shù)，可以表示為

4 參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性及動態(tài)響應(yīng)的影響

4.1 隨機(jī)激勵頻率的影響

由于電機(jī)轉(zhuǎn)動的不平穩(wěn)性和皮帶摩擦等各種因素都會導(dǎo)致動力載荷F(t)的隨機(jī)性，本文利用脈沖響應(yīng)法，討論齒輪副在簡諧激振力 F=F0sinωt下的響應(yīng)。將任意激勵分解為一系列脈沖的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個脈沖的響應(yīng)，然后按照線性系統(tǒng)的疊加原理，得到系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)為

利用分步積分，令 t'=t-τ，dτ=-dt'，可得

激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率之比隨時間變化的動態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。從圖2可知，激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率，頻響函數(shù)的振動幅值較大，發(fā)生共振的峰值也較高。

圖2 激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率之比隨時間變化的動態(tài)響應(yīng)曲線

4.2 時變嚙合剛度的影響

在齒輪連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，隨著單齒對嚙合和雙齒對嚙合的交替進(jìn)行，輪齒的嚙合剛度會隨時間周期性變化，即 k(t)=1+cεcos(ωmht+ φmh)，假設(shè)ωmh=ωeh。一般說來，當(dāng)k(t)最小時，在平均荷載Fm的作用下，齒輪變形Fah(t)應(yīng)為最大，而最大的k(t)則對應(yīng)于最小的Fah(t)，所以k(t)和Fah(t)的相位是反相的，即φmh=φe+π，因此為方便起見，可設(shè) φmh=π，φe=0，則式(4)可化簡為

本文利用變步長四階Runge-kutta數(shù)值仿真方法對該系統(tǒng)的動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到剛度嚙合頻率ωmh=3、2、1時齒輪系統(tǒng)的仿真結(jié)果，如圖3所示。

圖3 剛度嚙合頻率為ωmh=3、2、1時齒輪系統(tǒng)的仿真結(jié)果

4.3 阻尼比的影響

齒輪系統(tǒng)阻尼比的變化將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動力響應(yīng)，選取參數(shù) Fm=0.1，F(xiàn)ah=0.05，cε=0.2，ωeh=1，改變阻尼比ξ，分析系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的變化，結(jié)果如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的變化

由圖4容易看出，隨著阻尼比的增大，齒輪傳動系統(tǒng)振動的位移-時間曲線的振蕩周期基本不變，但振蕩的幅值卻明顯衰減，很快地降低了齒輪嚙合過程中的振動。

5 結(jié)論

1)外界隨機(jī)激勵對系統(tǒng)的影響由系統(tǒng)參數(shù)m、ω、ξ決定，即外界激勵通過系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性而起作用，引起系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動。

2)當(dāng)齒輪連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時，具有齒側(cè)間隙的齒輪副的嚙合剛度會周期性變化。隨著時變嚙合剛度激勵頻率的增大，振動幅值不變，但時間歷程轉(zhuǎn)變?yōu)榉侵C周期解。

3)齒輪系統(tǒng)激勵頻率、阻尼比等參數(shù)的隨機(jī)擾動對于系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)會產(chǎn)生一定影響，在以后建模分析中應(yīng)予以考慮。

［1］李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué):振動、沖擊、噪聲［M］.北京:科學(xué)出版社，1997.

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［3］Velex P，Ajmi M.On the Modeling of Excitations in Geared System by Transmsion Errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，209(3):882-909.

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［5］LIU Haixia，WANG Sanmin，GUO Jiashun.Solution Domain Boundary Analysis Method and Its Application in Parameter Spaces of Nonlinear Gear System［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24(3):678-693.

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