解剖算子及其一致有界定理

劉 鐵，鄭 亮

(1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西安康 725000;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，深圳 518055)

1 預(yù)備知識(shí)

閉圖像定理、開映射定理和等度連續(xù)定理是泛函分析的三大基本原理。上述經(jīng)典泛函分析基本定理過分依賴線性算子，使其應(yīng)用性受到很大限制，因而許多學(xué)者在研究包括某些非線性影射在內(nèi)的更大的函數(shù)類上建立三大基本定理。尤其是李容錄教授在解剖算子上進(jìn)行的泛函分析基本原理拓展取得了重大進(jìn)展。本文對(duì)解剖算子在實(shí)數(shù)空間上進(jìn)行討論，得出一些相關(guān)性質(zhì)。

定義1［1-2］對(duì) φ∈C(0)及 U∈N(X)，稱 f:X→Y 為解剖算子，若 f(0)=0，且對(duì) x∈X，u∈U 及|t|≤1，有 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=rf(x)+sf(u).記 Fφ，U(X，Y)為由 φ∈C(0)及 U∈N(X)確定的解剖算子全體。

關(guān)于解剖算子，有如下幾個(gè)基本函數(shù)空間［3-5］:

3)S={f:f是定義在R上的無限可微的速降函數(shù)}，則由范數(shù)列k≥0，p，q∈N 使 S 成為局部凸的 Fréchet空間。

命題1 若 f∈Fφ，U(X，Y)，u∈U，|t|≤1，則有 s∈C，|s|≤|φ(t)|，使 f(tu)=sf(u)。

證明由定義 f(0)=0，取 x=0 和上述的 u，存在 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤ |φ(t)|，f(x+tu)=f(tu)=rf(0)+sf(u)=sf(u)。

命題2 若 f:X→Y 是線性算子，則 f∈Fφ，U(X，Y)，?φ∈C(0)，U∈N(X)。

證明f:X→Y是線性算子(?x，u∈X，t∈K，

則f(0+0)=f(0)+f(0)(f(0)=0。要使f(x+tu)=rf(x)+sf(u)，可令其減去式(1)，f(x+tu)-［f(x)+tf(u)］=(r-1)f(x)+(s-t)f(u)，只要|r-1|≤|φ(t)|，|s-t|≤2|φ(t)|即可

可令，s=t，r=1 即有|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=f(x)+tf(u)=rf(x)+sf(u)，所以 f∈Fφ，U(X，Y)。

例1 若‖·‖:X→R 是半范，則對(duì) φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

證明對(duì)于x，u∈X及 t∈C，‖x‖ -|t|‖u‖≤‖x+tu‖≤‖x‖ +|t|‖u‖，所以有 s∈［-|t|，|t|］，使得‖x+tu‖ = ‖x‖ +s‖u‖，即對(duì) φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

例2 若(X，‖·‖)是半范空間，對(duì)任意連續(xù)線性算子T:X→Y定義連續(xù)的非線性映射為，則對(duì)

證明若 x∈X，u∈U，|t|≤1，則‖x+tu‖ =‖x‖ +s‖u‖，其中 s∈［-|t|，|t|］，所以 fT(x+tu)=而

2 解剖算子的性質(zhì)

(X，d)是可度量的拓?fù)渚€性空間，F(xiàn)φ，U(X，Y)為由 φ∈C(0)及 U∈N(X)確定的解剖算子全體，記Bφ，U(X，Y)={f∈Fφ，U(X，Y):f(x)連續(xù)}，若 U={x∈X:d(X，0)＜ δ}，φ(t)=Ct，其中 C≥1，則記Fφ，U(X，Y)=FC，δ(X，Y)，Bφ，U(X，Y)=BC，δ(X，Y)，對(duì) C≥1 及 δ＞ 0 記 EC，δ(X，Y)={f∈FC，δ(X，Y):對(duì)x，u∈X，d(u，0)≤δ及|t|≤1?標(biāo)量 s∈|s|≤C|t|，f(x+tu)=f(x)+sf(u)}

定理1 若 f∈Fφ，U(R，R)，則 f(x)連續(xù)，即 Bφ，U(R，R)=Fφ，U(R，R)。

證明有 δ＞0，使［-δ，δ］?U，設(shè) x→x in R，?N 當(dāng) n＞N 時(shí)

n，所以f(xn)→f(x)(n→∞)。

定理2 f∈Fφ，U(R，R)若 f≠0，則 f(u)≠0?0≠u∈U。

證明假設(shè)0≠u∈U且f(u)=0任取0≠x∈R，取定n使得，存在 ri，si∈R(i=1，2，…，n)，使得，且

這與f≠0矛盾。定理2得證。

定理3 X為非平凡賦范線性空間，Y為非平凡線性空間，對(duì)于?C＞1及δ＞0，集合{f∈FC，δ(X，Y):f是非線性的}為非可數(shù)集，其勢(shì)不小于線性算子全體。

證明任取一個(gè) η∈EC，δ(R，R)滿足，則η定為非線性(因?yàn)榫€性的要么，要么

所以 fT，k∈FC，δ(X，Y)，定理 3 得證。

定理4 等度連續(xù)原理(Equicontinuity Principle)［6］X是第二綱的，Γ?Fφ，U(X，Y)是一族連續(xù)影射。若Γ在X上逐點(diǎn)有界即{f(x)|f∈Γ}有界，?x∈X，則Γ在X上等度連續(xù)。

定理5 一致有界定理(Uniform Boundedness Principle)X是第二綱的，Γ?Fφ，U(X，Y)每一個(gè)f∈Γ連續(xù)，對(duì){f(x)|f∈Γ}有界，?x∈X，則 Γ 在有界集上一致有界，i.e.{f(x)|f∈Γ，x∈B}有界對(duì)每個(gè)有界集B?X。

證明設(shè)B?X有界，V∈N(Y)平衡，根據(jù)等度連續(xù)定理有平衡的U0∈N(X)使得U0?U，f(U0)?V，?f∈Γ。取使，設(shè)

［1］Li Rong lu，Zhong Shuhui，Cui Chengri.New Basic Principles of Functional Analysis(Abstract)［J］.J of Yanbian Univ:Natural Science，2004，30(3):157-160.

［2］李容錄，鐘書慧，文松龍，等.泛線性廣義函數(shù)(Ⅰ)［J］.延邊大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，33(3):157-159.

［3］Genlfand I M.Generalized Functions I［M］.New York:Academic Press，1964.

［4］Genlfand I M.Generalized Functions II［M］.New York:Academic Press，1964.

［5］Gelfand I M.Generalized Functions［M］.New York:Academic Press，1968.

［6］Li Rong lu.Equicontinuity in nonlinear analysis，to appear［Z］.